【中华文化笔记5】中国数学著作小史

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战国时期经过两千年的实践，在对天文的观察以及对土地的测量方面积累了大量的数学经验。公元前5000年左右的中国半坡村陶器上的小孔数目已经按自然数顺序排列形成了等差数列，在殷墟甲骨文中已有十进制记数法，中国西周的“六艺”中的“数”就包含数学天文历算等知识。到了战国时期，中国数学的代表作之一《周髀算经》大致成型了。

《周髀算经》主要用于阐明当时的盖天说和四分历法，而其在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。早在周公、商高时代已知勾股定理的特例：勾三股四弦五。作为勾股定理的发现者，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。从西周时代我国就开始使用一种最简单的观测工具——周髀。周髀即圭表，由直立于平地上的标竿（或石柱）为股，和正南北方向平放于地上的尺为勾组成。从《考工记》可知，战国以前人们已知道使用铅垂线来校正表的垂直，用水平面来校正圭的水平。每天正午时刻日影恰在正北的方向，且每天正午时刻日影的长度并不一样。夏至午时的日影最短，冬至时午时的日影最长。根据正午时表影的长度，就可以推定节气，从正午时表影长度的周期性变化，就可以确定出一个回归年的日数。此为“立竿见影”之法。所以，我国在西周初期，已知道了回归年的长度。周髀的发明，虽然十分简单，而在中国古代天文学的发展上，其作用和意义决不在后来的天文望远镜和射电望远镜之下。

战国时在数学上另一个奇葩便是无所不在的墨家理论。庄子曾经提出一个分割木捶问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”希腊人芝诺也提出过一个类似的著名悖论：阿基里斯追不上乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了一段。墨子化解了这一千古疑难。他设想有一条线ab，从a端向b端前进，进到全长一半c，则斫去，剩余cb是全长的一半。再如前法取cb一半，剩为全长四分之一。如此取至无穷多次，最后必将到达线的最前端b。这正是数学上的极限逼近原理。直到1655年英国的瓦里斯出版《无穷算术》，才有“极限”概念的正确解释。另外墨子还给出了一系列具有高度的抽象性和严密性的数学概念的定义，例如关于“倍”的定义（倍，为二也）；关于“平”的定义（平，同高也）；关于“同长”的定义（同长，以正相尽也）；关于“中”的定义（中，同长也）；关于“圆”的定义（圆，一中同长也）；关于长方形的定义（四个角都为直角，用“矩”来画图）；关于直线的定义（三点共线即为直线。三点共线为直线的定义，在后世测量物体的高度和距离方面得到广泛的应用。晋代数学家刘徽在测量学专著《海岛算经》中，就是应用三点共线来测高和测远的。汉以后弩机上的瞄准器“望山”也是据此发明的）等。

此外，在清华大学收藏的楚简中发现了《算表》。《算表》撰成于战国中期偏晚时，是目前所见到的我国最早的数学文献实物，同时也是目前国内发现最早的实用算具。该《算表》不仅可以将复杂的乘法转变为简单的加法，还可用于除法运算和开方运算。利用这套《算表》不仅能够快速计算100以内的两个任意整数的乘积，还能计算包含分数“半”的两位数乘法。其计算功能超过了以往发现的《里耶秦简九九表》和《张家界汉简九九表》等古代乘法表。它比目前能够见到的古代十进制乘法表年代都早，在当时世界范围内也是相当先进的，是中国数学史乃至世界数学史上的一项重大发现。

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战国之后，秦始皇焚了百家之书，数学因为属于方术、卜筮之书并不被禁止。上文提到了在里耶出土的秦简中发现了我国最早、最完整的乘法口诀表。该表与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致，而且其中还涵盖了二半而一这样的分数运算。西方最早的乘法口诀表是在1600年前发现的，该乘法口诀表比西方早了600多年【1】。

到了汉朝数学发展势头更猛，在张家山汉墓出土了《算数书》，是目前已知最早的中国数学著作。其内容丰富，和《九章算术》有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系。其他汉朝数学作品还有阜阳双古堆汉简《算术》，居延汉简《算术书》《九九术》等。东汉时的徐岳撰有《数术记遗》，记载了14种算法，“珠算”之名首见于此。这14种中除“计数”为心算无须算具外，其余13种均有计算工具，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算和珠算，除了珠算都已经失传。另外中国古代最重要的数学著作《九章算术》在汉代基本定形，其中比例计算、线性插值法、盈不足术、线性方程组解法、正负数运算法则以及正负数运算等都是世界数学史上的重要贡献。

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后世数学在《九章算术》的基础上继续发展，魏晋时刘徽著《海岛算经》，注释《九章算术》。值得一提的是刘徽的《九章算术注》，其对一些重要的数学概念给出了严格的定义，并由对《九章算术》中的公式和命题作了合乎形式逻辑的证明，从而构成了具有逻辑证明，推理结构的数学理论。这是对《九章算术》以数值计算为中心的，非逻辑结构的数学体系的重大突破。

南北朝时期祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，并以227为约率，355113为密率（现称祖率）。其所著《缀术》为唐朝国子监教材《算经十书》中最难的一门，要四年才可学成，后因其难而不传。隋朝开始设立“算学”，是世界上最早的数学专科教育机构。唐朝科举制度中设“明算科”举人。唐朝李淳风等注释十部算经，后通称《算经十书》，除不传的《缀术》外，其余九书为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、南北朝《孙子算经》《五曹算经》《五经算术》《张邱建算经》，唐朝《缉古算经》、《夏侯阳算经》。

另外其中《孙子算经》并非孙武所著，而今天所见到的《孙子算经》可能经过后人篡改，和《隋书•律历志》引用的《孙子算经》的有关记载有相互矛盾的地方。但近年敦煌发现的《算经》其主要内容就是《孙子算经》，其发现则使这类问题迎刃而解。其中记载了亿以上的计算单位，如兆、京、该、梓、让、沟、间、政、载、极等。

敦煌古书中最重要的数学文献是前人从未见过的实用性数学著作《立成算经》，这件《立成算经》抄本最引人注目的地方，是出现了唐人手写的数码字。这些数码字没有表示空位的零号，是按算筹记数的纵横相间规则，记下了一系列数码，除个位数之外，还有两位数和三位数码。虽然还不能说这些数码在唐朝就用来作运算了，但却是宋代以后开始普遍运用数码的渊源，同时也有助于了解古代的筹算制度。《立成算经》中首次出现算筹记数图示，验证了古算书的记载。另外敦煌还有《九九乘法歌》等数学文献发现。，这些都是中国现存算术中最早的写本，是研究中国数学史的重要史料。

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中国数学史上另一部极其重要的著作是宋代秦九韶著的《数书九章》，它创立解一次同余式组的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，后者相当于西方的霍纳法（1819）。其他重要的数学作品有金朝李冶著《测圆海镜》，元朝朱世杰著《算学启蒙》、《四元玉鉴》，元代丁巨撰《丁巨算法》，明朝《魁本对相四言杂字》、程大位著《算法统宗》等。

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后明代利玛窦东来中国后，又将西方数学带入中国，在此基础上又有徐光启和利玛窦合作翻译的《几何原本》，李之藻与利玛窦编译的《同文算指》，清代明安图《割圆密率捷法》，汪莱写成《衡斋算学》，焦循撰《加减乘除释》等。遭此冲击，中国传统数学全面败退，近代以后中国以算学为基础的传统数学再无建树。

中国传统数学更多的是以算学为主，在古代只是和算命一样作为一门技艺，而非一门科学。它能流传更多是因为它是儒家政治所重视的历法、天文、农业的基础，否则必定归到奇技淫巧之中。表面上它是为农业、历法、建筑等服务，但本质上还是封建政治的仆人。这就决定了古代数学讲究实用而不讲究“无用”的理论研究，加上传统习惯又不注重逻辑，古代数学即便再早熟，也最终是要流产的。

参考文献

1 王焕林《里耶秦简九九表初探》-《吉首大学学报：社会科学版》，2006年1月