C++之求有向无环图的最长路径（拓扑排序+动态规划）

        最近在做求有向无环图的最长路径的问题，当然，求最长路径有许多方法，比如可以直接用Floyd算法来求，只需稍微改动一下，不过用拓扑排序+动态规划来做，百度搜索了一下，介绍这方面的资料不够完善，也许会让许多人不够清楚实现原理，在这里，我讲解一下自己的一些思路，分成四部分进行编程：

      一、创建有向无环图：

      我用的数据存储结构是邻接矩阵，如果用邻接表也是可以的。这里就不多作解释，直接进入关键代码部分。

        

      二、拓扑排序：

      官方解释是：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

      用通俗的话来讲就是，比如你要选课A、B、C，但是读B要先选A，读A要先选C，所以，进行拓扑排序后，就是C、A、B。

      所以在创建图的时候，要用一个标志数组indegree[]来保存每个顶点的入度，另外，在进行下面求最长路径的时候，需要用到拓扑排序的结果，所以还需要一个数组topo[]来记录拓扑排序的结果。

      拓扑排序里，都先找到入度为0的顶点，然后把它取出来（让它的入度等于负数进行实现），保存在topo[]里面，接着更新其他与这个顶点相邻的其他顶点的入度，最后，循环即可。

     

     三、求最长路径：

     只要知道了动态规划的公式就好，这里直接给出公式maxPath[v]=max{maxPaht[v],maxPath[k]+e[k][v]}，其中maxPath[v]表示的是起始点到点v的最长路径,e[k][v]表示点k到点v的距离。这个公式的意思是，假如有A、B、C三个点，求maxPath[C]，要么直接取maxPath[C]，要么取maxPath[A]+e[A][C]，要么取maxPath[B]+e[B][C]。当然，这个公式的所需要的顶点需要按顺序取自拓扑排序的结果，否则，有可能在进行求maxPath[k]+e[k][v]的时候，maxPath[k]并不是最长的，造成结果出错。

   

       四、求最长路线：

     这个我想了挺久的，最后想到的方法是用一个二维矩阵（N*N）保存每一个点到点的最长路径，对第N列进行排序，取出第N列中最大的一个数a，记录下行号R和列号C（在v1—>v2中，行对应的是v1，列对应的是v2），然后把列号C压进栈里（输出的时候直接输出就是最长路线了），接着按照这个数字a的行号R找到相同数字的列号R'（比如a数字在的位置是[4][5]，行号是4，则找到第4列），令N=R‘，重复以上步骤即可。

     

    下面贴出源代码仅供参考：

    

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

char *v;//顶点数组，下标为顶点号，值为顶点名称（用在创建有向无环图中）
int **e;//边的二维矩阵（用在创建有向无环图中）

int *indegree;//保存顶点入度数的数组（求拓扑排序）
int *topo;//保存拓扑排序结果的数组（求拓扑排序）

int *maxPath;//保存到此点的最长路径（求最长路径）

//创建有向无环图
void creatGraph(int vSize,int eSize)
{
	//初始化
	int i,j,k,c;
	char a,b;
	indegree=new int[vSize];
	topo=new int[vSize];	
    v=new char[vSize];
	e=new int*[vSize];
	for(i=0;i>v[i];
	cout<V2）以及权值，按换行键继续"<>a>>b>>c;
		for(j=0;jmaxPath[v2])
		                maxPath[v2]=maxPath[v1]+e[v1][v2];

				     if(maxPath[v2]>max)
					 {
				        max=maxPath[v2];//保存长度
					    path[v1][v2]=max;									     
					 }
				 }
			}					
		}

		//求最长路线
        stack s;//保存线路
		for(i=vSize-1;i>0;)
		{
			for(j=0;j "; 
			cout<>vSize>>eSize;

	    creatGraph(vSize,eSize);//创建图
        topologicalSort(vSize);//拓扑排序
		getMaxPath(vSize);//最长路径
			
	}
	return 0;
}

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