为什么要学数学－－读《给讨厌数学的人》第四章之读书笔记

《给讨厌数学的人》第四章--归谬法，归纳法，充分必要条件，对偶的彻底解析

• 卡尔.马克思(Karl Marx,1818-1883)
  • 主张资本主义的兴衰和共产主义的实现。实践其思想的苏维埃帝国却搞错了必要条件和充分条件的逻辑，一致走向崩溃。
• 形式逻辑学的精华：归谬法
  • 归谬法：就是以什么为前提，会导致不合理的结果，因而得出的前提是错误的结论。
  • “非欧几何学”，发现者是：俄国的尼古拉斯.伊瓦诺比奇。罗巴切夫斯基
    • 公理不是绝对的，而是数学家订出来的。
  • 归谬法的形式：
    • 证明事项：P。
    • 假设：非P。
    • 从假设得出的结论：假的叙述
    • 结论：非P。为假，因此P。为真
  • 两难推理：从两边夹住对方，使之进退两难的辩证法，在讨论和辩论时极为有效。
    • 实例：学生和老师订立契约，如学生打赢了第一场官司就需要付学费。但是课程结束，学生一直没有付学费。老师将学生告上法庭。
      • 学生辩护：
        • 如果我输了这场官司，我就不需要付学费。（因为我和老师之间有契约）
        • 如果我赢了这场官司，我就不需要付费给老师。（因为老师输掉了请求支付学费的官司）
        • 依照上面，我不需要付学费给老师
      • 老师辩护：
        • 如果我赢了这场官司，学生就必须付学费给我（因为我赢了官司）
        • 如果我输了这场官司，我的学生也必须付学费给我。（因为依照契约，他赢了第一场官司）
        • 依照上面，学生必须付学费给我。
  • 归谬法活用的是典型的矛盾律
  • 从发现真理到建构模型的大转换
    • 古希腊人所说的“空间”，除了欧几里德得空间，还有其他超乎想象的空间。
  • 实例：毕达哥拉斯就是用归谬法证明了2的根不是有理数。
  • 友人将武器寄存在我这里，我处于正义应该还。但此友发疯，我该还？
    • 证明事项：说真话，把受托的东西还回去不是正义的正确定义。
    • 假设：说真话，把受托的东西还回去是正义的正确定义。
    • 从假设得出结论：把武器还给疯子是对的，但是这种行为很奇怪。
    • 所以说真话，把受托的东西换回去并非正义的正确定义。
• 数学之外的所有科学都是不完整的：归纳法
  • 近代科学和归纳法
    • 定义：根据某特定的事项提出判断，亦即所谓的特命题为前提，推出“所有事项的判断”，亦称为全称命题(Universal proposition)的结论
    • 归纳法导出的结论有可能不是真的，只能说可能是真的哦。
      • 乌鸦是黑的
        • 这个命题意味着看到的乌鸦都是黑的，但是从“经验”看遍所有的乌鸦是不可能的。
      • 正确的说法是：我看到的乌鸦是黑的。
        • 这是所谓的特称命题。
    • 特称命题
      • 人的经验，实验，实证都可以成为特称命题
    • 全称命题
      • 科学的真理全是全称命题
    • 从特称命题导出全称命题的归纳法不见得正确
  • 心理学的实验和物理学
    • 纯粹的现实观察并不能算是实现，如果是实验就必须分离变量(separation of variables)
      • 老师：变量的分离就像这个情形：假设有家医院的病人接二连三的死去，是什么原因？大家都猜想是环境不佳，于是把医院换到了环境更好的地方
      • 学生：医院可以这么轻易的搬迁吗？
      • 老师：这个假设的模型，你就想象一下。
      • 学生：好吧。

      • 老师：可是还是一直有人死去，所以原因并不在环境上。于是尝试更换药品，病人依旧死去。所以原因不在药品中。然后就更换医生，可是病人还是死去。所以原因和医生无关。有一天，院长突然猝死，从此再也没有病人死亡。这下才知道，原来院长是庸医。这就是变量分离的概念。

      • 做实验是为了确认某结果的原因

        • 原因有可能是a,b,c....z。先把b,c....z视之为一定（不变），只改变a，这是结果得出不一样的结果，就可以推出a就是原因所在。此种做法就是所谓的“变量分离”。

    • 心理学实验的方式
      • 刺激（Stimulus）
      • 生物体
      • 反射(R)reflex
    • 心理学研究方法的目的
      • 明确原因和结果的因果关系
    • 物理化学实验等自然科学实验中使用的归纳法都称为“不完全归纳法”(incomplete induction)
  • 基本教义派对科学的批判
    • 基督科学派的观点：唯有神真的存在。因为神是善的，所以恶是不存在的。疾病，衰老，痛苦都不是真的存在。因此生病的痛苦不过是人的妄念，一旦自觉到那是妄念，它就会消失。
  • 完整的归纳法是数学独有的
• 社会科学最重要的概念：必要条件和充分条件
  • A成立B也一定成立时，B就是A的必要条件
  • B命题不成立，A命题也一定不成立
• 对偶逻辑：事情不顺利时的思考法