啊哈算法（8）——更多精彩的算法
1、图的最小生成树（Kruskal算法）
对于一个给定的图，找出其最小生成树，用最少的边让n个顶点的图连通，很显然若要让n个顶点的图连通，最少要n-1条边，最小生成树还需要满足这n-1条边的权重和最小。例如对于如下输入实例：
6 9
2 4 11
3 5 13
4 6 3
5 6 4
2 3 6
4 5 7
1 2 1
3 4 9
1 3 2第一行n和m，n表示有n个顶点，m表示有m条路径，接下来的m行形如a b c表示顶点a到顶点b的权重为c。
Kruskal算法的核心为：首先对边按照权重进行排序，每一次从剩余的边中选择权值较小的并且不会产生回路的边，加入到生成树中，直到加入了n-1条边为止。实现如下：
/*Kruskal算法，最小生成树*/
#includeKruskal算法的时间复杂度为：对边进行快排是O(MlogM)，在m条边中找出n-1条边是O(MlogN)，所以Kruskal算法的时间复杂度为O(MlogM+MlogN)。
2、最小生成树（prim算法）
prim算法的核心步骤如下：
- 从任意一个定点开始构造生成树，假设从一号顶点开始。首先将一号顶点加入生成树中，用一个数组book来标记哪些顶点已经加入到生成树中了。
- 用dis数组记录生成树到各个顶点的距离。最初生成树中只有一号顶点，有直连边时，数组dis中存储的就是1号顶点到该顶点的边的权值，没有直连边的时候就是无穷大，即初始化dis数组。
- 从数组中选出离生成树最近的顶点（假设顶点为j）加入到生成树中（在dis数组中找到最小值）。在以j为中间点，更新生成树到每一个非树顶点的距离（松弛），即如果dis[k]>e[j][k]则更新dis[k]=e[j][k]。
- 重复第三步
例如对于如下示例：
6 9
2 4 11
3 5 13
4 6 3
5 6 4
2 3 6
4 5 7
1 2 1
3 4 9
1 3 2第一行n和m，n表示有n个顶点，m表示有m条路径，接下来的m行形如a b c表示顶点a到顶点b的权重为c。实现代码如下：
/*prim算法，使用邻接矩阵存图*/
#include//总共n-1条边就可以使得图连通
{
//从非树节点集合中选择 离生成树中最近的点加入到生成树中
int min = inf;
int pos = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (book[i]==0&&dis[i] < min)
{
min = dis[i];
pos = i;
}
}
book[pos] = 1;
sum += min;
count++;
//以pos点为中心，更新各个非树节点到生成树的距离
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (book[i] == 0 && dis[i] > e[pos][i])
dis[i] = e[pos][i];
}
}
cout << sum << endl;
system("pause");
} 上面这种算法的时间复杂度为O(N^2)，如果使用堆，每一次选边的时间复杂度是O(logM)，然后使用邻接表来存储整个图时间复杂度会降低到O(MlogN)。实现代码如下：
使用三个数组，dis数组用来记录生成树到各个顶点的距离。数组h是一个最小堆，堆里面存储的是顶点编号。这里并不是按照顶点的编号来建立最小堆，而是按照顶点在dis数组中的数值来建立最小堆的，此外还需要一个数组pos来记录每个顶点在最小堆中的位置。
/*prim算法实现：使用邻接表来存储图并且使用堆优化*/
#include//堆顶元素加入到生成树当中
int j = pop();
book[j] = 1;
count++;
sum += dis[j];
//以j为中心对边进行松弛
int k = first[j];
while (k!=-1)
{
if (book[v[k]] == 0 && dis[v[k]] > w[k])
{
dis[v[k]] = w[k]; //更新距离
siftup(pos[v[k]]); //对该顶点在堆中的位置进行松弛，pos[i]中存放的是节点i在堆中的位置
}
k = next[k];
}
}
cout << sum << endl;
system("pause");
} 3、图的割点
对于一个给定的图，求出图中的割点，采用深度优先搜索时访问到了k点，此时图就会被k点分割成两个部分，一部分是已经被访问过的点，另一部分是没有访问过的点。如果k点是割点，那么剩下的没有被访问过的点中至少会有一个点在不经过k点的情况下，是无论如何再也回不到已访问过的点。算法的关键在于：当深度优先遍历访问到顶点u时，其孩子顶点v还是没有访问过的，如何判断顶点v在不经过其父节点u的情况下可以回到祖先。为此使用两个数组：1、num记录dfs访问到每个节点时的时间戳，2、low记录每个顶点在不经过其父节点时，能够回到的最小时间戳。对于某个顶点u，对于其孩子v，使得low[v]>=num[u],即不能回到祖先，那么u点就为割点。对于如下输入：
6 7
1 4
1 3
4 2
3 2
2 5
2 6
5 6第一行为节点个数和边的个数，实现代码如下：
#include上述采用邻接矩阵来实现，这样时间复杂度都会在O(N^2)，这与使用蛮力，删除一个点然后判断剩余的点是否连通是一样的，因此要采用邻接表来存储图，时间复杂度为O(N+M)，下面采用邻接表存图的割点算法实现代码为：
/*割点算法，采用邻接表实现*/
#include4、图的割边
割边也称为桥，在一个无向连通图中，如果删除某条边之后图不载连通，这与求图的割点类似，在求割点的时候（u为父节点，v为子节点）判断low[v]>=num[u]即在不经过父节点的情况下子节点最早能到的节点最早为父节点，在求割边的时候将判断条件改为low[v]>num[u]说明子节点v连父节点都到达不了，那么就说明u->v这条边就为割边，因为v回不到祖先，并且也没有另外一条路回到父节点，所以该边为割边，实现代码为：
对于如下输入：
6 6
1 4
1 3
4 2
3 2
2 5
5 6使用邻接表实现，复杂度为O(M+N)，实现的代码为：
/*割点算法，采用邻接表实现*/
#include当然也可以使用邻接矩阵来存图，但是时间复杂度至少为O(N^2)，这样完全没有意义，因为完全可以依次删除一条边来进行DFS或者BFS来判断整个图是不是连通的，这里还是给出实现代码：
#include5、二分图最大匹配
二分图：如果一个图的所有顶点可以被分为X和Y两个集合，并且所有边的两个顶点恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y，即每个集合内的顶点每有边相连，那么此图就是二分图。
二分图的最大匹配就是，两两通过边匹配（点不可以重复使用），求出最大的匹配树，最直观的解法：找出全部的匹配方案输出配对数最多的一种方案。但是时间复杂度很高。
使用匈牙利算法解决这个问题，匈牙利算法过程如下：
- 首先从任意一个未配对的点u开始，从点u的边中任意选择一条边（假设这条边是u->v）开始配对。如果此时点v还没有匹配，则配对成功，此时就找到了一条增广路。如果此时点v已经配对了，就要尝试进行连锁反应（即看看v先在配对的点还有没有其他的点可以配对），如果尝试成功就找到了一条增广路，此时需要更新原来的配对关系。这里使用一个match数组来记录配对关系，比如v与u匹配成功就记作match[v]=u和match[u]=v。配对成功后将配对数加1。配对过程使用DFS来实现
- 如果刚才尝试失败，就从u的边中重新选择一条边进行尝试，直到点u匹配成功。
- 接下来对剩下没有配对的点一一进行配对，直到所有的点尝试完毕
对于如下输入：
6 5
1 4
1 5
2 5
2 6
3 4其中1、2、3代表集合x中的元素，4、5、6代表集合Y中的元素，求出最大匹配对数，实现代码为：
/*匈牙利算法实现*/
#include
using namespace std;
int e[101][101];//使用邻接矩阵存储整个地图
int match[101]; //用来记录配对的关系 比如v与u匹配成功就记作match[v]=u和match[u]=v。
int book[101]; //用来标记某个顶点是否已经被尝试了
int n, m;//顶点个数和边的数目
int dfs(int u)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i) //尝试每一个顶点
{
if (book[i] == 0 && e[u][i] == 1) //还没有尝试并且有边相连
{
book[i] = 1; //标记已经尝试
//match[i]==0说明当前节点还没有匹配
/*dfs(match[i]) 说明当前节点i已经匹配了节点假设为j，则让节点j与其他节点进行重新匹配看看是不是可以成功
如果成功则当前节点就可以与节点j匹配*/
if (match[i] == 0 || dfs(match[i]))
{
//更新匹配关系
match[u] = i;
match[i] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int sum = 0;
cin >> n >> m;
int x, y;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
cin >> x >> y;
e[x][y] = 1;
e[y][x] = 1; //为无向图
}
//最开始没有匹配关系 初始化match数组
for (int i = 1; i <= n; ++i)
match[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= n; ++j)
book[j] = 0; //清空上次搜索的记录
if (dfs(i))
sum++; //寻找到一条
}
cout << sum << endl;
system("pause");
}
如果二分图有n个点，那么最多找到n/2条增广路。如果图中有m条边，那么没找一条增广路就要把所有边遍历一遍，所花时间时m。所以总的时间复杂度是O(NM)。对于判断一个图是否是二分图，可以首先将任意一个顶点进行着红色，然后将相邻的点着蓝色，如果按照这样的着色可以将全部的顶点着色，并且相邻的顶点着色不同，那么该图就是二分图。