数理逻辑3 -- 形式数论9

关系的组合
既然函数可以通过各种操作组合出新的函数，关系当然也有类似的操作。关系的组合是通过和命题演算系统（第一章的系统L）里的连接符号进行操作的。我们可以定义以下关系的组合操作：
定义3.9.1：
a. 若 R1(x1,...,xn) 是关系，则记 R(x1,...,xn) 为 ¬R1(x1,...,xn) ， R 也是关系。
b. 若 R1(x1,...,xn) 和 R2(y1,...,ym) 是关系，则记 R(x1,...,xn,y1,...,ym) 为 R1(x1,...,xn)∨R2(y1,...,ym) ， R 也是关系。类似的， R1∧R2 也是关系，它的含义和命题演算系统里一样，由 ¬ 和 ∨ 定义，即 R1∧R2 是 ¬(¬R1∨¬R2) 的缩写。

除了连接符号以外，关系的组合还可由“有界量词”构成。
定义3.9.2：（关系的有界量词）若R(x_1,…,x_n, y)是关系，考虑 Q(x1,...,xn,z) ，则
a. Q 为 (∀y)y<zR(x1,...,xn,y) ，它也是关系，表示对于所有的 y ，如果 y<z ，则 R(x1,...,xn,y) 成立。
b. Q 为 (∀y)y≤z ，它是 (∀y)y<z+1R(x1,...,xn,y) 的另一种写法，因此它也是关系。
c. Q 为 (∃y)y<zR(x1,...,xn,y) ，它也是关系，表示存在某些 y ，使得 y<z ，且 R(x1,...,xn,y) 成立。
d. Q 为 (∃y)y≤zR(x1,...,xn,y) ，它是 (∃y)y<z+1R(x1,...,xn,y) 的另一种写法，因此它也是关系。

最后，关系的组合也有类似的“受限 μ− 操作”。
定义3.9.3：（受限 μ− 操作）：若 R(x1,...,xn,y) 是关系，则记 Q(x1,...,xn,z) 为 μyy<zR(x1,...,xn,y) 。若存在某些 y 使得 y<z 且 R(x1,...,xn,y) 成立，则 Q(x1,...,xn,z)=最小的这样的y；否则，Q(x1,...,xn,z)=z 。

定义3.9.4：关系R是原始递归（或，递归），当且仅当它的特征函数 CR 是原始递归（或，递归）。

有了关系的组合规则，必然就要考察递归性在组合后是否能延续。

命题3.18：由连接符好、有界量词、受限 μ− 操作产生的关系，会保持组合前关系的原始递归性（或，递归性）。
证明：不难，略。

还有个命题后面会用到。

命题3.19：记函数 f(x1,...,xn) 为：

f(x1,...,xn)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪g1(x1,...,xn)g2(x1,...,xn)gk(x1,...,xn)若$R1(x1,...,xn)$成立若$R2(x1,...,xn)$成立若$Rk(x1,...,xn)$成立

。如果 g1,...,gk 和 R1,...,Rk 都是原始递归（或，递归），且对于任意 x1,...,xn ， R1,...,Rk 中有且只有一个关系成立，则 f 是原始递归（或，递归）。

证明：因为 f(x1,...,xn)=∑ki=1gi(x1,...,xn)⋅sg¯¯¯(CRi(x1,...,xn)) ，所以不难得出 f 是原始递归（或，递归）。证毕。