[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 一阶中值)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)(\xi-a)=f(\xi)-f(a). \eex$$

证明:

(1) 记 $y=f(x)$, 则 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}(x-a)=y-f(a)\lra [y-f(a)]\rd x-(x-a)\rd y=0. \eex$$ 由于 $$\bex \frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1-(-1)}{-(x-a)}=\frac{-2}{x-a} \eex$$ 而上述 ODE 有积分因子 $$\bex e^{-2\int \frac{1}{x-a}\rd x} =\frac{1}{(x-a)^2}. \eex$$ 于是 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}(x-a)=y-f(a)\lra \rd \frac{y-f(a)}{x-a}=0. \eex$$

(2) 记 $$\bex F(x)=\sedd{\ba{ll} \frac{f(x)-f(a)}{x-a},&a<x\leq b,\\ f'(a),&x=a. \ea} \eex$$ 则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 由 Lagrange 中值定理, $$\bex F(a)=f'(a),\quad F(b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\eta),\quad \eta\in (a,b). \eex$$

(3) 若 $f'(a)=f'(\eta)$, 则由 Rolle 定理, $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st F'(\xi)=0. \eex$$

(4) 若 $f'(a)>f'(\eta)$, 则由 $$\beex \bea F'(b)&=\frac{f'(b)(b-a)-[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}\\ &=\frac{f'(a)(b-a)-f'(\eta)(b-a)}{(b-a)^2}\\ &=\frac{f'(a)-f'(\eta)}{b-a}\\ &>0 \eea \eeex$$ 知 $F$ 的最小值不能在 $x=b$ 处取得; 又因为 $f'(a)>f'(\eta)$, 而也不能在 $x=a$ 处取得; 故只能在某 $\xi\in (a,b)$ 处取得. 如此, $F'(\xi)=0$.

(5) 若 $f'(a)<f'(\eta)$, 按上述论证, $F$ 的最大值只能在某 $\xi\in (a,b)$ 处取得. 如此, $F'(\xi)=0$.