\(\text {FWT}\) 学习笔记
正常项的\(\text {FWT}\)
在\(\text {OI}\)中,我们经常会碰到这种问题:
- 给出一个长度为\(n\)的序列\(a_{1,2,...,n},b_{1,2,...,n}\),求出
其中\(\oplus\)是定义的一种二进制下的运算。
对于这种问题,我们有一种通用的方法,我们称之为\(\text {FWT}\)。
我们考虑对于一个\(A\)构造一个\(FWT\)变换序列,满足:
其中\(\times\)就是上文定义的卷积,\(\star\)是按位乘法。
我们考虑定义一种二进制运算的函数\(c(i,j)\),满足:
于是,我们可以得到:
若存在:
则有:
而我们根据\(FWT\)的定义我们又可以得到:
于是,我们就可以得到:
不过因为是在二进制下的运算,所以一般构造的话都会满足
若
则满足:
于是,我们只需要知道\(c(0/1,0/1)\)即可。
但是,我们现在仅仅可以在\(\Theta(n^2)\)的时间复杂度内求出和转换\(FWT[A]\),显然不能满足我们的对优秀的时间的渴求。
我们想一下在\(\text {FFT}\)中,我们是如何做到\(\Theta(n\log n)\)转换的?分治!!!我们在\(\text {FWT}\)中也可以用类似的方法。
我们考虑对于当前的\(FWT[A]_i\)应该如何求出。
可以得到:
其中\(FWT[A_0/A_1]\)就是子集的一个变换,与\(\text {FFT}\)类似。
我们发现如果我们构造转移矩阵:
其实\(A\to FWT[A]\)每一次变换就是乘上\(\text {mat}\),那么\(FWT[A]\to A\)就是乘上\(\text {mat}\)的逆矩阵。逆矩阵直接手动构造即可。
一些例子
\(\wedge\)
对于并卷积,我们可以构造\(c(i,j)=[j|i]\),其中\([j|i]\)表示的是二进制下的\(j\)是二进制下的\(i\)的子集(每一位\(0/1\)相当于该元素是否在当前集合出现)。
\(\vee\)
对于或卷积,我们可以构造\(c(i,j)=[i|j]\)。
\(\oplus\)
对于异或卷积,我们可以构造\(c(i,j)=(-1)^{|i\wedge j|}\)。
模板题
就是上面三种运算的总和,代码戳这里打开。
非模板的一些例子
CF449D Jzzhu and Numbers
CF1119H Triple + 题解 link
\(\text {FST}\)
我们需要解决这样一个问题:
- 给出一个长度为\(n\)的序列\(a_{1,2,...,n},b_{1,2,...,n}\),求出:
对于这个问题,如果没有\(j\wedge k=0\)的话,这就是一个板的\(\text {FWT}\) \(\vee\)运算。我们发现其实\(j\wedge k=0\)的条件就相当于\(|j|+|k|=|j\vee k|\),于是,我们可以设二维数组\(f_i\),我们可以设转移式:
其中\(h_{i,j}=[|j|=i]a_j,w_{i,j}=[|j|=i]b_j\)。
很显然,最后的\(c_i=f_{|i|,i}\)。
于是,我们就可以在\(\Theta(n\log^ 2 n)\)的时间复杂度内解决这个问题。
代码戳这里打开
\(k\)进制下的\(\text {FWT}\)
我们发现上面的这个东西其实都是在\(2\)进制下面计算的,那么如果我们要拓展到\(k\)进制我们应该怎么办呢?
很显然,我们应该定义广义的\(\wedge,\vee,\oplus\)。
- $\wedge $
在\(k\)进制下,定义\(a\wedge b=\min\{a,b\}\)
- \(\vee\)
在\(k\)进制下,定义\(a\vee b=\max\{a,b\}\)
- \(\oplus\)
在\(k\)进制下,定义\(a\oplus b=(a+b)\bmod k\)
因为\(\wedge,\vee\)不是很常用,所以这里着重介绍一下\(\oplus\)。
我们要考虑如何构造\(c(i,j)\),我们发现我们需要满足:
我们在脑中想一下,诶,似乎单位根满足这个条件诶!
于是,我们可以构造矩阵:
而它的逆矩阵就是:
一些例题
CF1103E Radix sum+题解 link