[ZJOI2009]多米诺骨牌

题面

题意

给出一张矩形表格，一些地方有障碍物，向其中放1*2的多米诺骨牌（不用填满），要求任何相邻两行之间都有至少一个骨牌横跨，任何相邻两列之间也都至少有一个骨牌横跨，求方案数。

做法

为方便，用S(i,j,p,q)表示左上角为（i，j），右上角为（p，q）的子矩形
首先用dp预处理出dp[i][j][p][q]表示S(i,j,p,q)随意放骨牌的方案数（不考虑行列有无横跨），然后可以发现dp[i][j][u][q]*dp[i][u+1][p][q]表示在S(i,j,p,q)中第u列和第u+1列之间没有横跨骨牌的个数。
因此我们可以用容斥解决列横跨，而对于行横跨则不能这样求解（复杂度更高），我们可以用f[i]数组表示前i行任何相邻两行之间都有至少一个骨牌横跨的方案数，这样就可以得出：
f[x]=t[1][x]-${\sum }_{i=2}^x$f[i-1]*t[i][x]
其中t[i][j]表示i行到j行不考虑行横跨的方案数。
将两种横跨的求法结合起来，即可得到答案。

代码

#include
#include
#define ll long long
#define N 20
#define MN 40000
#define M 19901013
using namespace std;

ll m,n,dp[N][N][N][N],tmp[2][MN],f[N],num[N],top,ans;
char str[N];
bool mm[N][N];

inline ll ask(ll u,ll v)
{
	return (u>>v)&1;
}

inline void work(ll w,ll u,ll v)
{
	ll i,j,k,l,t,t2,zt,tot=(1 << (v-u+1))-1;
	bool now=0,nxt;
	for(i=0; i<=tot; i++) tmp[0][i]=0;
	t2=0;for(i=u;i<=v;i++) if(mm[w][i]) t2|=(1 << (i-u));
	tmp[0][t2]=1;
	for(i=w+1; i<=m+1; i++)
	{
		zt=0;
		for(j=u,t=0; j<=v; j++,t++)
		{
			zt|=(mm[i][j] << t);
			nxt=now^1;
			for(k=0; k<=tot; k++) tmp[nxt][k]=0;
			for(k=0; k<=tot; k++)
			{
				if(!tmp[now][k]) continue;
				t2=k;
				if(ask(t2,t)!=mm[i][j]) t2^=(1 << t);
				tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				if(ask(k,t)) continue;
				if(j!=v&&!ask(k,t+1))
				{
					t2=k|(1 << (t+1));
					if(ask(t2,t)!=mm[i][j]) t2^=(1 << t);
					tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				}
				if(!mm[i][j])
				{
					t2=k|(1 << t);
					tmp[nxt][t2]=(tmp[nxt][t2]+tmp[now][k])%M;
				}
			}
			now=nxt;
		}
		dp[w][u][i-1][v]=tmp[now][zt];
	}
}

int main()
{
	ll i,j,k,tot,p,q,t,u,d;
	cin>>m>>n;
	for(i=1; i<=m; i++)
	{
		scanf("%s",str+1);
		for(j=1; j<=n; j++)
		{
			mm[i][j]=(str[j]!='.');
		}
	}
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		for(j=i; j<=n; j++)
		{
			for(k=1; k<=m; k++)
			{
				work(k,i,j);
			}
		}
	}
	
	tot=(1 << (n-1))-1;
	for(i=0; i<=tot; i++)
	{
		top=0;
		num[++top]=0;
		for(j=0; j<n-1; j++)
		{
			if(ask(i,j)) num[++top]=j+1;
		}
		num[++top]=n;
		for(d=1; d<=m; d++)
		{
			for(u=1; u<=d; u++)
			{
				t=1;
				for(j=2; j<=top; j++)
				{
					p=num[j-1]+1,q=num[j];
					t=t*dp[u][p][d][q]%M;
				}
				if(u==1) f[d]=t;
				else f[d]-=t*f[u-1]%M,f[d]%=M;
			}
		}
		f[m]=(f[m]+M)%M;
		if(top&1) ans-=f[m];
		else ans+=f[m];
		ans%=M;
	}
	cout<<(ans+M)%M;
}