对传输线阻抗的一些认识

对于许多硬件工程师，尤其是涉及到高频方面的设计时，阻抗匹配是绕不开的话题。
而我认为只有认认真真读懂《电路》教材中“均匀传输线”这一章的内容，才能清楚什么是传输线阻抗以及阻抗匹配的意义。
1. 分布参数模型
了解分布参数模型是学习传输线阻抗的第一步。在大部分直流（有些直流应用下，也需使用分布参数模型）及低频电路应用下，沿线电流随变化不大，则可以用单个电阻表示损耗，单个电感表示磁场。或不计导线上电阻和电感压降，则可以用单个电导描述导线间漏电作用，单个电容描述导线间电容作用，这样的模型称为集总参数电路模型。
在高频或特殊的直流应用中，因为导线间的分布电容使得导线间存在漏电流，导致导线中的电流处处不同。导线上的分布电感导致分压使得导线间的电压处处不同。类似于这种由无限多个导线上的电阻，电感和导线间的电容，电导所组成的电路模型称为分布参数模型，如下图所示。

2. 均匀传输线
在分布参数模型中，如果每单位长度dx中导线上的电阻R0和电感L0，单位长度dx中导线间的电容C0和电导G0, 在导线中处处相等，则称之为均匀传输线，我们分析的分布参数模型也常常认为是均匀传输线。将图一改为单位长度dx下的模型，如下图所示：
可用KCL和KVL去求解，得到一组偏微分方程。

这是一组电压u和电流i关于长度x和时间t的函数，从方程中可以看出u和i是随距离和时间变化的，这是分布参数模型的主要特征。
3. 阻抗不匹配导致反射的原因
在求解上述微分方程的过程中，需要设定边界条件。第一种是设传输线始端电压U1和电流I1为已知量，求得方程解为：

第二种是设传输线终端电压U2和电流I2为已知量，求得方程解为：

上述公式中x是距离传输线始端的位置，l为传输线长度。为了说明传输线上电压与电流的波动形式，把上述公式改写为如下形式：

可以证明（证明过程可自己查资料）U+ 是一个随时间增加方向延x轴增加方向的波分量，称之为入射波。U-是一个延x轴减小方向的波分量，称之为反射波。因为：

所以当传输线终端阻抗Z2=ZC时，且传输线终端处x=l，电压的反射波：

电流的反射波：

电压与电流均没有反射波，所以这就说明了为什么反射波是由Z2与ZC不相等造成的。继而定义反射系数n：

特征阻抗ZC是入射波（或反射波）电压、电流向量的比值。