线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间

  • 逆矩阵
  • 零空间

逆其实就是你操作,比如矩阵A的目的是旋转(运动)+90度,那么逆操作就是旋转-90度,相当于操作复原!

线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第1张图片

那么为什么当行列式的值是0的时候就不存在逆呢?

你想啊,你一个三维的体积被在行列式的值为0时被压缩到二维了,丢失了很多信息,同时逆就是逆操作,逆信息都丢失了,我还怎么按图索骥给你逆操作回去啊?!!!

相当于你要把一条直线解压为一个平面,直观上就知道不可能嘛!


线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第2张图片
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同时从函数的角度,函数是多入单出的,你从1维解压到2维就相当于一个输入要对应多个输出啊!

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真实的使用场景是下面这样的,求线性方程组,要求的是X向量,因此直观上是使得A变为纯1的对角矩阵就好了,怎么做?
矩阵中当然是矩阵的逆啊!


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线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第5张图片
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假如矩阵的逆不存在也就是行列式为0,那么是不是上图中的A*X = V就一定无解了呢?
不一定啊!因为行列式为0的时候就是降维,假如降维到1维,但是我的V刚好跟逆的A线性相关(共线)呢!直接求解了!
但是必须知道的是这样子的概率很低的,二维平面这么多的方向A跟V共线的概率何其小啊~

秩:变换后空间的维度

  • 变换后1维则秩为1;
  • 变换后2维则秩为2;
  • ······


    线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第6张图片
    ##

3*3矩阵的秩为2则表示被压缩了一维,但是比秩为1的压缩程度还是低一些的~

列空间:因为矩阵的列是用来告诉逆基向量变换后的位置。

线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第7张图片
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如下图中的行列式为2 (-1)-(-2)1=0,所以二维降为一维,
线性代数的本质#0x04 - 逆矩阵、列空间与零空间_第8张图片

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