数据结构与算法学习笔记（第四章 串、数组、广义表）（2）数组

数组

• 定义：按一定格式排列起来的具有相同类型的数据元素的集合

维度：

一维

• 若线性表中的数据元素是非结构的简单元素
• 就称该数组是一维数组
• 逻辑结构是线性结构，定长线性表
• 声明格式：数据类型 变量名称[长度];

二维

• 一维数组的数据元素又是一维数组，可以这么理解

• 逻辑结构

  • 非线性结构：每个数据元素既在一个行表中（行一维数组），又在一个列表中（列一维数组）
  • 线性结构的定长线性表：二维数组的每个数据元素也是一个定长的线性表

• 声明格式：数据类型 变量名称[行数(数组第一维)][列数(数组第二维)];

• 骚操作：typedef elemtype array2[m][n];等价于：typedef elemtype array1[n];typedef array1 array2[m];（elemtype为数据类型）

三维

• 二维数组中的元素又是一个一维数组
• a[m1][m2][m3]各维元素个数为m1,m2,m3
• 下标为i1,i2,i3的数组元素存储位置为LOC(i1,i2,i3)=a+i1m2m3+i2*m3+i3
• a为数组首元素的存储位置，i1m2m3是前i1页（表示维度的量词）总元素个数,i2*m3是第i1页的前i2行总元素个数，i3是第i2行前i3列的元素个数（注意每列一个，因为限定在了第i2行）

N维

• n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构
• 这类似于嵌套定义然后展开嵌套的内容
  

结论，特点

• 结论：线性表结构是数组结构的特例，数组结构是线性表结构的扩展

• 特点：结构固定——定义数组后维数和维界([0,维长度-1]的闭区间两边分别为维下界和维上界）不再改变，所以数组不适用于增删操作

• 适用于查（取）改和数组初始化/销毁操作

定位某个元素

• 其中a为数组名，也是数组首地址

• i为数组下标值，L是数组元素所占的内存字节数（比如int型变量在32位机是4字节）

顺序存储方式

• 以行序为主序（低下标优先）

• 以列序为主序（高下标优先）

二维数组的顺序存储方式（行序为主序）

• 求存储位置都是求数组元素的地址，但地址又分小地址（因为不同类型占不同内存字节的缘故），以第一个小地址作为数组元素的存储位置
• a[i][j]的存储位置Loc(i,j)=Loc(0,0)+(n*i+j)*L，存储位置取存储单元的首地址（假设int型数组元素占4个字节，即一个int型存储单元由4个小存储单元组成，这个数组元素的存储位置就取头个小存储单元）
• Loc(0,0)为数组开始存储位置，每个数组元素需要L个存储单元，(ni+j)是a[i][j]前面所有元素的个数，i代表前面一共有i行，因为数组从0开始，到i-1这一行经过i行，n就是每一行的元素个数，j就是数组元素a[i][j]这一行前面的元素个数（前面有多少列(0~j-1共j列）就有多少个元素个数在a[i][j]这一行这一个元素的前面，然后加起来L就是a[i][j]前面所有元素所需要的内存单元，然后加上首位置（首地址）就是a[i][j]的存储位置（存储地址）
• 例题：

矩阵

• 一个由mxn个元素排列成的m行n列的表

• 常规存储形式：二维数组（还有非常规存储形式，在下面介绍）

• 常规存储特点：随机存取，存储密度1，运算简单

• 常规存储弱点：相同值的元素很多且呈某种规律分布/零元素多，这些情况不适宜常规存储

• 非常规存储：压缩存储——为多个相同的非零元素只分配一个空间，零元素不分配空间——用于特殊矩阵

特殊矩阵的压缩存储

• 对称矩阵

  • 特点：对角线为对称轴，对角线上下的三角区域元素对称
  • 对称矩阵上下三角的元素数（包括对角线的元素）均为n(n+1)/2 （1+2+…+n)
  • 压缩存储方法：以行序为主序（先存第一行元素从左往右依次存，再第二行从左往右，再第三行。。。第N行从左往右这样存储在一个一维数组中）将一个三角存在一维数组sa[n(n+1)/2]中，如图所示
  • 求a[i][j]在压缩存储所用的一维数组的位置
    

• 三角矩阵

  • 特点：矩阵对角线以下（或以上）的数据元素（不包括对角线）全部为常数C
  • 压缩存储方法：重复的矩阵元素C共享一个元素存储空间，剩下的上/下三角矩阵按行序主序和共享元素空间存在一维数组里，共占用n(n+1)/2 +1个元素空间，即sa[n(n+1)/2+1]
  • 求a[i][j]求a[i][j]在压缩存储所用的一维数组的位置
    
    其中上三角矩阵是说上三角矩阵有意义，不全都是一个常数C。下三角矩阵是说下三角矩阵有意义，不全都是一个常数C。

• 对角矩阵（带状矩阵）

  • 压缩存储方法及对角矩阵特点及举例：
    
    

• 稀疏矩阵

  • 特点：设在mxn的矩阵中有t个非零元素，令δ=t/(mxn)，当δ<=0.05时称为稀疏矩阵，如图所示：
    

  • 压缩存储方法：三元组法或十字链表法

  • 压缩原则：存各非零元素的值、行，列位置、和矩阵的行列数

    • 三元组法（有序的双下标法）

      • 三元组(i,j,aij)唯一确定矩阵的一个非零元，i代表第i行，j代表第j列，aij代表一个非零元素，注意这里i、j从1开始，也就是考虑普通矩阵而非矩阵的存储形式——矩阵数组。三元组法代表矩阵二维数组的方式我举个例子给你说明：
        
      • 三元组的不同表示方法决定稀疏矩阵不同的压缩存储方法
      • 三元组顺序表（以下标1开始，下标0用来描述稀疏矩阵总体信息：总行数，总列数，非零元素总个数，如图所示：
        
      • 优点：非零元素在表中按行序有序存储，因此便于进行依次顺序处理的矩阵运算（取某矩阵元素，改某矩阵元素）
      • 缺点：不可随机存取，必须像链表一样从头找我想找的行号来存取某一行的非零元素

    • 十字链表法

      • 两个指针数组：一个行头指针数组，一个列头指针数组，就像这样，如图所示：
        
        

      • 优点：灵活插入因运算而产生的新的非零元素，删除因运算而产生的新的零元素。从而简便实现矩阵各种运算

      • 特点：矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，该结点结构为：
        
        row是非零元素值所在矩阵二维数组的行，col是非零元素值所在矩阵二维数组的列，value是非零元素值