无源汇有上下界可行流
来自LOJ的模板题
我们可以依照以下几个步骤来解决这个问题。
1.让所有的边都流下界数量的水
2.计算每个点流入的水量 − - −流出的水量 d [ x ] d[x] d[x]
3.建超级源点 S S S和超级汇点 T T T
4.对于每个点，若 d [ x ] > 0 d[x]>0 d[x]>0则连边 S , x , d [ x ] {S,x,d[x]} S,x,d[x]，如果 d [ x ] < 0 d[x]<0 d[x]<0，则连边 x , T , − d [ x ] {x,T,-d[x]} x,T,−d[x]
5.按原图建边，对于每条边，建权值为上界 − - −下界的边
6.跑最大流
7.如果 S S S点连出的边中，有一条最终的权值不为 0 0 0，那么该图不存在可行流
8.原图的边在新图中反向边上的流量就是这条边需要再加上的流量
也就是说这条边的总流量 = = =下界流量 + + +新图中反向边的流量
这个怎么证明呢？
因为我们初始的操作已经满足了下界的要求，而我们连边的权值保证了不会超过上界。所以我们只要保证流量平衡即可。
这里可以感性的理解，由于最后的图中从 S S S出发的所有边最终流量都为 0 0 0，也就是原来 d [ x ] > 0 d[x]>0 d[x]>0的点加上新图的流量后已经处于流量平衡的状态。那么显然此时 d [ x ] < 0 d[x]<0 d[x]<0的点也都处于流量平衡状态（因为显然 ∑ d [ x ] ( d [ x ] > 0 ) = ∑ − d [ x ] ( d [ x ] < 0 ) \sum{d[x](d[x]>0)}=\sum{-d[x](d[x]<0)} ∑d[x](d[x]>0)=∑−d[x](d[x]<0)）。所以这种状态就是一种可行流。
代码：
#include
#define MAXN 30005
using namespace std;
int read(){
char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int n,m,S,T,cnt,d[MAXN],l[MAXN],u[MAXN],x[MAXN],y[MAXN];
int head[MAXN],nxt[MAXN],ori[MAXN],dis[MAXN];
struct node{
int to,val,id;
}L[MAXN];
void add(int x,int y,int c,int id){
L[cnt]=(node){y,c,0};
nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;cnt++;
L[cnt]=(node){x,0,id};
nxt[cnt]=head[y];head[y]=cnt;cnt++;
}
queue q;
int BFS(){
memset(dis,0,sizeof(dis));
dis[S]=1;q.push(S);
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i]){
int to=L[i].to;
if(!dis[to]&&L[i].val){
q.push(to);
dis[to]=dis[x]+1;
}
}
}
return dis[T];
}
int DFS(int x,int now){
if(x==T) return now;
int res=0;
for(int i=head[x];i!=-1&&now;i=nxt[i]){
int to=L[i].to;
if(dis[to]==dis[x]+1&&L[i].val){
int fd=DFS(to,min(now,L[i].val));
res+=fd;now-=fd;
L[i].val-=fd;L[i^1].val+=fd;
}
}
if(!res) dis[x]=-1;
return res;
}
int main()
{
n=read();m=read();S=0;T=n+1;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1;i<=m;i++){
x[i]=read(),y[i]=read(),l[i]=read(),u[i]=read();
d[y[i]]+=l[i];d[x[i]]-=l[i];ori[i]+=l[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(d[i]>0) add(S,i,d[i],0);
if(d[i]<0) add(i,T,-d[i],0);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
if(u[i]-l[i]>0) add(x[i],y[i],u[i]-l[i],i);
}
while(BFS()) DFS(S,2e9);
for(int i=head[S];i!=-1;i=nxt[i]){
if(L[i].val>0){
puts("NO");return 0;
}
}
puts("YES");
for(int i=0;i