摸你退火

模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）

\[p\propto\left| \frac{1}{f[x_j]-f[x_i]}\right|\ \]

定义一个可接受的概率p,p\(\in[0,1]\)

\(f(x_j)和f(x_i)\)越接近，p越大 新解和旧解函数越接近，越愿意接受新解

\(y=e^{-x}(0\le x\le1)关于x单调递减\) \ge是大等于qwq \le是小等于

所以我们可以假设\(p \propto e^{-\left| f(x_j)-f(x_i)\right|}\)

因为有了负号所以不需要取导数

保证搜索前期范围尽量大，搜索后期范围尽量小

对式子\(p_t \propto e^{-\left| f(x_j)-f(x_i)\right|}\)进行变形\(p \propto e^{-\left| f(x_j)-f(x_i)\right|*C_i}\)

搜索前期t较小，我们希望搜索范围更大，更倾向于接受新解，对应的p就应该大，而\(C_i\)与p负相关，因此后期我们希望p较小，\(C_i\)就应该大一点，可以得到\(C_i\)关于t递增 所以时间越长t越大

假设求最大值：简单流程 || TSP

1. 随机生成一个解A，计算A对应的f(A)

2. 在A附近随机生成一个解B，计算B对应的f(B)

3. if (f(B)>f(A)) 把B赋值给A //反复迭代

4. if(f(B)\(\le\)f(A)) 计算接受P的概率\(p = e^{-\left| f(x_j)-f(x_i)\right|*C_i}\)，然后生成一个[0,1]之间的随机数r，如果r

   问题：如果优化问题有约束条件怎么办 怎样随机生成B？

   ​ \(C_i\)如何设置 搜索过程什么时候结束

   定义初始温度，\(T_0=100\),温度下降公式\(T_{t+1}=aT_t\),a常取0.95,那么时刻t的温度

   \(T_t=a^t * t_0=100*0.95^t\)

   \(p_t=e^{\frac{f(B)-f(A)}{T_t}}=e^{\frac{\left|f(B)-f(A) \right|}{100*0.95^t}}\)

   取倒数是为了保证\(C_i\)关于t递增

   温度一定，\(\Delta f\)越小，概率阅读，目标函数接受相差越小的可能性越大

   \(\Delta f\)一定，温度越高，概率越大（但需要的计算越多），搜索前期温度越高越可能接受新解

t的实现通过迭代（循环）为保证搜索彻底，我们进行多次搜索，然后降温，再多次搜索

搜索停止时间：1.达到指定迭代次数 2.达到指定温度 3找到连续最优解M次都没变化（自己定M）
dalao的一张图
一遍SA往往无法跑出最优解，所以可以多跑几遍。

可以用一个全局变量记录所有跑过的SA的最优解，每次从那个最优解开始继续SA，可以减小误差。

如何生成新解

坐标系内：随机生成一个点，或者生成一个向量。
序列问题： $random_shuffle$或者随机交换两个数。
网格问题：可以看做二维序列，每次交换两个格子即可。

时间复杂度 \(O(\text{玄学})\)。

一般降温系数 \(\Delta\) 与 1 的差减少一个数量级, 耗时大约多 10 倍； \(T_0\)​ 和\(T_k\)​ 变化一个数量级, 耗时不会变化很大。
大神勃客https://www.luogu.com.cn/blog/m-sea/qian-tan-SA