数据结构_二叉搜索树

二叉搜索树
所谓的查找，指从一组数据对象中找出符合特定条件者。其中的数据对象，统一的表示和实现为词条（entry）的形式；不同的数据项之间，依照各自的关键码（key）彼此区分。
一般而言词条应以如下形式：

 template  struct Entry { //词条模板类
    K key; V value; //关键码、数值
    Entry ( K k = K(), V v = V() ) : key ( k ), value ( v ) {}; //默认构造函数
    Entry ( Entry const& e ) : key ( e.key ), value ( e.value ) {}; //基于克隆的构造函数
    bool operator< ( Entry const& e ) { return key <  e.key; }  //比较器：小于
    bool operator> ( Entry const& e ) { return key >  e.key; }  //比较器：大于
    bool operator== ( Entry const& e ) { return key == e.key; } //判等器：等于
    bool operator!= ( Entry const& e ) { return key != e.key; } //判等器：不等于
 }; //得益于比较器和判等器，从此往后，不必严格区分词条及其对应的关键码

通过重载对应的操作符，可以将词条判等与比较操作转换为关键码的判等与比较（通常不区分词条及其关键码），实际上任意词条之间可以相互比较，是有序向量得以定义以及二分查找算法成立的基本前提，下面基于同样的前提，讨论如何将二分查找的技巧融入二叉树结构，进而借助二叉搜索树实现高效的查找。

• 二叉搜索树定义
  
  BST顺序性：处处满足顺序性，任一节点均不小于/不大于其左后代/右后代。
  二叉搜索树反例：
  

  BST单调性：顺序性虽然只是对局部特征的刻画，但是由此却可以导出全局特征，即BST的中序遍历序列，必然单调非降。并且，任何一颗二叉树是二叉搜索树，当且仅当其中序遍历序列单调非降。
  

• BST接口定义
  二叉搜索树属于二叉树的特例，可以基于BinTree模板类（参考）派生出BST模板类。这里新增加了三个标准的对外接口search()、insert()和remove()，对应于基本的查找、插入和删除操作。

 #include "BinTree/BinTree.h" //引入BinTree

 template  class BST : public BinTree { //由BinTree派生BST模板类
 protected:
    BinNodePosi(T) _hot; //“命中”节点的父亲
    BinNodePosi(T) connect34 ( //按照“3 + 4”结构，联接3个节点及四棵子树
       BinNodePosi(T), BinNodePosi(T), BinNodePosi(T),
       BinNodePosi(T), BinNodePosi(T), BinNodePosi(T), BinNodePosi(T) );
    BinNodePosi(T) rotateAt ( BinNodePosi(T) x ); //对x及其父亲、祖父做统一旋转调整
 public: //基本接口：以virtual修饰，强制要求所有派生类（BST变种）根据各自的规则对其重写
    virtual BinNodePosi(T) & search ( const T& e ); //查找
    virtual BinNodePosi(T) insert ( const T& e ); //插入
    virtual bool remove ( const T& e ); //删除
 };

• 查找算法及其实现
  二叉搜索树的查找算法，执行过程可以描述为：
  从树根出发，逐步的缩小查找范围，直到发现目标（成功）或缩小至空树（失败）
  例如：
  
  由上可以得到：每次查找对应于从根到某一节点的路径，最大比较次数为树高+1。

  查找算法的实现以及search接口实现如下：

查找算法的实现：

 template <typename T> //在以v为根的（AVL、SPLAY、rbTree等）BST子树中查找关键码e
 static BinNodePosi(T) & searchIn ( BinNodePosi(T) & v, const T& e, BinNodePosi(T) & hot ) {
    if ( !v || ( e == v->data ) ) return v; //递归基：在节点v（或假想的通配节点）处命中
    hot = v; //一般情况：先记下当前节点，然后再
    return searchIn ( ( ( e < v->data ) ? v->lc : v->rc ), e, hot ); //深入一层，递归查找
 } //返回时，返回值指向命中节点（或假想的通配哨兵），hot指向其父亲（退化时为初始值NULL）

search接口实现：

template T>BinNodePosi(T)&BST(T)::search(const T&e)//在BST中查找关键码e
{
    return searchIn (_root,e,_hot=NULL);
}

节点的插入和删除操作，都需要首先调用查找算法。查找算法之所以如此实现，是为了统一并且简化不同搜索树的各种操作接口的实现，这种技巧主要体现在返回值和hot变量。下面讲讨论一下这两个的语义。
借助下图解释：

查找时无非两种情况，查找成功（作图）与查找失败（右图）。
返回的引用值与hot：
1、查找成功时，指向一个关键码为e且真实存在的节点。
2、查找失败时，返回的数值虽然为NULL，但是如上图，它指向最后一次试图转向的空节点（可以想象为一个哨兵节点，无论成功与否，查找的返回值总是等效的指向“命中的节点”）。
3、对于hot统一指向“命中节点”的父节点。（这里的命中节点可能是真实命中的节点，也可能是假想的哨兵节点。）

效率分析：在二叉树的每一层，查找算法至多访问一个节点，并且只需要常数的时间，总体所需要时间线性正比于查找路径的长度。在最好的情况下，在树根处命中即O(1)；在最后的情况下，为O(n)，此时退化为一条单链。所以，如果要控制单词查找在最坏情况下的时间，要从控制二叉搜索树的高度入手（平衡二叉搜索树）。

• 插入算法及其实现
  首先需要利用查找算法search()确定插入的位置及方向，然后才能将新节点作为叶子插入。
  实例：
  
  我们这里假定没有雷同元素，此时_hot为新节点的父亲。
  插入算法实现：

//对于首个节点插入之类的边界情况，都可以处理
 template <typename T> BinNodePosi(T) BST::insert ( const T& e ) { //将关键码e插入BST树中
    BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( x ) return x; //确认目标不存在（留意对_hot的设置）
    x = new BinNode ( e, _hot ); //创建新节点x：以e为关键码，以_hot为父
    _size++; //更新全树规模
    updateHeightAbove ( x ); //更新x及其历代祖先的高度
    return x; //新插入的节点，必为叶子
 } //无论e是否存在于原树中，返回时总有x->data == e

首先调用search()查找e。若返回的位置非空，说明已有雷同节点，插入操作失败。否则x必然是_hot节点的某一空孩子，于是创建这个孩子并存入e。此后，更新全树的规模，并且更新x以及历代祖先的高度。这里无论插入操作成功与否，都会返回一个非空位置。
效率：节点插入操作所需要的时间，主要消耗在search()及updateHeightAbove()的调用。两者在每层最多涉及一个节点，仅消耗O(1)时间，因此，其时间复杂度取决于新节点的深度，在最坏的情况下不超过全树的高度。

• 删除算法及其实现
  为了在二叉搜索树中删除节点，首先也需要调用算法search()，判断目标节点是否的确存在于树中。若存在，则需要返回其位置，然后才能实施相应的删除操作。删除操作具体分为两种情况：
  1、单分支情况
  这种情况指的是，我们确定所要删除的节点，至多只有一个孩子，为了方便说明，看如下实例：
  
  若我们要想删除的节点为(69)，我们只需要将其替换为左孩子(64)，即拓扑意义上的节点删除即完成。最后为了保持二叉搜索树作为数据结构的完整性和一致性，我们还需要更新全树的规模，释放被摘除的节点(69)，并且自下而上的更新替代节点(64)历代祖先的高度。
  2、双分支情况
  双分支情况即当一个节点的左、右孩子均存在。如下实例：
  
  在这种情况下，我们使用二叉树中下一个节点
  使用的方法，首先找到待删除节点的直接后继，然后交换两个数据项即可将其转换为单分支情况。
  删除操作的具体实现：

 /******************************************************************************************
  * BST节点删除算法：删除位置x所指的节点（全局静态模板函数，适用于AVL、Splay、RedBlack等各种BST）
  * 目标x在此前经查找定位，并确认非NULL，故必删除成功；与searchIn不同，调用之前不必将hot置空
  * 返回值指向实际被删除节点的接替者，hot指向实际被删除节点的父亲——二者均有可能是NULL
  ******************************************************************************************/
 template <typename T>
 static BinNodePosi(T) removeAt ( BinNodePosi(T) & x, BinNodePosi(T) & hot ) {
    BinNodePosi(T) w = x; //实际被摘除的节点，初值同x
    BinNodePosi(T) succ = NULL; //实际被删除节点的接替者
    if ( !HasLChild ( *x ) ) //若*x的左子树为空，则可
       succ = x = x->rc; //直接将*x替换为其右子树
    else if ( !HasRChild ( *x ) ) //若右子树为空，则可
       succ = x = x->lc; //对称地处理——注意：此时succ != NULL
    else { //若左右子树均存在，则选择x的直接后继作为实际被摘除节点，为此需要
       w = w->succ(); //（在右子树中）找到*x的直接后继*w
       swap ( x->data, w->data ); //交换*x和*w的数据元素
       BinNodePosi(T) u = w->parent;
       ( ( u == x ) ? u->rc : u->lc ) = succ = w->rc; //隔离节点*w
    }
    hot = w->parent; //记录实际被删除节点的父亲
    if ( succ ) succ->parent = hot; //并将被删除节点的接替者与hot相联
    release ( w->data ); release ( w ); return succ; //释放被摘除节点，返回接替者
 } 

//remove接口实现

 template <typename T> bool BST<T>::remove ( const T& e ) { //从BST树中删除关键码e
    BinNodePosi(T) & x = search ( e ); if ( !x ) return false; //确认目标存在（留意_hot的设置）
    removeAt ( x, _hot ); _size--; //实施删除
    updateHeightAbove ( _hot ); //更新_hot及其历代祖先的高度
    return true;
 } //删除成功与否，由返回值指示

效率分析：删除操作所需要的时间。主要消耗在search()、succ()和updateHeightAbove ()的调用。树中任一高度，它们至多消耗O(1)时间。总体时间复杂度不超过全树的高度。