电机学习笔记1——坐标变换与永磁同步电机的数学模型

最近开始学习电机控制,仅以此记录自己的学习进度。

一、坐标变换

1.1. 三相静止坐标系( a b c abc abc)和两相静止坐标系( α / β \alpha/\beta α/β)之间的变换电机学习笔记1——坐标变换与永磁同步电机的数学模型_第1张图片

根据图中所示 a b c abc abc坐标系和 α β \alpha\beta αβ坐标系之间的关系,可以列出以下等式
U α = U a − U b c o s ( π 3 ) − U c c o s ( π 3 ) U β = U b c o s ( π 6 ) − U c c o s ( π 6 ) U_\alpha = U_a - U_bcos(\frac \pi3) - U_ccos(\frac \pi3) \\ U_\beta = U_bcos(\frac \pi6) - U_ccos(\frac \pi6) Uα=UaUbcos(3π)Uccos(3π)Uβ=Ubcos(6π)Uccos(6π)
化简即可得到 a b c abc abc坐标系转为 α β \alpha\beta αβ坐标系的变换矩阵,即 C l a r k e Clarke Clarke变换:

(1.1) [ U α U β ] = K [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ U a U b U c ] \left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac {\sqrt3}2 & -\frac {\sqrt3}2 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right] \tag {1.1} [UαUβ]=K[102123 2123 ]UaUbUc(1.1)
考虑变换前后的幅值相等,则式中 K K K等于 2 3 \frac 23 32;如果要求变换前后功率等,则式中 K K K等于 2 3 \sqrt\frac 23 32 。很多资料都没有详细说明这两种变换的系数是怎么来的,一度让我很疑惑。通过查资料和推导,终于怎么回事了。恒幅值变换是指 U α U_\alpha Uα的幅值和 U a U_a Ua相等,而恒功率变换是指变换前后的功率相等,下面给出推导过程。

设三相电压是平衡的,其幅值为 U m a x U_{max} Umax,则:
(1.2) [ U a U b U c ] = U m a x [ c o s ( φ ) c o s ( φ − 2 π 3 ) c o s ( φ + 2 π 3 ) ] \left[ \begin{matrix} U_a \\ U_b \\ U_c \end{matrix} \right]= U_{max}\left[ \begin{matrix} cos(\varphi) \\ cos(\varphi - \frac {2\pi}3) \\ cos(\varphi + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \tag {1.2} UaUbUc=Umaxcos(φ)cos(φ32π)cos(φ+32π)(1.2)
将式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)代入式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)中,可以得到 U α U_\alpha Uα的表达式如下:
U α = U m a x ( c o s φ − 1 2 c o s ( φ − 2 π 3 ) − 1 2 c o s ( φ + 2 π 3 ) = 3 2 c o s φ U_\alpha = U_{max}(cos\varphi - \frac 12cos(\varphi - \frac {2\pi}3)- \frac 12cos(\varphi + \frac {2\pi}3) = \frac 32cos\varphi Uα=Umax(cosφ21cos(φ32π)21cos(φ+32π)=23cosφ
可见变换后的 U α U_\alpha Uα幅值是变换前 U a U_a Ua的1.5倍。因此,为了使 U a U_a Ua的幅值与 U α U_\alpha Uα的幅值相等,则需要在变换矩阵前乘以 2 3 \frac 23 32

设变换前的电压有效值是 U U U,电流有效值是 I I I,则容易得出变换后的有效值是 1.5 U 1.5U 1.5U,电流有效值是 1.5 I 1.5I 1.5I。可以分别得出变换前后的功率 P 1 P_1 P1 P 2 P_2 P2
P 1 = U ∗ I ∗ 3 = 3 U I P 2 = 1.5 U ∗ 1.5 I ∗ 2 = 4.5 U I P_1 = U*I*3 = 3UI\\ P_2 = 1.5U*1.5I*2 = 4.5UI P1=UI3=3UIP2=1.5U1.5I2=4.5UI
可见变换前后的功率不相等,需要给变换矩阵乘以一个系数 K K K使其相等。当变换矩阵乘以系数 K K K之后,变换前后的功率的表达式如下:
P 1 = U ∗ I ∗ 3 = 3 U I P 2 = 1.5 ∗ K ∗ U ∗ 1.5 ∗ K ∗ i ∗ 2 = 4.5 K 2 U I P_1 = U*I*3 = 3UI \\ P_2 = 1.5*K*U*1.5*K*i*2 = 4.5K^2UI P1=UI3=3UIP2=1.5KU1.5Ki2=4.5K2UI
令式中 P 1 = P 2 P_1 = P_2 P1=P2,即可得到 K = 2 3 K = \sqrt{\frac 23} K=32

因此,在式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)中,当 K = 2 3 K=\frac 23 K=32,则为恒幅值变换;当 K = 2 3 K=\sqrt{\frac 23} K=32 ,则为恒功率变换。

根据同样的思路,或者可以得到 C l a r k Clark Clark反变换表达式:

(1.3) [ U a U b U c ] = K [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] ] [ U α U β ] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ -\frac 12 & \frac {\sqrt3}2\\ -\frac 12 & -\frac {\sqrt3}2]\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.3} UaUbUc=K12121023 23 ][UαUβ](1.3)
其中,当 K = 2 3 K=\frac 23 K=32,则为恒幅值变换;

K = 2 3 K=\sqrt{\frac 23} K=32 ,则为恒功率变换。

( 1.1 ) (1.1) (1.1)中的矩阵和式 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)中的矩阵相乘的结果是单位矩阵。

1.2 两相静止坐标系( α β \alpha\beta αβ)和两相旋转坐标系( d q dq dq)之间的变换

根据图中所示 α β \alpha\beta αβ坐标系和 d q dq dq坐标系之间的关系,可以列出以下等式:
U d = U α c o s θ + U β s i n θ U q = − U α s i n θ + U β c o s θ U_d = U_\alpha cos\theta + U_\beta sin\theta\\ U_q = -U_\alpha sin\theta + U_\beta cos\theta Ud=Uαcosθ+UβsinθUq=Uαsinθ+Uβcosθ
于是可以得到 α β \alpha\beta αβ坐标系转换为 d q dq dq坐标系的变换矩阵,即 P a r k Park Park变换:

(1.4) [ U d U q ] = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ U α U β ] \left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.4} [UdUq]=[cosθsinθsinθcosθ][UαUβ](1.4)

同理,由图中也可以将 α β \alpha\beta αβ坐标系下的向量由 d q dq dq坐标表示:
U α = U d c o s θ − U q s i n θ U β = U d s i n θ + U q c o s θ U_\alpha = U_dcos\theta - U_qsin\theta \\ U_\beta = U_dsin\theta + U_qcos\theta \\ Uα=UdcosθUqsinθUβ=Udsinθ+Uqcosθ
于是可以得到 d q dq dq坐标系转换为 α β \alpha\beta αβ坐标系的变换矩阵,即 P a r k Park Park反变换:
(1.5) [ U α U β ] = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] [ U d U q ] \left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.5} [UαUβ]=[cosθsinθsinθcosθ][UdUq](1.5)

1.3 三相静止坐标系( a b c abc abc)和两相旋转坐标系( d q dq dq)之间的变换

结合 C l a r k e Clarke Clarke变换和 P a r k Park Park变换可以得到 a b c abc abc坐标系和 d q dq dq坐标系之间的变换如下:
(1.6) [ U d U q ] = K [ c o s θ c o s ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ) − s i n θ − s i n ( θ − 2 π 3 ) − s i n ( θ + 2 π 3 ) ] [ U a U b U c ] \left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & cos(\theta - \frac {2\pi}3) & cos(\theta + \frac {2\pi}3) \\ -sin\theta & -sin(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right] \tag{1.6} [UdUq]=K[cosθsinθcos(θ32π)sin(θ32π)cos(θ+32π)sin(θ+32π)]UaUbUc(1.6)
恒幅值变换时, K = 2 3 K=\frac 23 K=32;恒功率变换时, K = 2 3 K = \sqrt {\frac 23} K=32

其反变换为:
(1.7) [ U a U b U c ] = K [ c o s θ − s i n θ c o s ( θ − 2 π 3 ) − s i n ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ) − s i n ( θ + 2 π 3 ) ] [ U d U q ] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta - \frac{2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac{2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.7} UaUbUc=Kcosθcos(θ32π)cos(θ+32π)sinθsin(θ32π)sin(θ+32π)[UdUq](1.7)
恒幅值变换时, K = 1 K=1 K1;恒功率变换时, K = 2 3 K = \sqrt {\frac 23} K=32

二、永磁同步电机的数学模型

2.1 永磁同步电机在三相静止 ( a b c ) (abc) (abc)坐标系下的数学模型

永磁同步电机在三相静止坐标系下的磁链方程为
(2.1) [ ψ a ψ b ψ c ] = [ L a a M a b M a c M b a L b b M b c M c a M c b L c c ] [ i a i b i c ] + ψ f [ c o s θ c o s ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ] ] \left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac}\\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc}\\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right] + \psi_f\left[ \begin{matrix} cos\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3] \end{matrix} \right] \tag {2.1} ψaψbψc=LaaMbaMcaMabLbbMcbMacMbcLcciaibic+ψfcosθcos(θ32π)cos(θ+32π](2.1)
式中:
ψ f \psi_f ψf——永磁体磁链;
θ \theta θ——电机转子磁极位置,即永磁体N极与 a a a相轴线之间的夹角;
L a a 、 L b b 、 L c c L_{aa}、L_{bb}、L_{cc} LaaLbbLcc——定子绕组的自感,且在理想情况下, L a a = L b b = L c c L_{aa} = L_{bb} = L_{cc} Laa=Lbb=Lcc;
ψ a 、 ψ b 、 ψ c \psi_a、\psi_b、\psi_c ψaψbψc——三相静止坐标系下的定子磁链;
M a b 、 M a c 、 M b a 、 M b c 、 M c a 、 M c b M_{ab}、M_{ac}、M_{ba}、M_{bc}、M_{ca}、M_{cb} MabMacMbaMbcMcaMcb——定子三相绕组间的互感。

永磁同步电机在三相静止坐标系下的定子电压方程为:
(2.2) [ u a u b u c ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i a i b i c ] + p [ ψ a ψ b ψ c ] \left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right] + p\left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right] \tag {2.2} uaubuc=Rs000Rs000Rsiaibic+pψaψbψc(2.2)
式中:
u a 、 u b 、 u c u_a、u_b、u_c uaubuc——定子三相电压;
R s R_s Rs——定子电阻;
i a 、 i b 、 i c i_a、i_b、i_c iaibic——定子三相电流;
p p p——微分算子,表示对时间的微分。
( 2.2 ) (2.2) (2.2)的物理意义表明,定子三相电压是由定子电阻上的电压和电感(包括自感和互感)电压相加得来的。

永磁同步电机在三相静止坐标系下的转矩方程为:
(2.3) T e = 1 2 p n ψ f ( i a c o s θ + i b c o s ( θ − 2 π 3 ) + i c c o s ( θ + 2 π 3 ) ) T_e = \frac 12 p_n \psi_f (i_acos\theta + i_bcos(\theta - \frac {2\pi}3)+i_ccos(\theta + \frac {2\pi}3)) \tag {2.3} Te=21pnψf(iacosθ+ibcos(θ32π)+iccos(θ+32π))(2.3)
式中:
T e T_e Te——电机的电磁转矩;
p n p_n pn——电机的极对数。

电机的运动方程为:
(2.4) T e = T L + J p n d ω e d t + B p n ω e + K p n θ T_e = T_L + \frac Jp_n\frac {d\omega_e}{dt} + \frac B{p_n} \omega_e + \frac K{p_n}\theta \tag {2.4} Te=TL+pJndtdωe+pnBωe+pnKθ(2.4)
式中:
T L T_L TL——负载转矩;
B B B——摩擦系数;
K K K——扭矩系数;
J J J——转动惯量。
ω e \omega_e ωe——电气角速度。与机械角速度的关系是: ω e = p n ω \omega_e = p_n\omega ωe=pnω

2.2 永磁同步电机在两相同步旋转 ( d q ) (dq) (dq)坐标系下的数学模型

永磁同步电机在两相同步旋转坐标系下的电压方程为:
(2.5) { u d = R s i d + p ψ d − ω r ψ q u q = R s i q + p ψ q + ω r ψ d \left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. \tag{2.5} {ud=Rsid+pψdωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd(2.5)
式中:
u d 、 u q 、 i d 、 i q 、 ψ d 、 ψ q u_d、u_q、i_d、i_q、\psi_d、\psi_q uduqidiqψdψq——分别表示定子d轴和q轴的电压、电流、磁通;
p p p——为微分算子,表示对时间的微分;
ω r \omega_r ωr——转子的电角速度。

推导过程如下:
根据 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)节中给出的两相旋转坐标系到三相静止坐标系中的变换公式,取A相单独分析,可以得到:

(2.6) { u a = K ( u d c o s θ − u q s i n θ ) i a = K ( i d c o s θ − i q s i n θ ) ψ a = K ( ψ d c o s θ − ψ q s i n θ ) \left\{ \begin{aligned} & u_a = K(u_dcos\theta - u_qsin\theta) \\ & i_a = K(i_dcos\theta - i_qsin\theta) \\ & \psi_a = K(\psi_dcos\theta - \psi_qsin\theta) \end{aligned} \right. \tag{2.6} ua=K(udcosθuqsinθ)ia=K(idcosθiqsinθ)ψa=K(ψdcosθψqsinθ)(2.6)
2.1 2.1 2.1节可知,在三相静止坐标系下的A相电压方程为:
(2.7) u a = i a R s + p ψ a u_a = i_aR_s + p\psi_a \tag{2.7} ua=iaRs+pψa(2.7)
将式 ( 2.6 ) (2.6) (2.6)中的表达式代入式 ( 2.7 ) (2.7) (2.7)中,整理后可得:
(2.8) ( u d − R s i d − p ψ d + ψ q p θ ) c o s θ − ( u q − R s i q − p ψ q − ψ d p θ ) s i n θ = 0 (u_d - R_si_d-p\psi_d+\psi_qp\theta)cos\theta - (u_q-R_si_q - p \psi_q - \psi_dp\theta)sin\theta = 0 \tag{2.8} (udRsidpψd+ψqpθ)cosθ(uqRsiqpψqψdpθ)sinθ=0(2.8)
位置角度 θ \theta θ的微分便是旋转角速度,即:
(2.9) p θ = ω r p\theta = \omega_r \tag{2.9} pθ=ωr(2.9)
对于式 ( 2.8 ) (2.8) (2.8)来说,由于位置角度 θ \theta θ为任意值,因此下列两个式子分别成立:
{ u d = R s i d + p ψ d − ω r ψ q u q = R s i q + p ψ q + ω r ψ d \left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. {ud=Rsid+pψdωrψquq=Rsiq+pψq+ωrψd
推导完毕。

磁链方程为:
{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q \left\{ \begin{aligned} &\psi_d = L_di_d+\psi_f \\ &\psi_q= L_qi_q \end{aligned} \right. {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq

转矩方程为:
T e = K p n [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] T_e = Kp_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q] Te=Kpn[ψfiq+(LdLq)idiq]
K = 3 2 K=\frac 32 K=23,则为恒幅值变换;当 K = 1 K=1 K=1,则为恒功率变换。

在三相坐标系下的复杂的电感耦合关系,在DQ坐标系下不复存在。但 L d L_d Ld L q L_q Lq与三相坐标系下的各种电感关系还没有理清楚。

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