C语言的初级算法大全
C语言的初级算法大全
一、单链表
目录
1.单链表反转
2.找出单链表的倒数第4个元素
3.找出单链表的中间元素
4.删除无头单链表的一个节点
5.两个不交叉的有序链表的合并
6.有个二级单链表，其中每个元素都含有一个指向一个单链表的指针。写程序把这个二级链表称一级单链表。
7.单链表交换任意两个元素（不包括表头）
8.判断单链表是否有环？如何找到环的“起始”点？如何知道环的长度？
9.判断两个单链表是否相交
10.两个单链表相交，计算相交点
11.用链表模拟大整数加法运算
12.单链表排序
13.删除单链表中重复的元素
首先写一个单链表的C#实现，这是我们的基石：
public class Link
{
public Link Next;
public string Data;
public Link(Link next, string data)
{
this.Next = next;
this.Data = data;
}
}
其中，我们需要人为地在单链表前面加一个空节点，称其为head。例如，一个单链表是1->2->5，如图所示：
对一个单链表的遍历如下所示：
static void Main(string[] args)
{
Link head = GenerateLink();
Link curr = head;
while (curr != null)
{
Console.WriteLine(curr.Data);
curr = curr.Next;
}
}
1.单链表反转
这道题目有两种算法，既然是要反转，那么肯定是要破坏原有的数据结构的：
算法1：我们需要额外的两个变量来存储当前节点curr的下一个节点next、再下一个节点nextnext：
public static Link ReverseLink1(Link head)
{
Link curr = head.Next;
Link next = null;
Link nextnext = null;
//if no elements or only one element exists
if (curr == null || curr.Next == null)
{
return head;
}
//if more than one element
while (curr.Next != null)
{
next = curr.Next; //1
nextnext = next.Next; //2
next.Next = head.Next; //3
head.Next = next; //4
curr.Next = nextnext; //5
}
return head;
}
算法的核心是while循环中的5句话
我们发现，curr始终指向第1个元素。
此外，出于编程的严谨性，还要考虑2种极特殊的情况：没有元素的单链表，以及只有一个元素的单链表，都是不需要反转的。
算法2：自然是递归
如果题目简化为逆序输出这个单链表，那么递归是很简单的，在递归函数之后输出当前元素，这样能确保输出第N个元素语句永远在第N+1个递归函数之后执行，也就是说第N个元素永远在第N+1个元素之后输出，最终我们先输出最后一个元素，然后是倒数第2个、倒数第3个，直到输出第1个：
public static void ReverseLink2(Link head)
{
if (head.Next != null)
{
ReverseLink2(head.Next);
Console.WriteLine(head.Next.Data);
}
}
但是，现实应用中往往不是要求我们逆序输出（不损坏原有的单链表），而是把这个单链表逆序（破坏型）。这就要求我们在递归的时候，还要处理递归后的逻辑。
首先，要把判断单链表有0或1个元素这部分逻辑独立出来，而不需要在递归中每次都比较一次：
public static Link ReverseLink3(Link head)
{
//if no elements or only one element exists
if (head.Next == null || head.Next.Next == null)
return head;
head.Next = ReverseLink(head.Next);
return head;
}
我们观测到：
head.Next = ReverseLink(head.Next);
这句话的意思是为ReverseLink方法生成的逆序链表添加一个空表头。
接下来就是递归的核心算法ReverseLink了：
static Link ReverseLink(Link head)
{
if (head.Next == null)
return head;
Link rHead = ReverseLink(head.Next);
head.Next.Next = head;
head.Next = null;
return rHead;
}
算法的关键就在于递归后的两条语句：
head.Next.Next = head; //1
head.Next = null; //2
啥意思呢？画个图表示就是：
这样，就得到了一个逆序的单链表，我们只用到了1个额外的变量rHead。
2.找出单链表的倒数第4个元素
这道题目有两种算法，但无论哪种算法，都要考虑单链表少于4个元素的情况：
第1种算法，建立两个指针，第一个先走4步，然后第2个指针也开始走，两个指针步伐（前进速度）一致。
static Link GetLast4thOne(Link head)
{
Link first = head;
Link second = head;
for (int i = 0; i < 4; i++)
{
if (first.Next == null)
throw new Exception("Less than 4 elements");
first = first.Next;
}
while (first != null)
{
first = first.Next;
second = second.Next;
}
return second;
}
第2种算法，做一个数组arr[4]，让我们遍历单链表，把第0个、第4个、第8个……第4N个扔到arr[0]，把第1个、第5个、第9个……第4N+1个扔到arr[1]，把第2个、第6个、第10个……第4N+2个扔到arr[2]，把第3个、第7个、第11个……第4N+3个扔到arr[3]，这样随着单链表的遍历结束，arr中存储的就是单链表的最后4个元素，找到最后一个元素对应的arr[i]，让k=(i+1)%4，则arr[k]就是倒数第4个元素。
static Link GetLast4thOneByArray(Link head)
{
Link curr = head;
int i = 0;
Link[] arr = new Link[4];
while (curr.Next != null)
{
arr[i] = curr.Next;
curr = curr.Next;
i = (i + 1) % 4;
}
if (arr[i] == null)
throw new Exception("Less than 4 elements");
return arr[i];
}
本题目源代码下载：
推而广之，对倒数第K个元素，都能用以上2种算法找出来。
3.找出单链表的中间元素
算法思想：类似于上题，还是使用两个指针first和second，只是first每次走一步，second每次走两步：
static Link GetMiddleOne(Link head)
{
Link first = head;
Link second = head;
while (first != null && first.Next != null)
{
first = first.Next.Next;
second = second.Next;
}
return second;
}
但是，这道题目有个地方需要注意，就是对于链表元素个数为奇数，以上算法成立。如果链表元素个数为偶数，那么在返回second的同时，还要返回second.Next也就是下一个元素，它俩都算是单链表的中间元素。
下面是加强版的算法，无论奇数偶数，一概通杀：
static void Main(string[] args)
{
Link head = GenerateLink();
bool isOdd = true;
Link middle = GetMiddleOne(head, ref isOdd);
if (isOdd)
{
Console.WriteLine(middle.Data);
}
else
{
Console.WriteLine(middle.Data);
Console.WriteLine(middle.Next.Data);
}
Console.Read();
}
static Link GetMiddleOne(Link head, ref bool isOdd)
{
Link first = head;
Link second = head;
while (first != null && first.Next != null)
{
first = first.Next.Next;
second = second.Next;
}
if (first != null)
isOdd = false;
return second;
}
4.一个单链表，很长，遍历一遍很慢，我们仅知道一个指向某节点的指针curr，而我们又想删除这个节点。
这道题目是典型的“狸猫换太子”，如下图所示：
如果不考虑任何特殊情况，代码就2行：
curr.Data = curr.Next.Data;
curr.Next = curr.Next.Next;
上述代码由一个地方需要注意，就是如果要删除的是最后一个元素呢？那就只能从头遍历一次找到倒数第二个节点了。
此外，这道题目的一个变身就是将一个环状单链表拆开（即删除其中一个元素），此时，只要使用上面那两行代码就可以了，不需要考虑表尾。
相关问题：只给定单链表中某个结点p(非空结点)，在p前面插入一个结点q。
话说，交换单链表任意两个节点，也可以用交换值的方法。但这样就没意思了，所以，才会有第7题霸王硬上工的做法。
5.两个不交叉的有序链表的合并
有两个有序链表，各自内部是有序的，但是两个链表之间是无序的。
算法思路：当然是循环逐项比较两个链表了，如果一个到了头，就不比较了，直接加上去。
注意，对于2个元素的Data相等（仅仅是Data相等哦，而不是相同的引用），我们可以把它视作前面的Data大于后面的Data，从而节省了算法逻辑。
static Link MergeTwoLink(Link head1, Link head2)
{
Link head = new Link(null, Int16.MinValue);
Link pre = head;
Link curr = head.Next;
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
//compare until one link run to the end
while (curr1.Next != null && curr2.Next != null)
{
if (curr1.Next.Data < curr2.Next.Data)
{
curr = new Link(null, curr1.Next.Data);
curr1 = curr1.Next;
}
else
{
curr = new Link(null, curr2.Next.Data);
curr2 = curr2.Next;
}
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
//if head1 run to the end
while (curr1.Next != null)
{
curr = new Link(null, curr1.Next.Data);
curr1 = curr1.Next;
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
//if head2 run to the end
while (curr2.Next != null)
{
curr = new Link(null, curr2.Next.Data);
curr2 = curr2.Next;
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
return head;
}
如果这两个有序链表交叉组成了Y型呢，比如说：
这时我们需要先找出这个交叉点（图中是11），这个算法参见第9题，我们这里直接使用第10道题目中的方法GetIntersect。
然后局部修改上面的算法，只要其中一个链表到达了交叉点，就直接把另一个链表的剩余元素都加上去。如下所示：
static Link MergeTwoLink2(Link head1, Link head2)
{
Link head = new Link(null, Int16.MinValue);
Link pre = head;
Link curr = head.Next;
Link intersect = GetIntersect(head1, head2);
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
//compare until one link run to the intersect
while (curr1.Next != intersect && curr2.Next != intersect)
{
if (curr1.Next.Data < curr2.Next.Data)
{
curr = new Link(null, curr1.Next.Data);
curr1 = curr1.Next;
}
else
{
curr = new Link(null, curr2.Next.Data);
curr2 = curr2.Next;
}
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
//if head1 run to the intersect
if (curr1.Next == intersect)
{
while (curr2.Next != null)
{
curr = new Link(null, curr2.Next.Data);
curr2 = curr2.Next;
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
}
//if head2 run to the intersect
else if (curr2.Next == intersect)
{
while (curr1.Next != null)
{
curr = new Link(null, curr1.Next.Data);
curr1 = curr1.Next;
pre.Next = curr;
pre = pre.Next;
}
}
return head;
}
6.有个二级单链表，其中每个元素都含有一个指向一个单链表的指针。写程序把这个二级链表展开称一级单链表。
这个简单，就是说，这个二级单链表只包括一些head：
public class Link
{
public Link Next;
public int Data;
public Link(Link next, int data)
{
this.Next = next;
this.Data = data;
}
}
public class CascadeLink
{
public Link Next;
public CascadeLink NextHead;
public CascadeLink(CascadeLink nextHead, Link next)
{
this.Next = next;
this.NextHead = nextHead;
}
}
下面做一个二级单链表，GenerateLink1和GenerateLink2方法在前面都已经介绍过了：
public static CascadeLink GenerateCascadeLink()
{
Link head1 = GenerateLink1();
Link head2 = GenerateLink2();
Link head3 = GenerateLink1();
CascadeLink element3 = new CascadeLink(null, head3);
CascadeLink element2 = new CascadeLink(element3, head2);
CascadeLink element1 = new CascadeLink(element2, head1);
CascadeLink head = new CascadeLink(element1, null);
return head;
}
就是说，这些单链表的表头head1、head2、head3、head4……，它们组成了一个二级单链表head：null –> head1 –> head2 –> head3 –> head4
–>
我们的算法思想是： 进行两次遍历，在外层用curr1遍历二级单链表head，在内层用curr2遍历每个单链表：
public static Link GenerateNewLink(CascadeLink head)
{
CascadeLink curr1 = head.NextHead;
Link newHead = curr1.Next;
Link curr2 = newHead;
while (curr1 != null)
{
curr2.Next = curr1.Next.Next;
while (curr2.Next != null)
{
curr2 = curr2.Next;
}
curr1 = curr1.NextHead;
}
return newHead;
}
其中，curr2.Next = curr1.Next.Next; 这句话是关键，它负责把上一个单链表的表尾和下一个单链表的非空表头连接起来。
7.单链表交换任意两个元素（不包括表头）
先一次遍历找到这两个元素curr1和curr2，同时存储这两个元素的前驱元素pre1和pre2。
然后大换血
public static Link SwitchPoints(Link head, Link p, Link q)
{
if (p == head || q == head)
throw new Exception("No exchange with head");
if (p == q)
return head;
//find p and q in the link
Link curr = head;
Link curr1 = p;
Link curr2 = q;
Link pre1 = null;
Link pre2 = null;
int count = 0;
while (curr != null)
{
if (curr.Next == p)
{
pre1 = curr;
count++;
if (count == 2)
break;
}
else if (curr.Next == q)
{
pre2 = curr;
count++;
if (count == 2)
break;
}
curr = curr.Next;
}
curr = curr1.Next;
pre1.Next = curr2;
curr1.Next = curr2.Next;
pre2.Next = curr1;
curr2.Next = curr;
return head;
}
注意特例，如果相同元素，就没有必要交换；如果有一个是表头，就不交换。
8.判断单链表是否有环？如何找到环的“起始”点？如何知道环的长度？
算法思想：
先分析是否有环。为此我们建立两个指针，从header一起向前跑，一个步长为1，一个步长为2，用while（直到步长2的跑到结尾）检查两个指针是否相等，直到找到为止。
static bool JudgeCircleExists(Link head)
{
Link first = head; //1 step each time
Link second = head; //2 steps each time
while (second.Next != null && second.Next.Next != null)
{
second = second.Next.Next;
first = first.Next;
if (second == first)
return true;
}
return false;
}
那又如何知道环的长度呢？
根据上面的算法，在返回true的地方，也就是2个指针相遇处，这个位置的节点P肯定位于环上。我们从这个节点开始先前走，转了一圈肯定能回来：
static int GetCircleLength(Link point)
{
int length = 1;
Link curr = point;
while (curr.Next != point)
{
length++;
curr = curr.Next;
}
return length;
}
继续我们的讨论，如何找到环的“起始”点呢？
延续上面的思路，我们仍然在返回true的地方P，计算一下从有环单链表的表头head到P点的距离
static int GetLengthFromHeadToPoint(Link head, Link point)
{
int length = 1;
Link curr = head;
while (curr != point)
{
length++;
curr = curr.Next;
}
return length;
}
如果我们把环从P点“切开”（当然并不是真的切，那就破坏原来的数据结构了），那么问题就转化为计算两个相交“单链表”的交点（第10题）：
一个单链表是从P点出发，到达P（一个回圈），距离M；另一个单链表从有环单链表的表头head出发，到达P，距离N。
我们可以参考第10题的GetIntersect方法并稍作修改。
private static Link FindIntersect(Link head)
{
Link p = null;
//get the point in the circle
bool result = JudgeCircleExists(head, ref p);
if (!result) return null;
Link curr1 = head.Next;
Link curr2 = p.Next;
//length from head to p
int M = 1;
while (curr1 != p)
{
M++;
curr1 = curr1.Next;
}
//circle length
int N = 1;
while (curr2 != p)
{
N++;
curr2 = curr2.Next;
}
//recover curr1 & curr2
curr1 = head.Next;
curr2 = p.Next;
//make 2 links have the same distance to the intersect
if (M > N)
{
for (int i = 0; i < M - N; i++)
curr1 = curr1.Next;
}
else if (M < N)
{
for (int i = 0; i < N - M; i++)
curr2 = curr2.Next;
}
//goto the intersect
while (curr1 != p)
{
if (curr1 == curr2)
{
return curr1;
}
curr1 = curr1.Next;
curr2 = curr2.Next;
}
return null;
}
9.判断两个单链表是否相交
这道题有多种算法。
算法1：把第一个链表逐项存在hashtable中，遍历第2个链表的每一项，如果能在第一个链表中找到，则必然相交。
static bool JudgeIntersectLink1(Link head1, Link head2)
{
Hashtable ht = new Hashtable();
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
//store all the elements of link1
while (curr1.Next != null)
{
ht[curr1.Next] = string.Empty;
curr1 = curr1.Next;
}
//check all the elements in link2 if exists in Hashtable or not
while (curr2.Next != null)
{
//if exists
if (ht[curr2.Next] != null)
{
return true;
}
curr2 = curr2.Next;
}
return false;
}
算法2：把一个链表A接在另一个链表B的末尾，如果有环，则必然相交。如何判断有环呢？从A开始遍历，如果能回到A的表头，则肯定有环。
注意，在返回结果之前，要把刚才连接上的两个链表断开，恢复原状。
static bool JudgeIntersectLink2(Link head1, Link head2)
{
bool exists = false;
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
//goto the end of the link1
while (curr1.Next != null)
{
curr1 = curr1.Next;
}
//join these two links
curr1.Next = head2;
//iterate link2
while (curr2.Next != null)
{
if (curr2.Next == head2)
{
exists = true;
break;
}
curr2 = curr2.Next;
}
//recover original status, whether exists or not
curr1.Next = null;
return exists;
}
算法3：如果两个链表的末尾元素相同，则必相交。
static bool JudgeIntersectLink3(Link head1, Link head2)
{
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
//goto the end of the link1
while (curr1.Next != null)
{
curr1 = curr1.Next;
}
//goto the end of the link2
while (curr2.Next != null)
{
curr2 = curr2.Next;
}
if (curr1 != curr2)
return false;
else
return true;
}
10.两个单链表相交，计算相交点
分别遍历两个单链表，计算出它们的长度M和N，假设M比N大，则长度M的链表先前进M-N，然后两个链表同时以步长1前进，前进的同时比较当前的元素，如果相同，则必是交点。
public static Link GetIntersect(Link head1, Link head2)
{
Link curr1 = head1;
Link curr2 = head2;
int M = 0, N = 0;
//goto the end of the link1
while (curr1.Next != null)
{
curr1 = curr1.Next;
M++;
}
//goto the end of the link2
while (curr2.Next != null)
{
curr2 = curr2.Next;
N++;
}
//return to the begining of the link
curr1 = head1;
curr2 = head2;
if (M > N)
{
for (int i = 0; i < M - N; i++)
curr1 = curr1.Next;
}
else if (M < N)
{
for (int i = 0; i < N - M; i++)
curr2 = curr2.Next;
}
while (curr1.Next != null)
{
if (curr1 == curr2)
{
return curr1;
}
curr1 = curr1.Next;
curr2 = curr2.Next;
}
return null;
}
11.用链表模拟大整数加法运算
例如：9>9>9>NULL + 1>NULL =>
1>0>0>0>NULL
肯定是使用递归啦，不然没办法解决进位+1问题，因为这时候要让前面的节点加1，而我们的单链表是永远指向前的。
此外对于999+1=1000，新得到的值的位数（4位）比原来的两个值（1个1位，1个3位）都多，所以我们将表头的值设置为0，如果多出一位来，就暂时存放到表头。递归结束后，如果表头为1，就在新的链表外再加一个新的表头。
//head1 length > head2, so M > N
public static int Add(Link head1, Link head2, ref Link newHead, int M, int N)
{
// goto the end
if (head1 == null)
return 0;
int temp = 0;
int result = 0;
newHead = new Link(null, 0);
if (M > N)
{
result = Add(head1.Next, head2, ref newHead.Next, M - 1, N);
temp = head1.Data + result;
newHead.Data = temp % 10;
return temp >= 10
1 : 0;
}
else // M == N
{
result = Add(head1.Next, head2.Next, ref newHead.Next, M - 1, N - 1);
temp = head1.Data + head2.Data + +result;
newHead.Data = temp % 10;
return temp >= 10
1 : 0;
}
}
这里假设head1比head2长，而且M、N分别是head1和head2的长度。
12.单链表排序
无外乎是冒泡、选择、插入等排序方法。关键是交换算法，需要额外考虑。第7题我编写了一个交换算法，在本题的排序过程中，我们可以在外层和内层循环里面，捕捉到pre1和pre2，然后进行交换，而无需每次交换又要遍历一次单链表。
在实践中，我发现冒泡排序和选择排序都要求内层循环从链表的末尾向前走，这明显是不合时宜的。
所以我最终选择了插入排序算法，如下所示：
先给出基于数组的算法：
代码
static int[]
InsertSort(int[] arr)
{
for(int i=1; i { for(int j =i; (j>0)&&arr[j] { arr[j]=arr[j]^arr[j-1]; arr[j-1]=arr[j]^arr[j-1]; arr[j]=arr[j]^arr[j-1]; } } return arr; } 仿照上面的思想，我们来编写基于Link的算法： public static Link SortLink(Link head) { Link pre1 = head; Link pre2 = head.Next; Link min = null; for (Link curr1 = head.Next; curr1 != null; curr1 = min.Next) { if (curr1.Next == null) break; min = curr1; for (Link curr2 = curr1.Next; curr2 != null; curr2 = curr2.Next) { //swap curr1 and curr2 if (curr2.Data < curr1.Data) { min = curr2; curr2 = curr1; curr1 = min; pre1.Next = curr1; curr2.Next = curr1.Next; curr1.Next = pre2; //if exchange element n-1 and n, no need to add reference from pre2 to curr2, because they are the same one if (pre2 != curr2) pre2.Next = curr2; } pre2 = curr2; } pre1 = min; pre2 = min.Next; } return head; } 值得注意的是，很多人的算法不能交换相邻两个元素，这是因为pre2和curr2是相等的，如果此时还执行pre2.Next = curr2; 会造成一个自己引用自己的环。 交换指针很是麻烦，而且效率也不高，需要经常排序的东西最好不要用链表来实现，还是数组好一些。 用Hashtable辅助，遍历一遍单链表就能搞定。 实践中发现，curr从表头开始，每次判断下一个元素curr.Netx是否重复，如果重复直接使用curr.Next = curr.Next.Next; 就可以删除重复元素——这是最好的算法。唯一的例外就是表尾，所以到达表尾，就break跳出while循环。 public static Link DeleteDuplexElements(Link head) { Hashtable ht = new Hashtable(); Link curr = head; while (curr != null) { if (curr.Next == null) { break; } if (ht[curr.Next.Data] != null) { curr.Next = curr.Next.Next; } else { ht[curr.Next.Data] = ""; } curr = curr.Next; } return head; } 结语： 单链表只有一个向前指针Next，所以要使用1-2个额外变量来存储当前元素的前一个或后一个指针。 尽量用while循环而不要用for循环，来进行遍历。 哇塞，我就是不用指针，照样能“修改地址”，达到和C++同样的效果，虽然很烦~ 遍历的时候，不要在while循环中head=head.Next;这样会改变原先的数据结构。我们要这么写：Link curr=head;然后curr=curr.Next; 有时我们需要临时把环切开，有时我们需要临时把单链表首尾相连成一个环。 究竟是玩curr还是curr.Next，根据不同题目而各有用武之地，没有定论，不必强求。 目录： 1.设计含min函数的栈，要求min、push和pop的时间复杂度都是o(1)。 2.设计含min函数的栈的另解 3.用两个栈实现队列 4.用两个队列实现栈 5.栈的push、pop序列是否一致 6.递归反转一个栈，要求不得重新申请一个同样的栈，空间复杂度o(1) 7.给栈排个序 8..如何用一个数组实现两个栈 9..如何用一个数组实现三个栈 算法思想：需要设计一个辅助栈，用来存储当前栈中元素的最小值。网上有人说存储当前栈中元素的最小值的所在位置，虽然能节省空间，这其实是不对的，因为我在调用Min函数的时候，只能得到位置，还要对存储元素的栈不断的pop，才能得到最小值——时间复杂度o(1)。 所以，还是在辅助栈中存储元素吧。 此外，还要额外注意Push操作，第一个元素不用比较，自动成为最小值入栈。其它元素每次都要和栈顶元素比较，小的那个放到栈顶。 public class NewStack { private Stack dataStack; private Stack mindataStack; public NewStack() { dataStack = new Stack(); mindataStack = new Stack(); } public void Push(int element) { dataStack.Push(element); if (mindataStack.Count == 0) mindataStack.Push(element); else if (element <= (int)mindataStack.Peek()) mindataStack.Push(element); else //(element > mindataStack.Peek) mindataStack.Push(mindataStack.Peek()); } public int Pop() { if (dataStack.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); mindataStack.Pop(); return (int)dataStack.Pop(); } public int Min() { if (dataStack.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); return (int)mindataStack.Peek(); } } 话说，和青菜脸呆久了，就沾染了上海小市民意识，再加上原本我就很抠门儿，于是对于上一题目，我把一个栈当成两个用，就是说，每次push，先入站当前元素，然后入栈当前栈中最小元素；pop则每次弹出2个元素。 算法代码如下所示（这里最小元素位于当前元素之上，为了下次比较方便）： public class NewStack { private Stack stack; public NewStack() { stack = new Stack(); } public void Push(int element) { if (stack.Count == 0) { stack.Push(element); stack.Push(element); } else if (element <= (int)stack.Peek()) { stack.Push(element); stack.Push(element); } else //(element > stack.Peek) { object min = stack.Peek(); stack.Push(element); stack.Push(min); } } public int Pop() { if (stack.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); stack.Pop(); return (int)stack.Pop(); } public int Min() { if (stack.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); return (int)stack.Peek(); } } 之所以说我这个算法比较叩门，是因为我只使用了一个栈，空间复杂度o(N)，节省了一半的空间（算法1的空间复杂度o(2N)）。 实现队列，就要实现它的3个方法：Enqueue（入队）、Dequeue（出队）和Peek（队头）。 1）stack1存的是每次进来的元素，所以Enqueue就是把进来的元素push到stack1中。 2）而对于Dequeue，一开始stack2是空的，所以我们把stack1中的元素全都pop到stack2中，这样stack2的栈顶就是队头。只要stack2不为空，那么每次出队，就相当于stack2的pop。 3）接下来，每入队一个元素，仍然push到stack1中。每出队一个元素，如果stack2不为空，就从stack2中pop一个元素；如果stack2为空，就重复上面的操作——把stack1中的元素全都pop到stack2中。 4）Peek操作，类似于Dequeue，只是不需要出队，所以我们调用stack2的Peek操作。当然，如果stack2为空，就把stack1中的元素全都pop到stack2中。 5）注意边界的处理，如果stack2和stack1都为空，才等于队列为空，此时不能进行Peek和Dequeue操作。 按照上述分析，算法实现如下： public class NewQueue { private Stack stack1; private Stack stack2; public NewQueue() { stack1 = new Stack(); stack2 = new Stack(); } public void Enqueue(int element) { stack1.Push(element); } public int Dequeue() { if (stack2.Count == 0) { if (stack1.Count == 0) throw new Exception("The queue is empty"); else while (stack1.Count > 0) stack2.Push(stack1.Pop()); } return (int)stack2.Pop(); } public int Peek() { if (stack2.Count == 0) { if (stack1.Count == 0) throw new Exception("The queue is empty"); else while (stack1.Count > 0) stack2.Push(stack1.Pop()); } return (int)stack2.Peek(); } } 这个嘛，就要queue1和queue2轮流存储数据了。这个“轮流”发生在Pop和Peek的时候，假设此时我们把所有数据存在queue1中（此时queue2为空），我们把queue1的n-1个元素放到queue2中，queue中最后一个元素就是我们想要pop的元素，此时queue2存有n-1个元素（queue1为空）。 至于Peek，则是每次转移n个数据，再转移最后一个元素的时候，将其计下并返回。 那么Push的操作，则需要判断当前queue1和queue2哪个为空，将新元素放到不为空的队列中。 public class NewStack { private Queue queue1; private Queue queue2; public NewStack() { queue1 = new Queue(); queue2 = new Queue(); } public void Push(int element) { if (queue1.Count == 0) queue2.Enqueue(element); else queue1.Enqueue(element); } public int Pop() { if (queue1.Count == 0 && queue2.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); if (queue1.Count > 0) { while (queue1.Count > 1) { queue2.Enqueue(queue1.Dequeue()); } //还剩一个 return (int)queue1.Dequeue(); } else //queue2.Count > 0 { while (queue2.Count > 1) { queue1.Enqueue(queue2.Dequeue()); } //还剩一个 return (int)queue2.Dequeue(); } } public int Peek() { if (queue1.Count == 0 && queue2.Count == 0) throw new Exception("The stack is empty"); int result = 0; if (queue1.Count > 0) { while (queue1.Count > 1) { queue2.Enqueue(queue1.Dequeue()); } //还剩一个 result = (int)queue1.Dequeue(); queue2.Enqueue(result); } else //queue2.Count > 0 { while (queue2.Count > 1) { queue1.Enqueue(queue2.Dequeue()); } //还剩一个 result = (int)queue2.Dequeue(); queue1.Enqueue(result); } return result; } } 输入两个整数序列。其中一个序列表示栈的push顺序，判断另一个序列有没有可能是对应的pop顺序。为了简单起见，我们假设push序列的任意两个整数都是不相等的。 比如输入的push序列是1、2、3、4、5，那么4、5、3、2、1就有可能是一个pop系列。因为可以有如下的push和pop序列：push 1，push 2，push 3，push 4，pop，push 5，pop，pop，pop，pop，这样得到的pop序列就是4、5、3、2、1。但序列4、3、5、1、2就不可能是push序列1、2、3、4、5的pop序列。 网上的若干算法都太复杂了，现提出包氏算法如下： 先for循环把arr1中的元素入栈，并在每次遍历时，检索arr2中可以pop的元素。如果循环结束，而stack中还有元素，就说明arr2序列不是pop序列。 static bool JudgeSequenceIsPossible(int[] arr1,int[] arr2) { Stack stack = new Stack(); for (int i = 0, j = 0; i < arr1.Length; i++) { stack.Push(arr1[i]); while(stack.Count > 0 && (int)stack.Peek() == arr2[j]) { stack.Pop(); j++; } } return stack.Count == 0; } 算法思想：汉诺塔的思想，非常复杂，玩过九连环的人都想得通的 static void ReverseStack(ref Stack stack) { if (stack.Count == 0) return; object top = stack.Pop(); ReverseStack(ref stack); if (stack.Count == 0) { stack.Push(top); return; } object top2 = stack.Pop(); ReverseStack(ref stack); stack.Push(top); ReverseStack(ref stack); stack.Push(top2); } 本题目是上一题目的延伸 static void Sort(ref Stack stack) { if (stack.Count == 0) return; object top = stack.Pop(); Sort(ref stack); if (stack.Count == 0) { stack.Push(top); return; } object top2 = stack.Pop(); if ((int)top > (int)top2) { stack.Push(top); Sort(ref stack); stack.Push(top2); } else { stack.Push(top2); Sort(ref stack); stack.Push(top); } } 继续我所提倡的抠门儿思想，也不枉我和青菜脸相交一场。 网上流传着两种方法： 方法1 采用交叉索引的方法 一号栈所占数组索引为0, 2, 4, 6, 8......(K*2) 二号栈所占数组索引为1，3，5，7，9 ......(K*2 + 1) 算法实现如下： public class NewStack { object[] arr; int top1; int top2; public NewStack(int capticy) { arr = new object[capticy]; top1 = -1; top2 = -2; } public void Push(int type, object element) { if (type == 1) { if (top1 + 2 >= arr.Length) throw new Exception("The stack is full"); else { top1 += 2; arr[top1] = element; } } else //type==2 { if (top2 + 2 >= arr.Length) throw new Exception("The stack is full"); else { top2 += 2; arr[top2] = element; } } } public object Pop(int type) { object obj = null; if (type == 1) { if (top1 == -1) throw new Exception("The stack is empty"); else { obj = arr[top1]; arr[top1] = null; top1 -= 2; } } else //type == 2 { if (top2 == -2) throw new Exception("The stack is empty"); else { obj = arr[top2]; arr[top2] = null; top2 -= 2; } } return obj; } public object Peek(int type) { if (type == 1) { if (top1 == -1) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top1]; } else //type == 2 { if (top2 == -2) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top2]; } } } 方法2： 第一个栈A：从最左向右增长 第二个栈B：从最右向左增长 代码实现如下： public class NewStack { object[] arr; int top1; int top2; public NewStack(int capticy) { arr = new object[capticy]; top1 = 0; top2 = capticy; } public void Push(int type, object element) { if (top1 == top2) throw new Exception("The stack is full"); if (type == 1) { arr[top1] = element; top1++; } else //type==2 { top2--; arr[top2] = element; } } public object Pop(int type) { object obj = null; if (type == 1) { if (top1 == 0) throw new Exception("The stack is empty"); else { top1--; obj = arr[top1]; arr[top1] = null; } } else //type == 2 { if (top2 == arr.Length) throw new Exception("The stack is empty"); else { obj = arr[top2]; arr[top2] = null; top2++; } } return obj; } public object Peek(int type) { if (type == 1) { if (top1 == 0) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top1 - 1]; } else //type == 2 { if (top2 == arr.Length) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top2]; } } } 综合比较上述两种算法，我们发现，算法1实现的两个栈，每个都只有n/2个空间大小；而算法2实现的两个栈，如果其中一个很小，另一个则可以很大，它们的和为常数n。 最后，让我们把抠门儿进行到底，相信看完本文，你已经从物质和精神上都升级为一个抠门儿主义者。 如果还使用交叉索引的办法，每个栈都只有N/3个空间。 让我们只好使用上个题目的第2个方法，不过这只能容纳2个栈，我们还需要一个位置存放第3个栈，不如考虑数组中间的位置——第3个栈的增长规律可以如下： 第1个入栈C的元素进mid处 第2个入栈C的元素进mid+1处 第3个入栈C的元素进mid-1处 第4个入栈C的元素进mid+2处 这个方法的好处是， 每个栈都有接近N/3个空间。 public class NewStack { object[] arr; int top1; int top2; int top3_left; int top3_right; bool isLeft; public NewStack(int capticy) { arr = new object[capticy]; top1 = 0; top2 = capticy; isLeft = true; top3_left = capticy / 2; top3_right = top3_left + 1; } public void Push(int type, object element) { if (type == 1) { if (top1 == top3_left + 1) throw new Exception("The stack is full"); arr[top1] = element; top1++; } else if (type == 2) { if (top2 == top3_right) throw new Exception("The stack is full"); top2--; arr[top2] = element; } else //type==3 { if (isLeft) { if (top1 == top3_left + 1) throw new Exception("The stack is full"); arr[top3_left] = element; top3_left--; } else { if (top2 == top3_right) throw new Exception("The stack is full"); arr[top3_right] = element; top3_right++; } isLeft = !isLeft; } } public object Pop(int type) { object obj = null; if (type == 1) { if (top1 == 0) throw new Exception("The stack is empty"); else { top1--; obj = arr[top1]; arr[top1] = null; } } else if (type == 2) { if (top2 == arr.Length) throw new Exception("The stack is empty"); else { obj = arr[top2]; arr[top2] = null; top2++; } } else //type==3 { if (top3_right == top3_left + 1) throw new Exception("The stack is empty"); if (isLeft) { top3_left++; obj = arr[top3_left]; arr[top3_left] = null; } else { top3_right--; obj = arr[top3_right]; arr[top3_right] = null; } isLeft = !isLeft; } return obj; } public object Peek(int type) { if (type == 1) { if (top1 == 0) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top1 - 1]; } else if (type == 2) { if (top2 == arr.Length) throw new Exception("The stack is empty"); return arr[top2]; } else //type==3 { if (top3_right == top3_left + 1) throw new Exception("The stack is empty"); if (isLeft) return arr[top3_left + 1]; else return arr[top3_right - 1]; } } } 目录： 1.二叉树三种周游（traversal）方式： 2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据 3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树 4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。 5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历？ 6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径 7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中？ 8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果 9.求二叉树的镜像 10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。 11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表 首先写一个二叉树的C#实现，这是我们的基石： public class BinNode { public int Element; public BinNode Left; public BinNode Right; public BinNode(int element, BinNode left, BinNode right) { this.Element = element; this.Left = left; this.Right = right; } public bool IsLeaf() { return this.Left == null && this.Right == null; } } 1）前序周游（preorder）：节点 –> 子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树） static void PreOrder(BinNode root) { if (root == null) return; //visit current node Console.WriteLine(root.Element); PreOrder(root.Left); PreOrder(root.Right); } 2）后序周游（postorder）：子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树） –> 节点 static void PostOrder(BinNode root) { if (root == null) return; PostOrder(root.Left); PostOrder(root.Right); //visit current node Console.WriteLine(root.Element); } 3）中序周游（inorder）：子节点Left（包括其子树） –> 节点 –> 子节点Right（包括其子树） static void InOrder(BinNode root) { if (root == null) return; InOrder(root.Left); //visit current node Console.WriteLine(root.Element); InOrder(root.Right); } 我们发现，三种周游的code实现，仅仅是访问当前节点的这条语句所在位置不同而已。 有2种算法： 算法1：基于Queue来实现，也就是广度优先搜索（BFS）的思想 static void PrintTree1(BinNode root) { if (root == null) return; BinNode tmp = null; Queue queue = new Queue(); queue.Enqueue(root); while (queue.Count > 0) { tmp = (BinNode)queue.Dequeue(); Console.WriteLine(tmp.Element); if (tmp.Left != null) queue.Enqueue(tmp.Left); if (tmp.Right != null) queue.Enqueue(tmp.Right); } } 话说，BFS和DFS思想本来是用于图的，但我们不能被传统的思维方式所束缚。 算法2：基于单链表实现 如果没有Queue给我们用，我们只好使用单链表，把每个节点存在单链表的Data中，实现如下： public class Link { public Link Next; public BinNode Data; public Link(Link next, BinNode data) { this.Next = next; this.Data = data; } } 看过了Queue的实现，我们发现永远是先出队1个（队头），然后入队2个（把出队的Left和Right放到队尾）。 对于单链表而言，我们可以先模拟入队——把first的Data所对应的Left和Right，先后插到second的后面，即second.Next和second.Next.Next位置，同时second向前走0、1或2次，再次到达链表末尾，这取决于Left和Right是否为空；然后我们模拟出队——first前进1步。 当first指针走不下去了，那么任务也就结束了。 static void PrintTree2(BinNode root) { if (root == null) return; Link head = new Link(null, root); Link first = head; Link second = head; while (first != null) { if (first.Data.Left != null) { second.Next = new Link(null, first.Data.Left); second = second.Next; } if (first.Data.Right != null) { second.Next = new Link(null, first.Data.Right); second = second.Next; } Console.WriteLine(first.Data.Element); first = first.Next; } } 平衡二叉树的定义，如果任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那这棵树就是平衡二叉树。 算法思路：先编写一个计算二叉树深度的函数GetDepth，利用递归实现；然后再递归判断每个节点的左右子树的深度是否相差1 static int GetDepth(BinNode root) { if (root == null) return 0; int leftLength = GetDepth(root.Left); int rightLength = GetDepth(root.Right); return (leftLength > rightLength leftLength : rightLength) + 1; } 注意这里的+1，对应于root不为空（算作当前1个深度） static bool IsBalanceTree(BinNode root) { if (root == null) return true; int leftLength = GetDepth(root.Left); int rightLength = GetDepth(root.Right); int distance = leftLength > rightLength leftLength - rightLength : rightLength - leftLength; if (distance > 1) return false; else return IsBalanceTree(root.Left) && IsBalanceTree(root.Right); } 上述程序的逻辑是，只要当前节点root的Left和Right深度差不超过1，就递归判断Left和Right是否也符合条件，直到为Left或Right为null，这意味着它们的深度为0，能走到这一步，前面必然都符合条件，所以整个二叉树都符合条件。 本题网上有很多算法，都不怎么样。这里提出包氏的两个算法： 算法1：做一个容器，我们在遍历二叉树寻找节点的同时，把从根到节点的路径扔进去（两个节点就是两个容器）。由于根节点最后一个被扔进去，但我们接下来又需要第一个就能访问到它——后进先出，所以这个容器是一个栈。时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)。 static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref Stack stack) { if (root == null) return false; if (root == node) { stack.Push(root); return true; } if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref stack) || GetPositionByNode(root.Right, node, ref stack)) { stack.Push(root); return true; } return false; } 然后我们要同时弹出这两个容器的元素，直到它们不相等，那么之前那个相等的元素就是我们要求的父亲节点。 static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2) { Stack stack1 = new Stack(); GetPositionByNode(root, node1, ref stack1); Stack stack2 = new Stack(); GetPositionByNode(root, node2, ref stack2); BinNode tempNode = null; while (stack1.Peek() == stack2.Peek()) { tempNode = (BinNode)stack1.Pop(); stack2.Pop(); } return tempNode; } 算法2：如果要求o(1)的空间复杂度，就是说，只能用一个变量来辅助我们。 我们选择一个64位的整数，然后从1开始，从左到右逐层为二叉树的每个元素赋值，root对应1，root.Left对应2，root.Right对应3，依次类推，而不管实际这个位置上是否有节点，我们发现两个规律： //// 1 //// 2 3 //// 4 5 6 7 //// 8 9 10 如果要找的是5和9位置上的节点。 我们发现，它们的二进制分别是101和1001，右移1001使之与101位数相同，于是1001变成了100（也就是9的父亲4）。 这时101和100（也就是4和5位于同样的深度），我们从左往右找，101和100具有2位相同，即10，这就是我们要找的4和5的父亲，也就是9和5的最近父亲。 由上面观察，得到算法： 1)将找到的两个节点对应的数字 static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref int pos) { if (root == null) return false; if (root == node) return true; int temp = pos; //这么写很别扭，但是能保证只要找到就不再进行下去 pos = temp * 2; if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref pos)) { return true; } else { //找不到左边找右边 pos = temp * 2 + 1; return GetPositionByNode(root.Right, node, ref pos); } } 2)它们的二进制表示，从左向右逐一比较，直到一个结束或不再相同，则最大的相同子串，就是我们需要得到的最近父亲所对应的位置K。 static int FindParentPosition(int larger, int smaller) { if (larger == smaller) return larger; int left = GetLen(larger) - GetLen(smaller); while (left > 0) { larger = larger >> 1; left--; } while (larger != smaller) { larger = larger >> 1; smaller = smaller >> 1; } return smaller; } static int GetLen(int num) { int length = 0; while (num != 0) { num = num >> 1; length++; } return length; } 3)第3次递归遍历，寻找K所对应的节点。 函数GetNodeByPosition的思想是，先算出k在第几层power，观察k的二进制表示，比如说12，即1100，从左向右数第一个位1不算，还剩下100，1表示向右走，0表示向左走，于是从root出发，1->3->6->12。 static BinNode GetNodeByPosition(BinNode root, int num) { if (num == 1) return root; int pow = (int)Math.Floor(Math.Log(num, 2)); //1 return 0, 2-3 return 1, 4-7 return 2 //第一个位不算 num -= 1 << pow; while (pow > 0) { if ((num & 1 << (pow - 1)) == 0) root = root.Left; else root = root.Right; pow--; } return root; } 总结上面的3个步骤： static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2) { int pos1 = 1; GetPositionByNode(root, node1, ref pos1); int pos2 = 1; GetPositionByNode(root, node2, ref pos2); int parentposition = 0; if (pos1 >= pos2) { parentposition = FindParentPosition(pos1, pos2); } else //pos1 { parentposition = FindParentPosition(pos2, pos1); } return GetNodeByPosition(root, parentposition); } 算法思想：三种算法的思想都是让root的Left的Left的Left全都入栈。所以第一个while循环的逻辑，都是相同的。 下面详细分析第2个while循环，这是一个出栈动作，只要栈不为空，就始终要弹出栈顶元素，由于我们之前入栈的都是Left节点，所以每次在出栈的时候，我们都要考虑Right节点是否存在。因为前序/后序/中序遍历顺序的不同，所以在具体的实现上有略为区别。 1)前序遍历 这个是最简单的。 前序遍历是root->root.Left->root.Right的顺序。 因为在第一个while循环中，每次进栈的都可以认为是一个root，所以我们直接打印，然后root.Right和root.Left先后进栈，那么出栈的时候，就能确保先左后右的顺序。 static void PreOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { Console.WriteLine(temp.Element); if (temp.Right != null) stack.Push(temp.Right); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { temp = (BinNode)stack.Pop(); Console.WriteLine(temp.Element); while (temp != null) { if (temp.Right != null) stack.Push(temp.Right); temp = temp.Left; } } } //后序遍历比较麻烦，需要记录上一个访问的节点，然后在本次循环中判断当前节点的Right或Left是否为上个节点，当前节点的Right为null表示没有右节点。 static void PostOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { if (temp != null) stack.Push(temp); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { BinNode lastvisit = temp; temp = (BinNode)stack.Pop(); if (temp.Right == null || temp.Right == lastvisit) { Console.WriteLine(temp.Element); } else if (temp.Left == lastvisit) { stack.Push(temp); temp = temp.Right; stack.Push(temp); while (temp != null) { if (temp.Left != null) stack.Push(temp.Left); temp = temp.Left; } } } } //中序遍历，类似于前序遍历 static void InOrder(BinNode root) { Stack stack = new Stack(); BinNode temp = root; //入栈 while (temp != null) { if (temp != null) stack.Push(temp); temp = temp.Left; } //出栈，当然也有入栈 while (stack.Count > 0) { temp = (BinNode)stack.Pop(); Console.WriteLine(temp.Element); if (temp.Right != null) { temp = temp.Right; stack.Push(temp); while (temp != null) { if (temp.Left != null) stack.Push(temp.Left); temp = temp.Left; } } } } 算法思想：这道题目的苦恼在于，如果用递归，只能打出一条路径来，其它符合条件的路径打不出来。 为此，我们需要一个Stack，来保存访问过的节点，即在对该节点的递归前让其进栈，对该节点的递归结束后，再让其出栈——深度优先原则（DFS）。 此外，在递归中，如果发现某节点（及其路径）符合条件，如何从头到尾打印是比较头疼的，因为DFS使用的是stack而不是queue，为此我们需要一个临时栈，来辅助打印。 static void FindBinNode(BinNode root, int sum, Stack stack) { if (root == null) return; stack.Push(root.Element); //Leaf if (root.IsLeaf()) { if (root.Element == sum) { Stack tempStack = new Stack(); while (stack.Count > 0) { tempStack.Push(stack.Pop()); } while (tempStack.Count > 0) { Console.WriteLine(tempStack.Peek()); stack.Push(tempStack.Pop()); } Console.WriteLine(); } } if (root.Left != null) FindBinNode(root.Left, sum - root.Element, stack); if (root.Right != null) FindBinNode(root.Right, sum - root.Element, stack); stack.Pop(); } 算法思想：我们该如何构造这棵二叉树呢？当然是越平衡越好，如下所示： //// arr[0] //// arr[1] arr[2] //// arr[3] arr[4] arr[5] 相应编码如下： public static void InsertArrayIntoTree(int[] arr, int pos, ref BinNode root) { root = new BinNode(arr[pos], null, null); root.Element = arr[pos]; //if Left value less than arr length if (pos * 2 + 1 > arr.Length - 1) { return; } else { InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 1, ref root.Left); } //if Right value less than arr length if (pos * 2 + 2 > arr.Length - 1) { return; } else { root.Right = new BinNode(arr[pos * 2 + 2], null, null); InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 2, ref root.Right); } } 比如，给你一个数组： int a[] = [1, 6, 4, 3, 5] ，则F(a) => false 算法思想：在后续遍历得到的序列中，最后一个元素为树的根结点。从头开始扫描这个序列，比根结点小的元素都应该位于序列的左半部分；从第一个大于跟结点开始到跟结点前面的一个元素为止，所有元素都应该大于跟结点，因为这部分元素对应的是树的右子树。根据这样的划分，把序列划分为左右两部分，我们递归地确认序列的左、右两部分是不是都是二元查找树。 由于不能使用动态数组，所以我们每次递归都使用同一个数组arr，通过start和length来模拟“部分”数组。 public static bool VerifyArrayOfBST(int[] arr, int start, int length) { if (arr == null || arr.Length == 0 || arr.Length == 1) { return false; } int root = arr[length + start - 1]; int i = start; for (; i < length - 1; i++) { if (arr[i] >= root) break; } int j = i; for (; j < length - 1; j++) { if (arr[j] < root) return false; } bool left = true; if (i > start) { left = VerifyArrayOfBST(arr, start, i - start); } bool right = true; if (j > i) { right = VerifyArrayOfBST(arr, i, j - i + 1); } return left && right; } 算法1：利用上述遍历二叉树的方法（比如说前序遍历），把访问操作修改为交换左右节点的逻辑： static void PreOrder(ref BinNode root) { if (root == null) return; //visit current node BinNode temp = root.Left; root.Left = root.Right; root.Right = temp; PreOrder(ref root.Left); PreOrder(ref root.Right); } 算法2：使用循环也可以完成相同的功能。 static void PreOrder2(ref BinNode root) { if (root == null) return; Stack stack = new Stack(); stack.Push(root); while (stack.Count > 0) { //visit current node BinNode temp = root.Left; root.Left = root.Right; root.Right = temp; if (root.Left != null) stack.Push(root.Left); if (root.Right != null) stack.Push(root.Right); } } 算法思想：最小最大节点分别在最左下与最右下节点，O(N) static BinNode Find(BinNode root) { BinNode min = FindMinNode(root); BinNode max = FindMaxNode(root); double find = (double)(min.Element + max.Element) / 2; return FindNode(root, find); } static BinNode FindMinNode(BinNode root) { BinNode min = root; while (min.Left != null) { min = min.Left; } return min; } static BinNode FindMaxNode(BinNode root) { BinNode max = root; while (max.Right != null) { max = max.Right; } return max; } 递归寻找BST的节点，O(logN)。 static BinNode FindNode(BinNode root, double mid) { //如果小于相等，则从右边找一个最小值 if (root.Element <= mid) { if (root.Right == null) return root; BinNode find = FindNode(root.Right, mid); //不一定找得到 return find.Element < mid root : find; } //如果大于，则找到Left else //temp.Element > find { if (root.Left == null) return root; BinNode find = FindNode(root.Left, mid); //不一定找得到 return find.Element < mid root : find; } } //// 13 //// 10 15 //// 5 11 17 //// 16 22 转变为Link：5=10=11=13=15=16=17=22 算法思想：这个就是中序遍历啦，因为BST的中序遍历就是一个从小到大的访问顺序。局部修改中序遍历算法，于是有如下代码： static void ConvertNodeToLink(BinNode root, ref DoubleLink link) { if (root == null) return; BinNode temp = root; if (temp.Left != null) ConvertNodeToLink(temp.Left, ref link); //visit current node link.Next = new DoubleLink(link, null, root); link = link.Next; if (temp.Right != null) ConvertNodeToLink(temp.Right, ref link); } 但是我们发现，这样得到的Link是指向双链表最后一个元素22，而我们想要得到的是表头5，为此，我们不得不额外进行while循环，将指针向前移动到表头： static DoubleLink ReverseDoubleLink(BinNode root, ref DoubleLink link) { ConvertNodeToLink(root, ref link); DoubleLink temp = link; while (temp.Prev != null) { temp = temp.Prev; } return temp; } 这么写有点蠢，为什么不直接在递归中就把顺序反转呢？于是有算法2： 算法2：观察算法1的递归方法，访问顺序是Left -> Root –> Right，所以我们要把访问顺序修改为Right -> Root –> Left。 此外，算法的节点访问逻辑，是连接当前节点和新节点，同时指针link向前走，即5=10=11=13=15=16=17=22=link 代码如下所示： link.Next = new DoubleLink(link, null, root); link = link.Next; 那么，即使我们颠倒了访问顺序，新的Link也只是变为：22=17=16=15=13=11=10=5=link。 为此，我们修改上面的节点访问逻辑——将Next和Prev属性交换： link.Prev = new DoubleLink(null, link, root); link = link.Prev; 这样，新的Link就变成这样的顺序了：link=5=10=11=13=15=16=17=22 算法代码如下所示： static void ConvertNodeToLink2(BinNode root, ref DoubleLink link) { if (root == null) return; BinNode temp = root; if (temp.Right != null) ConvertNodeToLink2(temp.Right, ref link); //visit current node link.Prev = new DoubleLink(null, link, root); link = link.Prev; if (temp.Left != null) ConvertNodeToLink2(temp.Left, ref link); } 以下算法属于二叉树的基本概念，未列出： 1.Huffman Tree的生成、编码和反编码 2.BST的实现 3.Heap的实现，优先队列 4.非平衡二叉树如何变成平衡二叉树？ http://www.cppblog.com/bellgrade/archive/2009/10/12/98402.html 玩二叉树，基本都要用到递归算法。 唉，对于递归函数，我一直纠结，到底要不要返回值？到底先干正事还是先递归？到底要不要破坏原来的数据结构？到底要不要额外做个stack/queue/link/array来转存，还是说完全在递归里面实现？到底终结条件要写成什么样子？ ref在递归里面貌似用的很多哦。13.删除单链表中重复的元素
二、栈和队列
1.设计含min函数的栈，要求min、push和pop的时间复杂度都是o(1)。
2.设计含min函数的栈的另解
3.用两个栈实现队列
4.用两个队列实现栈
5.栈的push、pop序列是否一致
6.递归反转一个栈，要求不得重新申请一个同样的栈，空间复杂度o(1)
7.给栈排个序
8..如何用一个数组实现两个栈
9..如何用一个数组实现三个栈
三、二叉树
1.二叉树三种周游（traversal）方式：
2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据
3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树
4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。
5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历？
6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径
7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中？
8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果
9.求二叉树的镜像
10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。
11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表，如