回顾[2007-09-03 12:58:03]
又告一段落了.明天报到,可能又要有所转变.
26号妈回去了,到这广州半年了,也没怎么出去过,就去送了下.然后就跑到广州购书中心去看了,没找到伍鸿熙的黎曼几何,呆了一下午,才回到天河.27号就打电话到学校,看可不可以过来住.(我在那住也不方便了)
打了几个电话,可以,搬着东西就来了,很多,两个包,都是书,还有一个大包,装的是住的东西,另外还有个席子.唐僧师徒的东西我全背来了.
很可惜,到这没地方住,吃饭也不方便,没卡,只能用饭票(我要先看了菜才去Calculate).
有幸的是,邹腾跃同学帮了个大忙,帮我找到了宿管中心,安排了个临时住宿的.
晚上没事了,拿起书去自习!
其实根本也没想看.不过说也奇怪,我居然看下了,而且入迷了,以至后来不肯丢弃,一直看下去,那是陈省身的微分几何讲义.以前浏览了很多次,总感觉还没有到家的感觉.我本科没学微分几何,没点素养.暑假的时候买了陈维桓的微分几何,废话太多了,不过还是很能让我看懂,以至看完了,很想去Riemannian Geometry里去畅游一下.
陈省身的书很好,当然那也是看懂了的时候.好像看完了,我能清晰的记得讲了些什么,而且知道为什么要这样,而不那样.
先基础知识吧,要有广泛而坚实的基础,大师说得对,有的东西是要重复了,重复了,熟练了,也就好玩了,才能创新.
第一章,微分流形(Differential Manifold).
先个定义流形,它的每一点都有个领域与欧式空间(一个定的)的开子集同胚.就这么个定义也还是Whitney很晚给出的,说是1931年,那时他也刚好证明了任何个流形都是某个高维欧式空间的子流行.后面就有相容的坐标卡,从而又有C^r相容了,再个极大的,就是Differential Manifold,加了微分结构,就好了,就可以利用微积分的知识了.最后来定一个光滑映射,学过多元微积分,就会把微分流形的映射定义为欧式空间之间的映射.
再来切空间了.就是要线性化,线性的东西是很好的,让人产生美感,而自然界的东西也是美好的,因为我们能感受快乐,而且也能把它简单化.先个余切空间和余切向量,是在某点的光滑函数,定义个等价关系,把它真正作为线性空间,其中的元素叫函数芽(我只要你的一个东西就够了)而后利用光滑曲线于其中又定义个等价关系,把函数芽关于局部坐标系的偏导都是0的看成一个,又构造出个商空间.这样就得函数的微分,就是余切向量了,而切向量就看成余切空间的函数了.于而有之.哦,有个诱导(Induced),流形之间的映射诱导出切空间,余切空间的映射[诱人么?确实,我被你勾魂了].这里有个配对(Match?),对两方面都是线性的,挺好的,大家都想结婚么.这以后还很多的诱导和配对呢.
好了,该生个儿子了,于而有子流形,这个不简单,先回顾下数学分析中的反函数定理,说得是Jacobian矩阵可逆,就能小范围内定义反函数.刚好呢,切映射和余切映射的变换矩阵就是Jacobian矩阵!于是就利用它来定义子流形吧.用Jacobian矩阵的秩来定义非退化的,而后又单一,就是(嵌入)子流形了.举了一大堆的例子,那个很好,就是环面的结构.当然,开子流形和闭子流形也都定义了,就剩个正则子流形了,它有个很好的特征,就是是开子流形的闭子流形(也许闭子流形是在正则子流形之后定义的),它的证明很好,以前学的拓扑有个用武之地了哦.
Frobenius定理了.妙哉,诚也!陈省身和哪个数学家了,给出了它的很简单的归纳证明,着实好!其实那些方法也经常用,但为什么不能自己写出来呢?慢慢来么.在流形的每一个点都指定一个切向量,就形成一个切向量场,它把流形上的函数映为函数,多美妙啊!又如果它把流形上光滑函数也映为光滑函数,那就是光滑切向量场了(Smooth).大师们开始考虑问题了,能不能把这光滑切向量场变得很简单呢,就是那个坐标线的切向量呢?这个有点难度,就换了,把"="变成了"=(mod)"你说能不能让人惊奇!如果在每个点都取定在该点的切空间的一个h维子空间,就形成个h维切子空间场L(h)了.再如果每一个点都有个小区域哦,其中有h个线性无关的光滑切向量场X(1,...,h),在这个小区域内的每个点L(h)都能被X(1,...,h)所span,那就是光滑的h维切子空间场,就是h维光滑分布.我们的问题就是看能不能把X(1,...,h)最简单化,最好就是标准的坐标线单位切向量!很好,是能做到的,哦,忘了个东西,就是Possion括号积,[X,Y]=XY-YX,这可能和求偏导次序有关的,所以他们(那些数学家)才这么定义的.Frobenius条件就是充要条件.
第二章,多重线性函数(Multiple Linear Function)
多重的,好啊.高等代数后面也有个.这里更深入了,张量积,外积.还有很多的配合,诱导,而且诱导又能和外积所交换.
第三章,外微分
为什么写成这个样子?矢量丛,张量丛.都忘了,学完就忘了.这里它把第一章Frobenius定理用外微分的语言写成了对偶形式.还有Stokes公式,微积分中的Newton-Leibnitz公式,Green公式,Gauss公式,Stokes公式,归结到这就美妙了,就一个公式,那是谁的功劳,谁的作用,外微分!再后来有外微分的积分,那是把局部定义的量整体化的最好结果.这里要用单位分解定理(这东西以后还经常用,不如联络的存在性和任意性的时候,很经受得住考验!)还有对于次数更少的外微分,它的积分就把它定义为次数和它一样的子流形的积分.这些都是很值得学习的.定义么,而且又很合乎常理.
第四章 联络 Connection
What's Connection? It's just Differentiation!
还有个标价丛上的联络没看完...里面又有些代数的东西还没被敲过.
这里再有首诗,在校内网里有的:
我之人生
听,珠江之涌底;
看,长风之破浪.
汗流之浃背,喜;
珠峰之微笑,欢!
没想到,有两个珠,没办法,也不想改了,而且哪个都不能改.