DP专题--数的划分

    NOIP之后感觉自己好像真的DP弱到不行，连背包都看不出来，= =其实也是因为并没有学习数学期望。所以滚过来专门补DP，还是从最基本的搞起来吧。
    改编自http://www.cnblogs.com/radiumlrb/p/5797168.html

题目要求：
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
　　2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
　　3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
　　4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
　　5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
　　

• 一.将n划分成不大于m的划分法：
  　　1).若是划分多个整数可以存在相同的：
  　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]
  　　 dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
  　　则划分数可以分为两种情况:
  　　a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
  　　b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];
  　　
  　 2).若是划分多个不同的整数：
  　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
  　　 同样划分情况分为两种情况：
  　　a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
  　　b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
  　　　并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]

• 二.将n划分成k个数的划分法：
  方法可以分为两类：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

  　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
  　　到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
  　　 　　第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩
  　　下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1] 　　
  另一种方式：
  dp[i,j]表示将i分成j份的方案数。
  dp[i,j]:=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+dp[i-j,3]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j];
  时间复杂度是n*k^2。O(n*k)的方法：
  由于，
  dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j];
  dp[i-1,j-1]=dp[(i-1)-(j-1),1]+dp[(i-1)-(j-1),2]+…+dp[(i-1)-(j-1),j-1]
  =dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1];
  因此,
  dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j]
  =dp[i-1,j-1]+dp[i-j,j];

  拓展：还有一个划分为不超过k组的问题
  就是看成与本题类似，但是可以有元素为0
  得到：dp[i,j]=dp[i-j,j]+dp[i,j-1]
  区别就是dp[i,j-1]中i没有-1
  参照hzwer的思想，因为元素可以为0，就算某一堆为空堆，总数也不需要-1

• 三.将n划分成若干奇数的划分法：
  g[i][j]:将i划分为j个偶数
  f[i][j]:将i划分为j个奇数
  g[i][j] = f[i - j][j];
  f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
  //感觉这道题的思路和填坑类似，高度递增的坑，要么把坑全部++，要么就只把当前的坑全部填满然后再填剩下的坑。

• 四.求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积　　
  　　问题简述：给定一个正整数n, 则在n所有的划分中, 求因子乘积最大的一个划分及此乘积。例如：8 = {8}, {7, 1}, {6, 2}, {5, 3}, {4, 4}, {3, 3, 2}, {2, 2, 2, 2} 等，那么在这些当中，3 * 3 * 2 的乘积最大，所以输出整个划分和这个乘积 18。
  　　算法分析：这是我在某个论坛上看到的问题，以及别人针对此问题的数学分析，现简单的整理如下：
  　　(1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1*m2 >= m证: 令m1 = int(m/2), 则 m1 >= 2 ， m2 = m-m1; 那么m2 > 2，并且 m2 >= m/2 >= m1; m1*m2 >= 2*m2 >= m; 证毕;
  该证明简单的来说就是：对于一个大于等于4的正整数m，存在一个2块划分的因子，这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。
  　　(2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r * 3^s。现证明 r <= 2;
  　　证：若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而2*2*2 < 3*3;
  　　所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3；积更大；证毕。
  　　综合(1)，(2)，则有：任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为2*2。
  　　所以：此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2，因此：
  　　 A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
  　　 B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
  　　C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2
  　　剩下编程处理，那就是太简单了，首先是处理 <= 4的特殊情况，再对>4的情况进行模3的3种情况的判断，最后一一输出。可见，数学在整数划分问题上有太强的功能。谁叫这个问题叫整数划分呢，不与数学密切才怪! ^_^。

• 五.小学六年级奥数—整数划分(有用结论)
  把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？

  由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。

  　　若1作因数，则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。

  若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。

  若和比1993大k（k≠1），则去掉等于k的那个数，便可使乘积最大。

  所以n=63。因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成（2+3+…+21）+（23+24+…+63）这一形式时，

  　　这些数的乘积最大，其积为 2×3×…×21×23×24×…×63。