多段图最短路径

问题描述：设是一个赋权有向图，其顶点集V被划分为个不相交的子集，其中，V₁和V_k分别只有一个顶点s（称为源）和一个顶点t（称为汇），所有的边(u,v)的始点和终点都在相邻的两个子集V_i和V_i+1中：, 且边(u,v)有一个正权重，记为.请设计一个算法，求解从源s到汇t的权重之和最小的路径。

状态表示

包含源s的子图都可以认为是一个子问题，子图的源是固定的，汇是可以变化的。因此，确定了汇的位置，则能确定一个子图。汇的位置包括两个参数：段的序号和该段顶点集合中汇顶点的序号。

W(i,p)表示从源s 到v(i,p) 的最短路径长度

ui(1≤i≤k)表示段的序号

up(1≤p≤n_i)表示第 i 段顶点集中的顶点序号

状态递推方程

最优值求解

u子问题的数目等于图G中 顶点的个数。

u采用 自底向上的方法求最优值，最开始求解源s到第2段顶点集中每一个顶点的最短路径。这是最简单的子问题，最优值就等于边长。

然后求解s到第3段顶点集中的每一个顶点的最优值，依此循环，直至求解s到t的最短路径值

输入：包含多组测试数据。每组测试数据第一行输入正整数k(k<100), 表示不相交子集的数目。第二行包含k个正整数ni(1<=i<=k),分别表示每一个顶点集Vi(1<=i<=k)中顶点的数目（不超过100）。紧接着k-1行记录相邻顶点集合间边的权重。其第i(1<=i

输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出其最小的权重值。

样例输入：

5

1 4 3 3 1

9 7 3 2

4 2 1 2 7 -1 -1 -1 11 -1 11 8

6 5 -1 4 3 -1 -1 5 6

4 2 5 

-1

程序如下：

#include 
#include 

#define MaxState 100

int minRoad[MaxState][MaxState];
void multiStageGraph(int stageNum, int *numPerStage);

int main()
{
    int i, k, ni[MaxState];
    while(scanf("%d", &k),k != -1)
    {
        for(i = 0; i < k; ++i)
        {
            scanf("%d", &ni[i]);
        }
        multiStageGraph(k, ni);
    }
    return 0;
}

void multiStageGraph(int stageNum, int *numPerStage)
{
    int i, q, p, weight, temp;
    memset(minRoad, 0x3f, sizeof(minRoad));           //初始化为一个充分大的数0x3f

    for (p = 0; p < numPerStage[0]; ++p)              //初始化源顶点层
    {
        minRoad[0][p] = 0;
    }

    for (i = 0; i < stageNum - 1; ++i)                //按段计算，终止与汇顶点的前一段
    {
        for (q = 0; q < numPerStage[i]; ++q)          //遍历第i段顶点
        {
            for (p = 0; p < numPerStage[i + 1]; ++p)  //遍历第i+1段顶点
            {
                scanf("%d", &weight);                 //读取边(q,p)的权重w(q,p)
                if (weight != -1)                     //存在边(q,p)
                {
                    temp = minRoad[i][q] + weight;
                    if (temp < minRoad[i+1][p])       //发现s到o的更短路径
                    {
                        minRoad[i+1][p] = temp;
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", minRoad[stageNum-1][0]);
}