HDU1145 So you want to be a 2n-aire?（随机概率·概率dp·好题）

传送门
题意很简单：问答游戏，初始金额有一块钱，如果选择答的话，答对奖金翻倍，答错就没钱了，如果不答的话就，就维持奖金。答对的概率是$[t,1]$的一个随机概率。问在最优的策略下，$n$局后能获得的最大奖金期望值。
我们先来简化一下题目。
把概率固定为一个值$p$
设$dp[i]$为在$n-i$题后能获得的可能最大奖金。
则$dp[n]=1<<n$
而$dp[0]$即为答案。
设$best[i]$为答对$i$题后得到的奖金
则$best[i]=1<<i$.
对于某一题，考虑要不要回答，显然如果回答的期望值比不回答的期望值大，则回答，否则不回答。
因为$p$是确定的，所以要么都回答，要么都不回答。
所以不回答的时候，$dp[i]=bext[i]$
回答的时候，$dp[i]=dp[i+1]\cdot p$
则当$dp[i+1]\cdot p>bext[i]$时，就选择答题，否则不答题。
回到本题
概率变成了一个范围内的随机，其实看可以分隔无数特定概率。
所以问题的本质就跟上面所说的一样了。
因为$\frac{{\int }_t^{1}pdp}{1-t}$=$\frac{1+t}{2}$
所以选择答题的时候，概率的期望值为$\frac{1+t}{2}$
取$p=\frac{best[i]}{dp[i+1]}$
则在$[t,p]$内的概率我们选择不回答题，在$[p,1]$的区间为选择答题，这样得到能得到最大的期望值
显然概率密度为$\frac{1}{1-t}$
所以有$dp[i]=[t>p]\cdot \frac{p-t}{1-t}\cdot best[i]+\frac{(1-max(p,t))\cdot (1+max(p,t))}{2\cdot (1-t)}dp[i+1]$
代码：

#include
using namespace std;
double dp[40];
double best[40];
int main() {
    best[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++)best[i]=best[i-1]*2;
    int n;
    double t;
    while(~scanf("%d%lf",&n,&t))
    {
        if(!n&&!t)break;
        dp[n]=best[n];
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            double p=best[i]/dp[i+1];
            dp[i]=(t<p)*(p-t)/(1.0-t)*best[i]+(1.0-max(p,t))/(1-t)*(1.0+max(p,t))/2*dp[i+1];
        }
        printf("%.3f\n",dp[0]);
    }
}