GIS理论（墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺、Bing Maps Tile System）

【注】原文 http://www.cnblogs.com/beniao/archive/2010/04/18/1714544.html

墨卡托投影（Mercator Projection），又名“等角正轴圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Mercator）在1569年拟定，假设地球被围在一个中空的圆柱里，其赤道与圆柱相接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅标准纬线为零度（即赤道）的“墨卡托投影”绘制出的世界地图。

　　　　　　　　 

 

一、墨卡托投影坐标系（Mercator Projection）

　　墨卡托投影以整个世界范围，赤道作为标准纬线，本初子午线作为中央经线，两者交点为坐标原点，向东向北为正，向西向南为负。南北极在地图的正下、上方，而东西方向处于地图的正右、左。

　　由于Mercator Projection在两极附近是趋于无限值得，因此它并没完整展现了整个世界，地图上最高纬度是85.05度。为了简化计算，我们采用球形映射，而不是椭球体形状。虽然采用Mercator Projection只是为了方便展示地图，需要知道的是，这种映射会给Y轴方向带来0.33%的误差。

　　　　　　　　 

 

　　由于赤道半径为6378137米，则赤道周长为2*PI*r = 20037508.3427892，因此X轴的取值范围：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。当纬度φ接近两极，即90°时，Y值趋向于无穷。因此通常把Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间。因此在墨卡托投影坐标系（米）下的坐标范围是：最小为(-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 坐标为(20037508.3427892, 20037508.3427892)。

 

二、地理坐标系（Geographical coordinates）

　　地理经度的取值范围是[-180,180]，纬度不可能到达90°，通过纬度取值范围为[20037508.3427892,20037508.3427892]反计算可得到纬度值为85.05112877980659。因此纬度取值范围是[-85.05112877980659，85.05112877980659]。因此，地理坐标系（经纬度）对应的范围是：最小地理坐标(-180,-85.05112877980659)，最大地理坐标(180, 85.05112877980659)。

 

三、地面分辨率（Ground Resolution）
　　地面分辨率是以一个像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以微软Bing Maps为例，当Level为1时，图片大小为512*512（4个Tile），那么赤道空间分辨率为：赤道周长/512。其他纬度的空间分辨率则为 纬度圈长度/512，极端的北极则为0。Level为2时，赤道的空间分辨率为 赤道周长/1024，其他纬度为 纬度圈长度1024。很明显，Ground Resolution取决于两个参数，缩放级别Level和纬度latitude ，Level决定像素的多少，latitude决定地面距离的长短。

　　地面分辨率的公式为，单位：米/像素：

　　ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2level pixels)　　

 

　　最低地图放大级别（1级），地图是512 x 512像素。每下一个放大级别，地图的高度和宽度分别乘于2：2级是1024 x 1024像素，3级是2048 x 2048像素，4级是4096 x 4096像素，等等。通常而言，地图的宽度和高度可以由以下式子计算得到：map width = map height = 256 * 2^level pixels

 

四、地图比例尺（Map Scale）

　　地图比例尺是指测量相同目标时，地图上距离与实际距离的比例。通过地图分辨率在计算可知由Level可得到图片的像素大小，那么需要把其转换为以米为单位的距离，涉及到DPI（dot per inch），暂时可理解为类似的PPI（pixelper inch），即每英寸代表多少个像素。256 * 2level / DPI 即得到相应的英寸inch，再把英寸inch除以0.0254转换为米。实地距离仍旧是：cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters; 因此比例尺的公式为：

　　map scale = 256 * 2level / screen dpi / 0.0254 / (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137)

　　比例尺= 1 : (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * screen dpi) / (256 * 2level * 0.0254)

 

　　地面分辨率和地图比例尺之间的关系：

　　map scale = 1 : ground resolution * screen dpi / 0.0254 meters/inch

缩放级别	地图宽度、高度(像素)	地面分辨率(米/像素)	地图比例尺(以96dpi为例)
1	512	78,271.5170	1 : 295,829,355.45
2	1,024	39,135.7585	1 : 147,914,677.73
3	2,048	19,567.8792	1 : 73,957,338.86
4	4,096	9,783.9396	1 : 36,978,669.43
5	8,192	4,891.9698	1 : 18,489,334.72
6	16,384	2,445.9849	1 : 9,244,667.36
7	32,768	1,222.9925	1 : 4,622,333.68
8	65,536	611.4962	1 : 2,311,166.84
9	131,072	305.7481	1 : 1,155,583.42
10	262,144	152.8741	1 : 577,791.71
11	524,288	76.4370	1 : 288,895.85
12	1,048,576	38.2185	1 : 144,447.93
13	2,097,152	19.1093	1 : 72,223.96
14	4,194,304	9.5546	1 : 36,111.98
15	8,388,608	4.7773	1 : 18,055.99
16	16,777,216	2.3887	1 : 9,028.00
17	33,554,432	1.1943	1 : 4,514.00
18	67,108,864	0.5972	1 : 2,257.00
19	134,217,728	0.2986	1 : 1,128.50
20	268,435,456	0.1493	1 : 564.25
21	536,870,912	0.0746	1 : 282.12
22	1,073,741,824	0.0373	1 : 141.06
23	2,147,483,648	0.0187	1 : 70.53

 

五、Bing Maps像素坐标系和地图图片编码

　　为了优化地图系统性能，提高地图下载和显示速度，所有地图都被分割成256 x 256像素大小的正方形小块。由于在每个放大级别下的像素数量都不一样，因此地图图片（Tile）的数量也不一样。每个tile都有一个XY坐标值，从左上角的(0, 0)至右下角的(2^level–1, 2^level–1)。例如在3级放大级别下，所有tile的坐标值范围为(0, 0)至(7, 7)，如下图：

　　　　　　　　

　　已知一个像素的XY坐标值时，我们很容易得到这个像素所在的Tile的XY坐标值：

　　　　tileX = floor(pixelX / 256)　　tileY = floor(pixelY / 256)

 

　　为了简化索引和存储地图图片，每个tile的二维XY值被转换成一维字串，即四叉树键值（quardtree key，简称quadkey）。每个quadkey独立对应某个放大级别下的一个tile，并且它可以被用作数据库中B-tree索引值。为了将坐标值转换成quadkey，需要将Y和X坐标二进制值交错组合，并转换成4进制值及对应的字符串。例如，假设在放大级别为3时，tile的XY坐标值为（3，5），quadkey计算如下:

　　tileX = 3 = 011（二进制）

　　tileY = 5 = 101（二进制）

　　quadkey = 100111（二进制） = 213（四进制） = “213”

　　Quadkey还有其他一些有意思的特性。第一，quadkey的长度等于该tile所对应的放大级别；第二，每个tile的quadkey的前几位和其父tile（上一放大级别所对应的tile）的quadkey相同，下图中，tile 2是tile 20至23的父tile，tile 13是tile 130至133的父级：

　　　　　　

 

　　最后，quadkey提供的一维索引值通常显示了两个tile在XY坐标系中的相似性。换句话说，两个相邻的tile对应的quadkey非常接近。这对于优化数据库的性能非常重要，因为相邻的tile通常被同时请求显示，因此可以将这些tile存放在相同的磁盘区域中，以减少磁盘的读取次数。

 

　　下面是微软Bing Maps的TileSystem相关算法：

using  System;
using  System.Text;

namespace  Microsoft.MapPoint
{
     static   class  TileSystem
    {
         private   const   double  EarthRadius  =   6378137 ;
         private   const   double  MinLatitude  =   - 85.05112878 ;
         private   const   double  MaxLatitude  =   85.05112878 ;
         private   const   double  MinLongitude  =   - 180 ;
         private   const   double  MaxLongitude  =   180 ;


         ///  

         ///  Clips a number to the specified minimum and maximum values.
         ///  

         ///   The number to clip.
         ///   Minimum allowable value.
         ///   Maximum allowable value.
         ///   The clipped value.
         private   static   double  Clip( double  n,  double  minValue,  double  maxValue)
        {
             return  Math.Min(Math.Max(n, minValue), maxValue);
        }
        
        

         ///  

         ///  Determines the map width and height (in pixels) at a specified level
         ///  of detail.
         ///  

         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   The map width and height in pixels.
         public   static   uint  MapSize( int  levelOfDetail)
        {
             return  ( uint )  256   <<  levelOfDetail;
        }



         ///  

         ///  Determines the ground resolution (in meters per pixel) at a specified
         ///  latitude and level of detail.
         ///  

         ///   Latitude (in degrees) at which to measure the
         ///  ground resolution.
         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   The ground resolution, in meters per pixel.
         public   static   double  GroundResolution( double  latitude,  int  levelOfDetail)
        {
            latitude  =  Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
             return  Math.Cos(latitude  *  Math.PI  /   180 )  *   2   *  Math.PI  *  EarthRadius  /  MapSize(levelOfDetail);
        }



         ///  

         ///  Determines the map scale at a specified latitude, level of detail,
         ///  and screen resolution.
         ///  

         ///   Latitude (in degrees) at which to measure the
         ///  map scale.
         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   Resolution of the screen, in dots per inch.
         ///   The map scale, expressed as the denominator N of the ratio 1 : N.
         public   static   double  MapScale( double  latitude,  int  levelOfDetail,  int  screenDpi)
        {
             return  GroundResolution(latitude, levelOfDetail)  *  screenDpi  /   0.0254 ;
        }



         ///  

         ///  Converts a point from latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees)
         ///  into pixel XY coordinates at a specified level of detail.
         ///  

         ///   Latitude of the point, in degrees.
         ///   Longitude of the point, in degrees.
         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   Output parameter receiving the X coordinate in pixels.
         ///   Output parameter receiving the Y coordinate in pixels.
         public   static   void  LatLongToPixelXY( double  latitude,  double  longitude,  int  levelOfDetail,  out   int  pixelX,  out   int  pixelY)
        {
            latitude  =  Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
            longitude  =  Clip(longitude, MinLongitude, MaxLongitude);

             double  x  =  (longitude  +   180 )  /   360 ; 
             double  sinLatitude  =  Math.Sin(latitude  *  Math.PI  /   180 );
             double  y  =   0.5   -  Math.Log(( 1   +  sinLatitude)  /  ( 1   -  sinLatitude))  /  ( 4   *  Math.PI);

             uint  mapSize  =  MapSize(levelOfDetail);
            pixelX  =  ( int ) Clip(x  *  mapSize  +   0.5 ,  0 , mapSize  -   1 );
            pixelY  =  ( int ) Clip(y  *  mapSize  +   0.5 ,  0 , mapSize  -   1 );
        }



         ///  

         ///  Converts a pixel from pixel XY coordinates at a specified level of detail
         ///  into latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees).
         ///  

         ///   X coordinate of the point, in pixels.
         ///   Y coordinates of the point, in pixels.
         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   Output parameter receiving the latitude in degrees.
         ///   Output parameter receiving the longitude in degrees.
         public   static   void  PixelXYToLatLong( int  pixelX,  int  pixelY,  int  levelOfDetail,  out   double  latitude,  out   double  longitude)
        {
             double  mapSize  =  MapSize(levelOfDetail);
             double  x  =  (Clip(pixelX,  0 , mapSize  -   1 )  /  mapSize)  -   0.5 ;
             double  y  =   0.5   -  (Clip(pixelY,  0 , mapSize  -   1 )  /  mapSize);

            latitude  =   90   -   360   *  Math.Atan(Math.Exp( - y  *   2   *  Math.PI))  /  Math.PI;
            longitude  =   360   *  x;
        }



         ///  

         ///  Converts pixel XY coordinates into tile XY coordinates of the tile containing
         ///  the specified pixel.
         ///  

         ///   Pixel X coordinate.
         ///   Pixel Y coordinate.
         ///   Output parameter receiving the tile X coordinate.
         ///   Output parameter receiving the tile Y coordinate.
         public   static   void  PixelXYToTileXY( int  pixelX,  int  pixelY,  out   int  tileX,  out   int  tileY)
        {
            tileX  =  pixelX  /   256 ;
            tileY  =  pixelY  /   256 ;
        }



         ///  

         ///  Converts tile XY coordinates into pixel XY coordinates of the upper-left pixel
         ///  of the specified tile.
         ///  

         ///   Tile X coordinate.
         ///   Tile Y coordinate.
         ///   Output parameter receiving the pixel X coordinate.
         ///   Output parameter receiving the pixel Y coordinate.
         public   static   void  TileXYToPixelXY( int  tileX,  int  tileY,  out   int  pixelX,  out   int  pixelY)
        {
            pixelX  =  tileX  *   256 ;
            pixelY  =  tileY  *   256 ;
        }



         ///  

         ///  Converts tile XY coordinates into a QuadKey at a specified level of detail.
         ///  

         ///   Tile X coordinate.
         ///   Tile Y coordinate.
         ///   Level of detail, from 1 (lowest detail)
         ///  to 23 (highest detail).
         ///   A string containing the QuadKey.
         public   static   string  TileXYToQuadKey( int  tileX,  int  tileY,  int  levelOfDetail)
        {
            StringBuilder quadKey  =   new  StringBuilder();
             for  ( int  i  =  levelOfDetail; i  >   0 ; i -- )
            {
                 char  digit  =   ' 0 ' ;
                 int  mask  =   1   <<  (i  -   1 );
                 if  ((tileX  &  mask)  !=   0 )
                {
                    digit ++ ;
                }
                 if  ((tileY  &  mask)  !=   0 )
                {
                    digit ++ ;
                    digit ++ ;
                }
                quadKey.Append(digit);
            }
             return  quadKey.ToString();
        }



         ///  

         ///  Converts a QuadKey into tile XY coordinates.
         ///  

         ///   QuadKey of the tile.
         ///   Output parameter receiving the tile X coordinate.
         ///   Output parameter receiving the tile Y coordinate.
         ///   Output parameter receiving the level of detail.
         public   static   void  QuadKeyToTileXY( string  quadKey,  out   int  tileX,  out   int  tileY,  out   int  levelOfDetail)
        {
            tileX  =  tileY  =   0 ;
            levelOfDetail  =  quadKey.Length;
             for  ( int  i  =  levelOfDetail; i  >   0 ; i -- )
            {
                 int  mask  =   1   <<  (i  -   1 );
                 switch  (quadKey[levelOfDetail  -  i])
                {
                     case   ' 0 ' :
                         break ;

                     case   ' 1 ' :
                        tileX  |=  mask;
                         break ;

                     case   ' 2 ' :
                        tileY  |=  mask;
                         break ;

                     case   ' 3 ' :
                        tileX  |=  mask;
                        tileY  |=  mask;
                         break ;

                     default :
                         throw   new  ArgumentException( " Invalid QuadKey digit sequence. " );
                }
            }
        }
    }
}