Leetcode115：不同的子序列

问题

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。
一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）
示例 1:
输入: S = “rabbbit”, T = “rabbit”
输出: 3
解释:
如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 “rabbit” 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)
rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^
示例 2:
输入: S = “babgbag”, T = “bag”
输出: 5
解释:
如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 “bag” 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)
babgbag
^^ ^
babgbag
^^ ^
babgbag
^ ^^
babgbag
^ ^^
babgbag
^^^

分析

总体来说，解动态规划题目的思路
两种解法

回溯法

很直观的想法，循环在字符串s中找与字符串t的第一个字符相匹配的字符；如果s的当前字符匹配，则递归s的子串和t的子串做同样的查找操作。
如，s=“babgbag” t=“bag”
循环在s中找与t中第一个字符，即b相匹配的字符；找到合适位置，即s的第0个字符，则递归：
s=“abgabg”，t=“ag”
递归终止条件：
如果t为“”，说明t已被匹配完成，计数增加，返回；
否则（t不为“”），如果s为“”，说明没有匹配完，不增加计数，返回。
代码见下。

动态规划

还是以s=“babgbag”，t=“bag”为例
借助一个二维数组dp[][]；dp(i,j)，表示s截止到第j个字符，能够匹配t.substring(0,i+1)的子序列的个数。
则有以下规则：

• 如果t.charAt(i) == s.charAt(i)，则：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1]
• 如果t.charAt(i) != s.charAt(i)，则：dp[i][j] = dp[i][j-1]

解释一下：
如果字符相同，判断s.substring(0,j+1)，即为s_sub中有多少匹配t.substring(0,i+1)，记为t_sub的子序列

• 1）如果s.substring(0,j-1)与t.substring(0,i)有m个匹配的子序列，也就是s不包含第j个字符的时候，已经与t_sub有m个匹配的子序列了；又有t.charAt(i) == s.charAt(i)，所以应该在加上多出这一个字符多出来的匹配结果，即2）（我写不明白了……）
• 2）多出来的匹配结果，（不管为什么吧）就等于 dp[i-1][j-1]。
  代码见下。写的很丑。

代码

回溯法

	public int numDistinct(String s, String t) {
		// int ans = 0;
		helper(s, t);
		return ans;
	}
	
	private void helper(String s, String t){
		// 递归结束条件
		if(t.equals("")) {
			// 更新ans值
			ans ++;
			return ;
		}else if(s.equals("")){
			return ;
		}
		// 在s中找与t的第一个字符相匹配的字符；
		// 找到后，递归在s的子串找和t的子串匹配的字符
		char ch = t.charAt(0);
		for(int i = 0; i < s.length(); i++){
			if(s.charAt(i) == ch){
				helper(s.substring(i+1,s.length()), t.substring(1, t.length()));
			}
		}
		return ;
	}

动态规划

	public int numDistinct(String s, String t) {
		// 
		if(s==null || t==null || s.equals("") || t.equals("")) return 0;
		int[][] dp = new int[t.length()][s.length()];
		for(int i = 0; i < t.length(); i++){
			for(int j = 0; j < s.length(); j++){
				if(i == 0){
					//第一行单独处理
					if(j == 0) {
						if(s.charAt(j) == t.charAt(i)) dp[i][j] = 1;
					}else {
						if(s.charAt(j) == t.charAt(i)){
							dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
						}else{
							dp[i][j] = dp[i][j-1] ;
						}
					}
					continue;
				}
				if(j < i){
					dp[i][j] = 0;
				}else{
					// 比较t.charAt(i)与s.charAt(j)是否相等
					if(t.charAt(i) == s.charAt(j)){
						dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1];
					}else {
						dp[i][j] = dp[i][j-1];
					}
				}
	
			}
		}
		return dp[t.length()-1][s.length()-1];
	}