08 树的进阶 平衡树 红黑树 B-树 B+树

目录

平衡树

概念

2-3查找树

概念

插入

2-3树的性质

不做实现

红黑树

概念

红黑树的性质

红黑树结点API

平衡化

概念

左旋

右旋

颜色翻转

插入

概念

往单个2-结点中插入新键

往一个3-结点插入新键

红黑树实现

代码

B-树

定义

应用场景

B+树

B+树的应用

给数据库中的表建立索引

---

1. 平衡树

   1. 概念

      1. 如果我们往一个二叉查找树中依次放入元素7 6 5 4 3 2 1, 那么树的深度就有7层, 这个时候就是最坏情况, 查找的效率依旧很低, 所以我们要引入一些平衡树来解决这种问题

2. 2-3查找树

   1. 概念

      1. 
      2. 2-结点
         1. 有两个子结点一个键的结点
      3. 3-结点
         1. 有三个子结点两个键的结点

   2. 插入

      1. 如果一个4-结点(里面有三个键)有4个子结点, 那么当它向上提的时候, 需要把剩余的那个3-结点分成两个2-结点
      2. 

   3. 2-3树的性质

      1. 任意空链接到根节点的路径长度都是相等的
      2. 只有要分解的结点是根结点的时候, 树的高度才会加一
      3. 2-3查找树和普通二叉查找树的最大区别是, 普通二叉查找树是自顶向下增长, 2-3树是自底向上生长
         1. 这也就是2-3树是平衡树的原因 

   4. 不做实现

      1. 因为结点分为2-结点 3-结点, 比较复杂
      2. 但是这种思想很重要

3. 红黑树

   1. 概念

      1. 基于2-3树的思想实现的
      2. 红黑树通过左旋 右旋 颜色翻转(平衡二叉树)来降低树的高度, 从而提高查询的效率
      3. 底层依旧是用标准的二叉查找树(完全由2-结点构成)实现的, 只不过用一些额外的信息(替换3-结点)来表示2-3树
         1. 红链接: 将两个2-结点连接起来形成3-结点
         2. 黑链接: 普通的连接
      4. 

   2. 红黑树的性质

      1. 红链接均为左链接
      2. 没有任何一个结点同时连两个红链接
         1. 如果同时连了两个那就是4-结点了
      3. 红黑树是完美黑色平衡的, 即: 任意空链接到根结点的路径上的黑链接的数量相同
         1. 这正好照应了2-3树上的一个性质: 任意空链接到根结点的路径长度都是相同的

   3. 红黑树结点API

      1. 
      2. color为true代表代表指向自己的链接是红色的

   4. 平衡化

      1. 概念

         1. 对红黑树进行一些增删改的操作之后, 很可能会出现红色的右链接或两条连续的红色链接

      2. 左旋

         1. 概念
            1. 若此结点的左链接为黑色, 右链接为红色, 此时需要左旋
            2. 

      3. 右旋

         1. 定义
            1. 出现两个连续的红色左链接, 需要右旋
            2. 
         2. 右旋之后依旧是不符合红黑树的定义的, 因为此时出现了右边的红色链接, 但是我们在右旋的过程中暂时先不解决这个问题, 留到后面使用颜色翻转解决

   5. 颜色翻转

      1. 

   6. 插入

      1. 概念

         1. 插入的时候期望组成3-结点, 所以插入的新节点统统使用红链接, 如果不符合红黑树的定义在进行转换

      2. 往单个2-结点中插入新键

         1. 插入的是小值
            1. 使用红链接插到左边
         2. 插入的是大值
            1. 使用红链接插到右边, 然后左旋

      3. 往一个3-结点插入新键

         1. 插入的是大值
            1. 需要用到颜色翻转
         2. 插入的是小值
            1. 先用右旋, 再用颜色翻转
         3. 插入的是中间值
            1. 先左旋, 再右旋, 最后颜色翻转

   7. 红黑树实现

      1. 代码

         1. package lq.tree;
            
            public class RedBlackTree, Value> {
                //根节点
                private Node root;
                //记录树中元素的个数
                private int N;
                //红色链接
                private static final boolean RED = true;
                //黑色链接
                private static final boolean BLACK = false;
            
            
                //结点类
                private class Node {
                    //存储键
                    public Key key;
                    //存储值
                    private Value value;
                    //记录左子结点
                    public Node left;
                    //记录右子结点
                    public Node right;
                    //由其父结点指向它的链接的颜色
                    public boolean color;
            
                    public Node(Key key, Value value, Node left, Node right, boolean color) {
                        this.key = key;
                        this.value = value;
                        this.left = left;
                        this.right = right;
                        this.color = color;
                    }
                }
            
            
                //获取树中元素的个数
                public int size() {
                    return N;
                }
            
            
                /**
                 * 判断当前节点的父指向链接是否为红色
                 *
                 * @param x
                 * @return
                 */
                private boolean isRed(Node x) {
                    if (x == null) {
                        return BLACK;
                    }
                    return x.color == RED;
                }
            
                /**
                 * 左旋转
                 *
                 * @param h
                 * @return
                 */
                private Node rotateLeft(Node h) {
                    //获取h结点的右子节点, 记为x
                    Node x = h.right;
                    //让h结点的右子节点=x结点的左子节点
                    h.right = x.left;
                    //让x结点的左子节点=h结点
                    x.left = h;
                    h.color = x.color;
                    x.color = RED;
                    return x;
                }
            
                /**
                 * 右旋
                 *
                 * @param h
                 * @return
                 */
                private Node rotateRight(Node h) {
                    Node x = h.left;
                    h.left = x.right;
                    x.right = h;
                    x.color = h.color;
                    h.color = RED;
                    return x;
                }
            
                /**
                 * 颜色反转,相当于完成拆分4-节点
                 *
                 * @param h
                 */
                private void flipColors(Node h) {
                    h.color = RED;
                    h.left.color = BLACK;
                    h.right.color = BLACK;
                }
            
                /**
                 * 在整个树上完成插入操作
                 *
                 * @param key
                 * @param val
                 */
                public void put(Key key, Value val) {
                    root = put(root, key, val);
                    root.color = BLACK;
                }
            
                /**
                 * 在指定树中，完成插入操作,并返回添加元素后新的树
                 *
                 * @param h
                 * @param key
                 * @param val
                 */
                private Node put(Node h, Key key, Value val) {
                    if (h == null) {
                        N++;
                        return new Node(key, val, null, null, RED);
                    }
                    int compare = key.compareTo(h.key);
                    if (compare < 0) {
                        h.left = put(h.left, key, val);
                    } else if (compare > 0) {
                        h.right = put(h.right, key, val);
                    } else {
                        h.value = val;
                    }
                    //先判断是否需要左旋
                    if (isRed(h.right) && !isRed(h.left)) {
                        h = rotateLeft(h);
                    }
                    //再判断是否需要右旋
                    if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) {
                        h = rotateRight(h);
                    }
                    //最后判断是否需要颜色翻转
                    if (isRed(h.left) && isRed(h.right)) {
                        flipColors(h);
                    }
                    return h;
                }
            
                //根据key，从树中找出对应的值
                public Value get(Key key) {
                    return get(root, key);
                }
            
                //从指定的树x中，查找key对应的值
                public Value get(Node x, Key key) {
                    if (x == null) {
                        return null;
                    }
                    int compare = key.compareTo(x.key);
                    if (compare > 0) {
                        return get(x.right, key);
                    } else if (compare < 0) {
                        return get(x.left, key);
                    } else {
                        return x.value;
                    }
                }
            }
            

             

4. B-树

   1. 定义

      1. B树就是B-树
      2. 一个节点中, 允许有多可key, 可以有3个 4个 5个 甚至更多, 具体多少不确定
      3. M阶B树
         1. 每个结点最多M-1个key
         2. 最多M个子结点
         3. 最少两个子结点
      4. 实际使用中阶数一般大于100
         1. 存储大量数据后高度依然比较小

   2. 应用场景

      1. 磁盘IO

5. B+树

   1. B+树的应用

      1. 给数据库中的表建立索引

         1. 数据库的索引底层是使用B+树实现的
         2. 非常适合区间查询