无向哈密顿图回路Dirac 定理证明和竞赛图为哈密顿通路的证明过程

Dirac 定理： 设一个无向图中有 N 个节点，若所有节点的度数都大于等于 N/2，则汉密尔顿回路一定存在。注意，“N/2” 中的除法不是整除，而是实数除法。如果 N 是偶数，当然没有歧义；如果 N 是奇数，则该条件中的 “N/2” 等价于 “⌈N/2⌉”。

网上已经有证明的方法，比如：http://blog.csdn.net/weiguang_123/article/details/7830047

而我想从自己的理解用反证法来证明一下：

我们先假设N为偶数，如果偶数成立，那当为奇数的时候很明显（边 / 点）的值更大出现回路的可能性更大（这只是我的一种理解方式，其实也可以按照偶数的方式证明的）

一：首先可以证明图一定是连通的：

前提：设 d(v) 表示节点 v 的度数。对于任意两个节点 u、 v，若它们不相邻，则可能和它们相邻的节点共有 N - 2 个，而 d(u) + d(v) ≥ N/2 + N/2 ≥ N。

1：假设u和v不连通

2：则尽量使得u和v的度数连向不同的点（即尽量别出现某点同时和u，v点同时相连），那么将有（N - 2）/ 2的点和u连，（N - 2）/ 2的点和v连；

而d（u） = N / 2   = (N - 2) / 2 + 1；所以u至少还得连接一个已经被v连接的点，

3：存在一个点同时和u，v连接，那么u，v可达；

所以这样u和v就能通过这个点连通了。（同理：v会和已经被u连接好的点连接）

二：现在证明存在一个连接所有N个点的回路：

步骤1.先证明存在k（k <= N）个点的的哈密顿回路。

（1）任意找两个相邻的节点 S 和 T，在它们基础上扩展出一条尽量长的没有重复节点的路径。也就是说，如果 S 与节点 v 相邻，而且 v 不在路径 S → T 上，则可以把该路径变成 v → S → T，然后 v 成为新的 S。从 S 和 T 分别向两头扩展，直到无法扩为止，即所有与 S 或 T 相邻的节点都在路径 S → T 上。此时这条路径的点数为k 个。

（2）而 d(S) + d(T) ≥ N/2 + N/2 ≥ N >= k；只要证明S到T的路径上存在点vi和T相连，vj和S相连（i < j）那么i到j路径任意相连两点都能作为回路的始末点。

证明如下：

【1】假设与S相连的都在编号为2到k/2,T相连的是k/2到k - 1，这样就能保证不会存在点（i < j）vi和T相连，vj和S相连

【2】但是这样和S的度数最多为：k/2 - 1 <= N / 2 - 1,则d(S) <= N / 2 - 1和d(S) >= N / 2矛盾。

【3】所以必须和S相连的会有一个点大于k/2，证明完毕。

if（k = N）证明完毕；

else 跳到步骤2；

步骤2：

（1）由步骤1得到k个点的哈密顿回路。

（2）当存在第k+1点即不和S相连，又不和T相连，则必定和S到T间的点Vi相连，否则不连通，这样就可以断开k个点的回路Vi附近的边，形成新的S->T的路径，之后可以回到步骤1，直到k = N。

竞赛图：每对顶点之间都有一条边相连的有向图称为竞赛图

证明：n(n>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路

归纳法：假设当1到k个点已经为哈密顿通路1-> 2 -> ....->k，再把Vk+1归并进去：

1：当假k个点中有相邻的两个点Vi->Vi + 1，出现Vi -> Vk+1，Vk+1 -> Vi+1，则Vk+1直接插入Vi->Vi+1

2:当假k个点中有相邻的两个点Vi->Vi + 1，出现Vi -> Vk+1，Vi+1 ->Vk+1,当往右追溯到k的话如果一直都是指向Vk+1的话，那必然出现Vk->Vk+1

否则会出现1的情况。

3：当假k个点中有相邻的两个点Vi->Vi + 1，出现 Vk+1  -> Vi，那就往左追溯到1，如果一直Vk+1指向vj（1 <= j <= i）的话,那必然会出现Vk+1 -> V1

否则会出现1的情况。