流形（manifold）介绍

最近一直再看属性选择和聚类方向的论文，其中一直有提到manifold这个概念，从网络上学习一波，将学习结果记录下来给大家分享

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流形是一种空间，一个流形好比是一个 d 维的空间，在一个 m 维的空间中 (m > d) 被扭曲之后的结果（一般维度压缩的方法中都会提到这个词，谱聚类中就有涉及这个思想，稍后再说），可以类似于地球，地球的表面是一个球面。

流形的距离度量方法不能简单地使用欧式距离求任意两点地距离。假设现在需要求从北极到达南极距离，不可能把地球打穿直线到达，根据实际情况可以知道，北极到达南极的距离应该是半个圆周的长度。举个例子如下（引用qrlhl 的图片）

这是一个三维的平面，图中有很多点，其中有两个重点标注的数据点，要求这两个数据点的距离，如果用欧式距离来计算，得到的距离值会很小，明显小于图中红线地长度。这个时候应该怎么求流形中数据点之间地距离呢？

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方法有很多，在这里我们介绍一种比较常用地流形距离度量方法Laplacian Eigenmaps （谱聚类)

在谱聚类地算法思想中求解出拉普拉斯矩阵L，通过求解L对应的最小的K个特征值对应的k个特征向量（相当于是得到了k个新的空间？维度），可以将m*n（m指的是m个数据，n指的是数据的属性个数）的原数据矩阵压缩成m*k的数据矩阵，此时新的数据矩阵的第i行第j列代表的就是原始数据i在第j个维度上的值，此时再用欧式距离的方法去求解新数据矩阵的某两行的距离（任意两个数据点的距离），就可以避免出现上图的错误（直接套欧式距离的度量公式）

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总结，流体是一种扭曲的空间，他的距离度量公式比较复杂，但是已经有很多处理这个问题的方法，如Locally Linear Embedding 、Laplacian Eigenmaps 、Hessian Eigenmaps 、Local Tangent Space Alignment、Semidefinite Embedding (Maximum Variance Unfolding) 等等等等，