欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结
标签：数学方法——数论
阅读体验：https://zybuluo.com/Junlier/note/1300214这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。
欧拉函数
欧拉函数写做\(\varphi[x]\)，表示\(0\)到\(x\)中与\(x\)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数\(p\)）：
\[\left\{ \begin{aligned} \varphi[p]=p-1\ --------------①\\ \varphi[i*p]=p*\varphi[i]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i\bmod p==0)---②\\ \varphi[i*p]=(p-1)*\varphi[i]\ \ \ \ \ (i\bmod p\ne0)---③ \end{aligned} \right.\]
据说还有一个总的公式：\(\varphi[n]=n*\prod(1-\dfrac{1}{a_i})\) (\(a_i\)是\(n\)的质因子)
于是我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。
笑哭.\(jpg\)
（去掉和\(phi\)数组有关的就是线性筛素数了）
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}欧拉定理
有了欧拉函数做坚实的后盾讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当\(a,n\)互质时\[ a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod\ n) \]不知道怎么用对吧，那这样：
如果\(a,n\)互质，那么有 \(\ a^{\varphi(n)}\%n==1\)
也就是 $ a^{\varphi(n)}$ 与 \(n\) 互质
最有用的？ \(a^b\equiv a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\)
PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作降幂，后面讲
扩展欧拉定理
嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛
行，如果上面那个式子里面\(a,n\)不互质了
\[a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.\]
降幂
根据上面两个定理的公式结合起来
\[a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\\ a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.\]其实我们完全可以不用用到第一个
思考一下
是不是对于一个问题求\(a^b (\bmod\ n)\)
可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个
\(yep\)降幂成功
给个例题吧：洛谷P4139 上帝与集合的正确用法
代码你要吗？不要我也给你，虽然丑
#include
#define lst long long
#define ldb double
#define N 10000050
#define M 10000000
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
}
int Q,tot;
int phi[N],pri[N];
void Prepare_Phi()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=M;++i)
{
if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
if(i*pri[j]>M)break;
if(!(i%pri[j]))
{
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
break;
}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
}
}
}
lst qpow(lst x,lst y,lst mod)
{
lst ret=1;
while(y)
{
if(y&1)ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod,y>>=1;
}return ret;
}
lst Solve(lst mod)
{
if(mod==1)return 0;
return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod);
}
int main()
{
Prepare_Phi();
Q=read();
while(Q--)
{
int p=read();
printf("%lld\n",Solve(p));
}
return 0;
}
那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。毕竟我是个菜鸡嘛