GIS坐标系
GIS 中的坐标系定义由 “（1）基准面” 和 “（2）地图投影”两组参数确定。
基准面的定义由特定椭球体及其对应的转换参数确定，因此，要想弄清楚GIS中坐标系的定义，必须要先明确 地球椭球体（Ellipsoid）、大地基准面（Datum）、地图投影（Projection） 等三者的基本概念及其之间的关系。
1、地球椭球体（Ellipsoid）
众所周知我们的地球表面是一个凸凹不平的表面，而对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式表达的曲面，这样的曲面不能作为测量和制图的基准面。
假想一个扁率极小的椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体，称之为地球椭球体。地球椭球体表面是一个规则的数学表面，可以用数学公式表达，所以在测量和制图中就用它替代地球的自然表面。因此就有了地球椭球体的概念。
地球椭球体有“长半径”和“短半径之分”，长半径(a)即赤道半径，短半径(b)即极半径。f=（a-b）/a 为椭球体的扁率，表示椭球体的扁平程度。由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f 。因此，a、b、f被称为 地球椭球体的三要素。
对地球椭球体而言，其围绕旋转的轴叫地轴。地轴的北端称为地球的北极，南端称为南极；过地心与地轴垂直的平面与椭球面的交线是一个圆，这就是地球的赤道；过英国格林威治天文台旧址和地轴的 平面 与 椭球面 的交线称为本初子午线。
<地理坐标系统以本初子午线为基准（向东，向西各分了180度）之东为东经其值为正，之西为西经其值为负；以赤道为基准（向南、向北各分了90度）之北为北纬其值为正，之南为南纬其值为负。
椭球体的几何定义：
O是椭球中心，NS为旋转轴，a为长半轴（赤道半径），b为短半轴（极半径）。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
几种常见的椭球体参数值:
| 克拉索夫斯基椭球体 | 1975年国际椭球体 | WGS-84椭球体 | |
|---|---|---|---|
| a | 6378245.0000000000(m) | 6378140.0000000000(m) | 6378137.0000000000(m) |
| b | 6356863.0187730473(m) | 6356755.2881575287(m) | 6356752.3142(m) |
| c | 6399698.9017827110(m) | 6399596.6519880105(m) | 6399593.6258(m) |
| α | 1/298.3 | 1/298.257 | 1/298.257 223 563 |
| e2 | 0.006693421622966 | 0.006694384999588 | 0.0066943799013 |
| e’2 | 0.006738525414683 | 0.006739501819473 | 0.00673949674227 |
2、大地基准面（Datum）
基准面 是在特定区域内与地球表面极为吻合的 椭球体。椭球体表面上的点与地球表面上的特定位置相匹配，也就是对椭球体进行定位，该点也被称作基准面的 原点。原点的坐标是固定的，所有其他点由其计算获得。
基准面的坐标系原点往往距地心有一定偏移(有的也在地心，如WGS1984)，如西安80的基准面和北京54的基准面，因为椭球体通过定位以便能更好的拟合不同的地区，所以同一个椭球体可以拟合好几个基准面，因为原点不同，所以不同的基准面上，同一个点的坐标是不相同的，这点我们应该清楚。
大地基准面（Geodetic datum），设计用为最密合部份或全部大地水准面的数学模式。它由椭球体本身及椭球体和地表上一点视为原点间之关系来定义。此关系能以 6个量来定义，通常（但非必然）是1）大地纬度、2）大地经度、3）原点高度、45）原点垂线偏差之两分量、6）原点至某点的大地方位角。
同一个椭球面，不同的地区由于关心的位置不同，需要最大限度的贴合自己的那一部分，因而大地基准面就会不同。
GIS中的基准面 通过当地基准面向WGS1984的转换7参数来定义（七参数布尔莎模型），转换通过相似变换方法实现，具体算法可参考科学出版社1999年出版的**《城市地理信息系统标准化指南》**第76至86页。假设Xg、Yg、Zg表示WGS84地心坐标系的三坐标轴，Xt、Yt、Zt表示当地坐标系的三坐标轴，那么自定义基准面的7参数分别为：三个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ表示两坐标原点的平移值；三个旋转参数εx、εy、εz表示当地坐标系旋转至与地心坐标系平行时，分别绕Xt、Yt、Zt的旋转角；最后是比例校正因子，用于调整椭球大小。
那么现在让我们把地球椭球体和基准面结合起来看，在此我们把地球比做是“马铃薯”，表面凸凹不平，而地球椭球体就好比一个“鸭蛋”，那么按照我们前面的定义，基准面就定义了怎样拿这个“鸭蛋”去逼近“马铃薯”某一个区域的表面，X、Y、Z轴进行一定的偏移，并各自旋转一定的角度，大小不适当的时候就缩放一下“鸭蛋”，那么通过如上的处理必定可以达到很好的逼近地球某一区域的表面。
因此，从这一点上也可以很好的理解，每个国家或地区均有各自的基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。
椭球体与基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。地球椭球体和基准面之间的关系以及基准面是如何结合地球椭球体从而实现来逼近地球表面的
3、地图投影（Projection）
地球是一个球体，球面上的位置是以经纬度来表示，我们把它称为“球面坐标系統”或“地理坐标系統”。
在球面上计算角度距离十分麻烦，而且地图是印刷在平面纸张上，要将球面上的物体画到紙上，就必须展平，这种将球面转化为平面的过程，称为“投影”。经由投影的过程，把球面坐标换算为平面直角坐标，便于印刷与计算角度与距离。由于球面无法百分之百展为平面而不变形，所以除了地球仪外，所有地图都有某些程度的变形，有些可保持面积不变，有些可保持方位不变，视其用途而定。
目前国际间普遍采用的一种投影，是即 横轴墨卡托投影(Transverse Mecator Projection)，又称为 高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger Projection)，在小范围内保持形状不变，对于各种应用较为方便。我们可以想象成将一个圆柱体橫躺，套在地球外面，再将地表投影到这个圆柱上，然后将圆柱体展开成平面。圆柱与地球沿南北经线方向相切，我们将这条切线称为“中央经线”。
简单来说，高斯投影的方法就是保持赤道和中央经线不变形，把球面摊平。方法：用一个椭圆柱套住椭球，把它投影到椭圆柱上，然后打开椭圆柱即可。
在中央经线上，投影面与地球完全密合，因此图形没有变形；由中央经线往東西两侧延伸，地表图形会被逐渐放大，变形也会越来越严重。为了保持投影精度在可接受范围内，每次只能取中央经线两侧附近地区来用，因此必须切割为许多 投影带。就像将地球沿南北子午线方向，如切西瓜一般，切割为若干带状，再展成平面。
目前世界各国军用地图所采用的UTM 坐标系統 (Universal Transverse Mecator Projection System)，即为横轴投影的一种。是将地球沿子午线方向，每隔 6 度切割为一带，全球共切割为 60 个投影带。
地图投影几何分类主要包括：
3.1、高斯-克吕格投影性质
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名“高斯-克吕格投影”。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变 和 赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取 中央子午线 与 赤道 交点的投影为 原点，中央子午线的投影为纵坐标 x轴，赤道的投影为横坐标 y轴，构成 高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
3.2、高斯-克吕格投影分带
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为 六度带 或 三度带 。
六度带 自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2…60带。三度带 是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自 1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第 1、2…120带。
我国的经度范围西起 73°东至135°，可分成六度带十一个，各带中央经线依次为75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°，或三度带二十二个。六度带可用于中小比例尺（如 1：250000）测图，三度带可用于大比例尺（如 1：10000）测图，城建坐标多采用三度带的高斯投影。
3.3、高斯-克吕格投影坐标
高斯-克吕格投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。以中央经线投影为纵轴(x), 赤道投影为横轴(y),两轴交点即为各带的坐标原点。纵坐标以赤道为零起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标均为正值。横坐标如以中央经线为零起算，中央经线以东为正，以西为负，横坐标出现负值，使用不便，故规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，凡是带内的横坐标值均加 500公里。由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，为了区别某一坐标系统属于哪一带，在横轴坐标前加上带号，如(4231898m,21655933m)，其中21即为带号。
3.4、高斯-克吕格投影与UTM投影
某些国外的软件如ARC/INFO或国外仪器的配套软件如多波束的数据处理软件等，往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影坐标当作高斯-克吕格投影坐标提交的现象。
UTM投影全称为“通用横轴墨卡托投影”，是等角横轴割圆柱投影（高斯-克吕格为等角横轴切圆柱投影），圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，该投影将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。UTM投影与高斯投影的主要区别在南北格网线的比例系数上，高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，即比例系数为1，而UTM投影的比例系数为0.9996。UTM投影沿每一条南北格网线比例系数为常数，在东西方向则为变数，中心格网线的比例系数为0.9996，在南北纵行最宽部分的边缘上距离中心点大约 363公里，比例系数为 1.00158。
高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 Xutm=0.9996 * X高斯，Yutm=0.9996 * Y高斯进行坐标转换。
以下举例说明(基准面为WGS84)：
| 输入坐标（度） | 高斯投影（米） | UTM投影（米） | Xutm=0.9996 * X高斯 | Yutm=0.9996 * Y高斯 |
|---|---|---|---|---|
| 纬度值（X） | 32 3543600.9 | 3542183.5 | 3543600.9*0.9996 ≈ 3542183.5 | |
| 经度值（Y） | 121 21310996.8 | 311072.4 | 10996.8-500000)*0.9996+500000 ≈ 311072.4 |
注：坐标点（32,121）位于高斯投影的21带，高斯投影Y值21310996.8中前两位“21”为带号；坐标点（32,121）位于UTM投影的51带，上表中UTM投影的Y值没加带号。因坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000。
参考：
https://www.sohu.com/a/165557412_488161
https://www.sohu.com/a/216707265_465233
https://blog.csdn.net/u014357799/article/details/49686947