卡特兰数之括号匹配数问题（HDU5673）

摘抄百度百科：
卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : $1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,6564120420,24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324,4861946401452,...$
令$h(0)=1,h(1)=1$
卡特兰数满足：$h(n)=\sum _{i=0}^{n-1}h(i)\cdot h(n-i-1)$
这个形式往往是我们运用卡特兰数的精髓，通常化成这样的递推式，就可以运用卡特兰数的另类公式解题了
另类公式：
$h(n)=\frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n+1)$
题意（HDU5673）：机器人从原点开始走，每一步可以选择不走，向左一步或向右一步，再原点时不能向右走，问走n步后回到原点的方案数是多少。
本题题解：
机器人要么向左要么向右或者不动，向左的次数肯定等于向右的次数，设向左的次数为$i$次，则向右的次数也为$i$次，不动的次数就为$n-2\cdot i$,则不动的选择为$C(n,n-2\cdot i)$
现在剔除了不动点，剩下的都是要动的，分别为向左$i$次和向右$i$次，因为在原点时只能向右，所以从第一步开始,每一步累积的向左次数不能超过向右次数，否则就到原点左边了
把向右走一步看成添加一个左括号，向左走看成添加一个右括号，则问题变成了，有$i$对括号的合法括号序列为多少个

设$h(n)$为有$n$对括号的合法括号序列数，因为每一个左括号唯一对应一个右括号，所以我们从左括号对应第几个右括号枚举起，如对应第一个右括号，则左边$()$括号内还有0对括号，相当于$h(0)$，右边剩下$n-1$对合法括号序列,相当于$h(n-1)$
所以当一个左括号对应第一个右括号时有$h(0)\cdot h(n-1)$个合法序列。
当第一个左括号对应第二个右括号时，左边$()$内还有一对括号的合法序列，所以为$h(1)$，右边还剩$n-2$对括号，所以是$h(n-2)$
所以当一个左括号对应第二个右括号时有$h(1)\cdot h(n-2)$个合法序列。
后面枚举是一样的，可以发现这是一个递推式，而且跟卡特兰数的递推式一模一样。
所以有$n-2i$个不动点的合法情况是$C(n,n-2\cdot i)\cdot h(i)$
答案即为$\sum _{i=0}^{n/2}C(n,n-2\cdot i)h(i)$

#include
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=2e6+7;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int p[MX],k[MX];
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
ll A[MX],B[MX],C[MX];
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  A[1]=1;
  A[0]=1;
  B[0]=1;
  B[1]=1;
  rep(i,2,MX-1)
  {
      A[i]=A[i-1]*i%mod;
      B[i]=inv(A[i])%mod;
      C[i]=B[i]*B[i]%mod*inv(i+1)%mod;
  }
  C[1]=inv(2);
  int T;
  cin>>T;
  while(T--){
    int n;
    cin>>n;
    ll sum=1;
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
    {
        res=res+C[i]*B[n-2*i]%mod;
        if(res>=mod)res-=mod;
    }
    sum=sum+res*A[n]%mod;
    cout<<sum%mod<<endl;
  }
}