线性代数从零开始详解笔记【矩阵】

矩阵

0. 引言

为什么我们需要研究矩阵？
因为在计算机里面表达关系的一个标志：图，需要使用矩阵表示。

还有，行列式一定是方的，但是矩阵不一定，矩阵是个数表，行列式是个数。只有当矩阵是个方阵的时候，才会有行列式的属性。
|A| 表示 A的行列式的值。

0.1 本章思维导图

1. 矩阵运算

1.1 加减

必须是同型矩阵才能进行加减，时刻记住矩阵是个数表。

1.2 乘法

满足 $A_{mn}\ast B_{nv}=C_{mv}$
矩阵反人类特性：

• 一般情况下 $AB\ne BA$
• $AB=0\nRightarrow A=0或B=0$
• $AB=AC,A\ne 0\nRightarrow B=C$

为什么矩阵会有这些反人类特性？
因为本身矩阵是个数表，矩阵的乘法是数表的乘法，数表的乘法是非逐元素组合运算的综合体现，通俗的是乘法是两个矩阵的交叉融合操作。

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 4\end{array}\right]$

$$AB=0，AC=0$$

矩阵的除法是逆矩阵的内容，我们一般不叫矩阵除法。

1.3 数乘

矩阵的数乘是对整张表产生影响，和行列式的数乘意义是不一样的，行列式是个数，而矩阵是张表。

$k\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}k& 2k& 3k\\ 4k& 5k& 6k\\ 7k& 8k& 9k\end{array}\right]$

行列式：
$k^3|A|=|B|$
$|-A|=(-1{)}^5|A|=-A$(A是5阶方阵)

例题：
已知|A|=3，A是5阶矩阵，问$||A|A|$ ？

解：
$|3A|=3^5|A|=3^6$

1.4 转置

主要关注转置的 “拆”
满足对逐矩阵的操作，拆的时候，元素对称，不对应！！：
$(ABCD{)}^T=D^T{C}^T{B}^T{A}^T$

但是加减可以对应：
$(A+B+C{)}^T=A^T+B^T+C^T$

常见的转置运算：
（1）$(A^T{)}^T=A$
（2）$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
（3）$(kA{)}^T=k{A}^T$
（4）$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

1.5 幂运算（方阵才可）

幂运算是矩阵乘法的拓展，所以一定满足矩阵乘法的反人类特性。

注意下面的坑：

• $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$
• $ABAB\ne AABB$
• $(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$
• 只有方阵才能进行幂运算！！

特别的：$A^0=E$

幂运算一定要满足元素顺序合法性！
比如$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB$

有一种情况，我们可以把矩阵当成常数，那就是单元素矩阵，假如矩阵乘法之后产生了单元素矩阵，那么我们可以利用单元素矩阵计算矩阵的高次幂运算。

例题：
$A=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$，写出$(AB{)}^{10}$ 的矩阵表达式

解：
已知$BA=(6)，AB=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

$(AB{)}^{10}=ABABABABABAB...=A(BA)(BA)(BA)(BA)(BA)B...=6^9\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

2. 矩阵性质

2.1 基础性质

【1】零矩阵

• 零矩阵的全部元素都是0，但是需要注意的是，有不同的零矩阵取决于零矩阵的不同结构。

【2】单位阵

• 单位阵一定是方阵！
• $\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & 1& \\ & & 1\end{array}\right]$ 其余是0。
• A=AE 在计算运算中外面经常用单位阵对矩阵常数进行换算。

单位阵的拓展：数量矩阵：A=aE,$\left[\begin{array}{ccc}a& & \\ & a& \\ & & a\end{array}\right]$

【3】负矩阵

• 对某矩阵所有元素取相反数，使得满足A+(-A)=0，B=-A，则称B是A的负矩阵。

【4】同型矩阵

• 行数和列数对应相同

【5】对角矩阵和三角矩阵

• 上三角（上右），下三角（下左），对角型（只有对角线有数）数量矩阵属于对角型的特殊情况。

【6】标准型矩阵

• 标准形不一定是方阵！！ 这个也是标准形：$\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \end{array}\right]$
• 从左上角开始1…10…0，可以全1和全0，但是1之间不能有0，0之间不能有1。
• $\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 0& \\ & & & 0\end{array}\right]$

2.2 特殊性质 I（只有方阵才有）

【1】可交换

• 当AB=BA成立的时候就叫做可交换，也就是说当A和B都是同阶方阵的时候成立。

求可交换矩阵的时候，一定要注意是方阵才能求。

例题：
求与$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$可交换的矩阵。

解：
首先A是方阵，可以求可交换矩阵。
求可交换，我们设出来即可。
设$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

可交换最好用的性质是$AB=BA$

可以得到方程组：
$$\{\begin{array}{l}a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\end{array}$$

$B=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ c& a\end{array}\right]$，a和c是任意常数

【2】对称和反对称矩阵

• 对称：以主对角线为周，对应元素相等，对于主对角线元素没有要求，反对称的主对角线元素都是0。
• 对称矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 4\\ -1& 4& 3\end{array}\right]$，反对称矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -3\\ -1& 0& -4\\ 3& 4& 0\end{array}\right]$
• 考对称必考$A^T=A$
• A和B对称，AB对称的充分必要条件是AB可交换
• 需要注意的是，虽然A对称，B对称，但是AB不一定对称。
• 验证对称的时候使用$A^T=A$吗，反对称使用$A^T=-A$

【3】伴随矩阵

• 只有方阵才有伴随矩阵！！伴随矩阵和代数余子式息息相关，而且求伴随矩阵计算量巨大。
• 已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right]$，第一步：逐元素求代数余子式。例如：$A_{12}=-5$，第二步：按行求，按列放
• A*代表伴随矩阵。
• $A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -5& 3& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right]$
• 伴随矩阵的万能公式：对于任意方阵成立 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
• 方阵本身和自己的伴随矩阵可交换，所以才有前面的等号，后面的|A|E是个矩阵$\left[\begin{array}{ccc}|A|& 0& 0\\ 0& |A|& 0\\ 0& 0& |A|\end{array}\right]$。
• 万能公式是可以用异乘变零定理来证明的。
• 伴随矩阵和行列式的关系：$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
• 伴随矩阵和逆矩阵的关系：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$

例题：
A=(5)，问A*?

解：
|A|=5
AA*=(5)
A*=1

例题：
（1）$(A^{\ast }{)}^{\ast }=?$

解：
（1）$|A{|}^{n-1}(A^{\ast }{)}^{-1}=|A{|}^{n-2}A$

这里需要活用伴随矩阵和行列式，逆矩阵的关系。
实际上，伴随矩阵的万能公式把：逆矩阵，伴随矩阵，方阵行列式联系在一起了。

假如我们想启用和逆矩阵相关的内容，两边乘以$A^{-1}$这样的操作即可。

【4】逆矩阵

• 只有方阵才有逆矩阵！！！
• 逆矩阵是用来讨论“矩阵除法“的基础，但是记住一点，无论什么时候不能把矩阵放在分母上！！！！！
• 逆矩阵的定义：当满足 $AB=BA=E，A^{-1}=B$，叫B是A的逆矩阵。
• 未必所有方阵都可逆，如果方阵可逆，那么逆矩阵唯一。
• 逆矩阵的 充要条件（逆矩阵公式）：$$D\ne 0且A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$

$\frac{1}{|A|}$是个常数！可以放分母。可逆矩阵的公式是由伴随矩阵的万能公式证明的。

为什么不是所有方阵都有逆矩阵呢？

当|A|不能放分母的时候就说明不存在逆矩阵。也就是$D\ne 0$的限制。使用逆矩阵公式的时候时刻需要记住这个限制。

• 根据逆矩阵的充要条件，我们可以判断是否是逆矩阵，但是需要计算伴随矩阵，计算量巨大，我们会有初等变换法来证明逆矩阵，后面会介绍。

例题：（证明可逆矩阵）
A+B=AB，证明A-E可逆

证明：
证明可逆，我们只需要找出一个表达式满足：(A-E)(?)=E即可。
$$\begin{gathered} AB-A-B=0 \\ AB-A-B+E=E \\ (A-E)B-(A-E)=E \\ (A-E)(B-E)=E \end{gathered}$$

在转化表达式的时候，我们时刻记住：

[1] 我们需要构造除在表达式两边该有的元素
[2] 提取的时候注意不能掉乱顺序
[3] 我们意念所用的1，用E代替。

例题：（求矩阵方程，逆矩阵最重要的考点）

$A=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right]$
请解该矩阵方程：$AX=A+2X$

解：
(A-2E)X=A

我们可否除过去？不可！！无论何时，矩阵都不可以放在分母上！！！

代替除法的方法就是使用逆矩阵！。

但是使用逆矩阵的时候，请时刻记住：先判断矩阵是否可逆！

$|A-2E|\ne 0$ 故，A-2E可逆

接下来，两边同时乘以$(A-2E{)}^{-1}$

$X=(A-2E{)}^{-1}A$

逆矩阵的性质

（1）$(A^{-1}{)}^{-1}=A$
（2）$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ 和转置类似
（3）$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

假如我们把它看成是逆运算的话，逆运算和转置运算等价。

$A^T(A^{-1}{)}^T=E$

（4）$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$非常重要！！！，说明了行列式关系和逆矩阵之间的关系

2.3 特殊性质 II（所有矩阵都有）

【5】分块矩阵

• 当我们把矩阵的部分元素看作一个整体，这样就可以减少矩阵的数面积，也可以更加灵活的运算。
• $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]$，每块不一定同型。
• 分块矩阵可以适用于矩阵的运算性质。
• 分块矩阵的转置：先对整体转置，在对逐块转置。
• 分块方阵的行列式和逆矩阵，已知$H=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$，A和B都是方阵且可逆。则有两个结论记住（关联分块矩阵和行列式和逆矩阵）：

（1）|H|=|A||B|

（2）$H^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right]$

从上面我们可以有推论：
${\left[\begin{array}{cc}A& \\ & B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& \\ & B^{-1}\end{array}\right]$

3. 初等变换

3.1 变换类型和变换表达式

矩阵的初等变换无非就是三种：
【1】交换两行/列
【2】用$k(k\ne 0)$乘以1行
【3】某一行乘以k(k可以为0)，加到另外一行上

需要注意的是，初等变换是一种变化，不是等值变化我们一般用$\Rightarrow$来表示。

虽然和行列式的变换类似，但是矩阵的变换和行列式本身没有任何联系。

但是用语言表达变换时很不方便的，我们可以用表达式来代表。

【1】$E(i,j)$ 交换第i行和第j行
【2】$E(i(k))$ 第 i 行数乘k
【3】$E(i,j(k))$ 对第 j 行数乘，加到第 i 行，jk+i。

初等方阵是对单位阵E做一次初等变换得到的矩阵。

上面这些表达实际上是初等方阵，初等方阵均可逆。

$E^{-1}(i,j)=E(i,j)$
$E^{-1}(i(k))=E(i(\frac{1}{k}))$
$E^{-1}(i,j(k))=E(i,j(-k))$

假如矩阵左乘初等矩阵，相当于做行变换，右乘初等矩阵，相当于做列变换。

比如：AE(2(3))，对第二列数乘3。

E在左行变，E在右列变。

行列式的等价：在一条初等变换线上的行列式都是等价的。

A和B等价$\Leftarrow \Rightarrow$存在可逆P，Q，使得PAQ=B

3.2 初等变换求逆矩阵

A可逆$\Leftarrow \Rightarrow$A的标准形为E

求逆矩阵，我们可以使用初等变换法的依据就在此。

$Q_1{Q}_2...Q_{t}A=E$
$Q_1{Q}_2...Q_{t}E=A^{-1}$

例题：（初等变换法求逆矩阵）

已知：$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right]$ ，问A的逆矩阵？

解题步骤：
第一步：
$(A,E)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& |& 1& 0& 0\\ 2& 1& 0& |& 0& 1& 0\\ -3& 2& -5& |& 0& 0& 1\end{array}\right]$

第二步：
我们接下来做初等变换，使得$(A,E)\to (E,A^{-1})$

我们一次处理第一列，第二列，第三列…

如果出现化不出来的情况，类似于：$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& 0& 0\\ 0& 0& 3& -2& 1& 0\\ 0& 0& 0& .& .& .\end{array}\right]$无法继续初等变换的情况则说明该矩阵没有逆矩阵。

求逆矩阵一共两种方法：一种伴随矩阵法，一种初等变换法。依据也不同，伴随矩阵法利用的是伴随矩阵的万能公式，初等变换法利用的是A可逆则说明A经过初等变换可以变成标准形。

4. 矩阵的秩

4.1 秩的定义

如果从定义的角度来看的话：非零子式的最高阶数叫做矩阵的秩

从以下例子里面体会一下什么是秩（需要注意的是下面是阶梯型行列式）：

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]r(A)=3$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]r(A)=2$

$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& 3& 5\\ 0& 8& 1& 5& 3\\ 0& 0& 0& 7& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]r(A)=3$

4.2 秩的性质

【1】满秩

A方阵的话，A是n阶，秩是n的话，说明满秩。

A方阵，A满秩$\Leftarrow \Rightarrow$A可逆$\Leftarrow \Rightarrow |A|\ne 0$

方阵满秩即可逆

【2】秩的范围
矩阵 $A_{mn}$ 的秩 r(A)

$0\le r(A)\le min\{m,n\}$

零矩阵的秩是0
r(0)=0
r(全部元素相同)=1

【3】转置和秩的关系
$r(A)=r(A^T)$

【4】逆矩阵和秩的关系
任意矩阵乘以某一个可逆矩阵，秩不变

4.3 求矩阵的秩

行简化阶梯型
形如：

$\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ 0& 1& & \\ 0& 0& 1& \\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

每行首非零元后退，可以后退一格，两格，但是不能不后退。比如：$\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ 0& 1& & \\ 0& 0& 1& \\ 0& 0& 1& \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$就不是行简化阶梯型了。

常规求秩

首先把矩阵化成阶梯型，然后数非零行的个数，就是矩阵的秩。

例题：（常规求秩）
已知矩阵：$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 2& -2& 4& -2& 0\\ 3& 0& 6& -1& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right]$

解：
化成阶梯型即可，$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

所以r(A)=3

例题：（知道秩求参数）
已知矩阵：$\left[\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right]$，r(A)=3，问k？

解：
A方阵，A不满秩，所以A不可逆，所以|A|=0

这种行列式属于行列式技巧里面的大量重复元素类型，使用提取公因式法三步走：首先把2…n列元素加到第一列上去。

有：$|A|=\left|\begin{array}{cccc}k+3& 1& 1& 1\\ k+3& k& 1& 1\\ k+3& 1& k& 1\\ k+3& 1& 1& k\end{array}\right|$以列为单位提取公因式 (k+3)。

$|A|=(k+3)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right|$

再把第一列元素乘以-1加到每一列上去：
$|A|=(k+3)\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& k-1& 0& 0\\ 1& 0& k-1& 0\\ 1& 0& 0& k-1\end{array}\right|$

还记得在加边法里面加一条1边和0边吗？用于剥行列式的皮

所以，可以化成：
$|A|=(k+3)\left|\begin{array}{ccc}k-1& 0& 0\\ 0& k-1& 0\\ 0& 0& k-1\end{array}\right|=(k+3)(k-1{)}^3=0$

k=-3 或 k=1
当真两个结果都可以吗？我们要讨论。必须满足r(A)=3，当k=1的时候r(A)=1，所以只有k=-3是最后结果。