2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十四次作业

信号与系统课程第十四次作业参考答案  

 

※ 第一题

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用闭式表达式写出下面有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）：
（1） $x\left[n\right]=\delta \left[n\right]$
（2） $x\left[n\right]=\delta \left[n-n_0\right],\left(0<n_0<N\right)$
（3） $x\left[n\right]=a^n{R}_N\left[n\right]$
（4） $x\left[n\right]=e^{j{\omega }_{0}n}\cdot R_N\left[n\right]$

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■ 求解：

（1）解答：
$$x\left(n\right)=\delta \left(n\right)$$

$$X\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}=1$$

（2）解答：
$$x\left(n\right)=\delta \left(n-n_0\right),\left(0<n_0<N\right)$$

$$X\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\frac{2\pi }{N}nk}=e^{-j\frac{2\pi }{N}{n}_{0}k}$$

（3）解答：
$$x\left(n\right)=a^n{R}_N\left(n\right)$$

$$X\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}{a}^n{R}_N\left[n\right]W^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}a{W}^k=\frac{1-{\left(a{W}^k\right)}^N}{1-a{W}^k}=\frac{1-a^N}{1-a{e}^{-j\frac{2\pi }{N}k}}$$

（4）解答：
$$x\left(n\right)=e^{j{\omega }_{0}n}{R}_N\left(n\right)$$

$$X\left(k\right)\stackrel{a=e^{j{\omega }_0}}{=}\frac{1-e^{j{\omega }_{0}N}}{1-e^{j\left({\omega }_0-\frac{2\pi }{N}k\right)}}$$

 

※ 第二题

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$x\left[n\right]$如下图所示，试绘出解答：
（1） $x\left[n\right]$与$x\left[n\right]$的线卷积；
（2） $x\left[n\right]$与$x\left[n\right]$的4点圆卷积；
（3） $x\left[n\right]$与$x\left[n\right]$的10点圆卷积；
（4）如果是$x\left[n\right]$与$x\left[n\right]$的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值。

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■ 求解：

 

※ 第三题

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已知序列$x\left[n\right]=\left\{1,2,3,4,5\right\}$，$h\left[n\right]=\left\{1,1,1,1\right\}$。求：
（1） $y\left[n\right]=x\left[n\right]\ast h\left[n\right]$
（2） $y\left[n\right]=x\left[n\right]{\otimes }_{7}h\left[n\right]$
（3） $y\left[n\right]=x\left[n\right]{\otimes }_{8}h\left[n\right]$

注：${\otimes }_7,{\otimes }_8$分别表示长度为7,8的圆卷积。

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■ 求解：

（1）解答：

（2）解答：

（3）解答：
由于\nL.≥4+5-1=8,所以圆卷积结果与线卷积结果相同：

$$y_{{\otimes }_8}\left[n\right]=\left\{1,3,6,10,14,12,9,5\right\}$$

 

※ 第四题

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设$x\left[n\right]$为有限长序列，当$n<0$和$n\ge N$时，$x\left[n\right]=0$。且$N$为偶数。
已知$DFT\left\{x\left[n\right]\right\}=X\left[k\right]$，试利用$X\left[k\right]$来表示一下个序列的DFT：

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■ 求解：

（1）解答：
$$X_1\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[N-1-n\right]W^{nk}=\sum _{m=N-1}^{0}x\left[m\right]W^{\left(N-1-m\right)k}$$$$=\sum _{m=0}^{N-1}x\left[m\right]W^{-mk}\cdot W^{-k}=X{\left[-k\right]}_N{e}^{j\frac{2\pi k}{N}}$$

（2）解答：
$$X_2\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}{\left(-1\right)}^{n}x\left[n\right]W^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{jn\pi }{e}^{j\frac{2\pi }{N}k}$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{j\frac{2\pi }{N}n\left(k+\frac{N}{2}\right)}=X{\left[k\pm \frac{N}{2}\right]}_N$$

（3）解答：
$$X_3\left[k\right]=\sum _{n=0}^{2N-1}{x}_3\left[n\right]W_{2N}^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_{2N}^{nk}+\sum _{n=N}^{2N-1}x\left[n-N\right]\cdot W_{2N}^{nk}$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{n\frac{k}{2}}+\sum _{m=0}^{N-1}x\left[m\right]\cdot W_N^{\left(m+N\right)\frac{k}{2}}$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{\frac{nk}{2}}+W_N^{\frac{kN}{2}}\sum _{m=0}^{N-1}x\left[m\right]\cdot W_N^{\frac{mk}{2}}$$$$=\left[1+{\left(-1\right)}^k\right]\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{\frac{nk}{2}}=\left[1+{\left(-1\right)}^k\right]X{\left[\frac{k}{2}\right]}_N$$

（4）解答：
$$X_4{\left[k\right]}_{\frac{N}{2}}=\sum _{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\left\{x\left[n\right]+x\left[n+\frac{N}{2}\right]\right\}\cdot W_{\frac{N}{2}}^{nk}$$$$=\sum _{n=0}^{\frac{N}{2}j-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{2nk}+\sum _{m=\frac{N}{2}}^{N-1}x\left[m\right]\cdot W_N^{2mk}$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{2nk}=X\left[2k\right]$$

（5）解答：
$$X_5\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_{2N}^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{\frac{nk}{2}}=X\left[\frac{k}{2}\right]$$

（6）解答：
$$X_6\left[k\right]=\sum _{n=0}^{2N-1}{x}_6\left[n\right]\cdot W_{2N}^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{nk}=X\left[k\right]$$

（7）解答：
$$X_7\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_7\left[n\right]\cdot W_{\frac{N}{2}}^{nk}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot \frac{1+{\left(-1\right)}^n}{2}{W}_N^{nk}$$$$=\frac{1}{2}\left\{\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{nk}+\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]{\left(-1\right)}^n{W}_N^{nk}\right\}$$$$=\frac{1}{2}\left\{X\left[k\right]+X{\left[k+\frac{N}{2}\right]}_N\right\}$$

 

※ 第五题

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有一个FFT处理器，用来估计实数信号的频谱。要求指标：
（1）频谱间的分辨率为$f_1\le 5Hz$；
（2）信号的最高频率$f_m\le 1.25kHz$；
（3）点数$N$必须是2的整数次幂。

试确定：
（1） 记录时间长度$T_1$；
（2）抽样点间的时间间隔$T_s$；
（3）一个记录过程的点数$N$。

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■ 求解：

（1） $$T_1=\frac{1}{f_1}\ge \frac{1}{5}=0.2s$$

（2） $$T_s\le \frac{1}{2f_m}=0.4ms$$

（3） $$N=\frac{T_1}{T_2}\ge 500$$

取$N=512$。

 

※ 第六题

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一直序列$x\left[n\right]$的长度为218，$h\left[n\right]$的长度为12.
（1）用直接卷激发求其线卷积，给出乘法的次数；
（2）采用基-2的快速傅里叶变换的快速卷积发，给出乘法的次数；
（3）比较以上结果，并得出你的结论。

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■ 求解：

(1) 直接进行卷积运算，结果长度为218+12-1=229. 总的实数乘法次数为： 218×12=2616.

(2) 使用基-2 FFT进行运算，需要将两个序列都至 长度为229的序列。取最接近的2的整数次幂， 将两个序列都补零为256长度的序列。

长度为N（2的整数次幂）的FFT运算包括(Nlog\2.N)2)次复数乘法运算。使用FFT进行卷积运算需要进行3次FFT运算（两次正变换，一次反变换）和一次数组乘法运算，因此总的复数乘法运算量为：（3Nlog\2.2/2+N)。一个复数乘法运算包括有4次实数乘法运算，所以总共乘法运算的次数为 4(3Nlog\2.2/2+N)。

根据上述分析，可以计算出基-2 的FFT进行计算序列卷积的乘法计算量为:4*（3 * 256 log\2.256 / 2 + 256)=13312
对比两种计算方法所需要的乘法次数，可以看出，在序列长度比较小的情况下，使用基于-2的 FFT反而计算量增加了。

 

※ 第七题

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已知$x\left[n\right]$是长度为$N$的序列，$X\left[k\right]=DFT\left\{x\left[n\right]\right\}$，把$x\left[n\right]$的长度扩大$r$倍，即：
$$y\left[n\right]=x\left[n\right],0\le n\le N-1$$$$y\left[n\right]=0,N\le n\le rN-1$$
又：$$Y\left[k_1\right]=DFT\left\{y\left[n\right]\right\},0\le k\le rN-1$$
求$Y\left[k_1\right]$与$X\left[k\right]$之间的关系。

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■ 求解：

（1）
$$Y\left[k_1\right]=\sum _{n=0}^{rN-1}y\left[n\right]\cdot W_{rN}^{n{k}_1}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_{rN}^{n{k}_1}$$$$=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_N^{\frac{n{k}_1}{r}}=X\left[\frac{k_1}{r}\right]$$

（2）

$$Y\left[k_1\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]\cdot W_{rN}^{n{k}_1}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left[k\right]\cdot W_N^{-nk}\right)\cdot W_{rN}^{n{k}_1}$$$$=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left[k\right]\sum _{n=0}^{N-1}{W}_{rN}^{-nkr}{W}_{rN}^{n{k}_1}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X\left[k\right]\frac{1-W_{rN}^{k_{1}N}}{1-W_{rN}^{k_1-kr}}$$

 

※ 第八题

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一下序列的长度为$N$，求其DFT的闭合表达式：

（1）$x\left[n\right]=\sin \left({\omega }_{0}n\right)\cdot R_N\left[n\right]$

（2） $x\left[n\right]=a^n\cdot R_N\left[n\right]$

（3） $x\left[n\right]=n^2\cdot R_N\left[n\right]$

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■ 求解：

（1）
$$X\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}\sin \left({\omega }_{0}n\right)\cdot e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$

$$=\sum _{n=0}^{N-1}\frac{1}{2j}\left(e^{j{\omega }_{0}n}-e^{-j{\omega }_{0}n}\right)\cdot e^{-j\frac{2\pi k}{N}\cdot n}$$

$$=\frac{1}{2j}\left[\frac{1-e^{j{\omega }_{0}N}}{1-e^{j\left({\omega }_0-\frac{2\pi k}{N}\right)}}-\frac{1-e^{-j{\omega }_{0}N}}{1-e^{-j\left({\omega }_0+\frac{2\pi k}{N}\right)}}\right]$$

$$=\frac{1}{2j}\cdot \frac{\left(1-e^{j{\omega }_{0}N}\right)\cdot \left(1-e^{-j\left({\omega }_0+\frac{2\pi k}{N}\right)}\right)-\left(1-e^{-j{\omega }_{0}N}\right)\cdot \left(1-e^{j\left({\omega }_0-\frac{2\pi k}{N}\right)}\right)}{\left(1-e^{j\left({\omega }_0-\frac{2\pi k}{N}\right)}\right)\cdot \left(1-e^{-j\left({\omega }_0+\frac{2\pi k}{N}\right)}\right)}$$

$$=\frac{\sin {\omega }_0{e}^{-j\frac{2\pi k}{N}}-\sin \left({\omega }_{0}N\right)+\sin \left({\omega }_{0}N-{\omega }_0\right)e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}{1-2\cos {\omega }_0{e}^{-j\frac{2\pi k}{N}}+e^{-j\frac{4\pi k}{N}}}$$

（2）
$$X\left(k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}{a}^n{e}^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$$$=\frac{1-{\left(a{e}^{-j\frac{2\pi k}{N}}\right)}^N}{1-a\cdot e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}=\frac{1-a^N}{1-a\cdot e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

（3）
$$\sum _{n=0}^{N-1}n{W}^n=W+2W^2+\cdot \cdot \cdot +\left(N-1\right)W^{N-1}$$$$=W+W^2+\cdot \cdot \cdot +W^{N-1}+$$$$W^2+\cdot \cdot \cdot +W^{N-1}+$$$$W^3+\cdot \cdot \cdot +W^{N-1}+$$$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$$$$W^{N-1}$$

$$=\frac{W-W^N}{1-W}+\frac{W^2-W^N}{1-W}+\cdot \cdot \cdot +\frac{W^{N-1}-W^N}{1-W}$$$$=\frac{\sum _{n=0}^{N-1}{W}^n-N\cdot W^N}{1-W}=\frac{\frac{W-W^N}{1-W}-\left(N-1\right)W^N}{1-W}$$$$=\frac{\frac{W-1}{1-W}-\left(N-1\right)}{1-W}=\frac{-N}{1-W}$$

$$\sum _{n=0}^{N-1}{n}^2{W}^n=W+4W^2+9W^3+\cdot \cdot \cdot +\left(2N-3\right)W^{N-1}$$$$=W+W^2+W^3+\cdot \cdot \cdot +W^{N-1}+$$$$3W^2+3W^3+\cdot \cdot \cdot +3W^{N-1}+$$$$5W^3+\cdot \cdot \cdot +5W^{N-1}+$$$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +$$$$\left(2N-3\right)W^{N-1}$$
$$$$$$=\frac{W-W^N}{1-W}+\frac{3\left(W^2-W^N\right)}{1-W}+\frac{5\left(W^3-W^N\right)}{1-W}+\cdot \cdot \cdot +\frac{\left(2N-3\right)\left(W^{N-1}-W^N\right)}{1-W}$$$$=\frac{1}{1-W}\left[\sum _{k=1}^{N-1}\left(2k-1\right)W^k-\sum _{k=1}^{N-1}\left(2k-1\right)W^N\right]$$$$=\frac{1}{1-W}\left[2\sum _{n=1}^{N-1}n{W}^n-\sum _{n=1}^{N-1}{W}^n-\sum _{n=1}^{N-1}\left(2k-1\right)\right]$$$$=\frac{1}{1-W}\left[2\cdot \frac{-N}{1-W}-\frac{W-W^N}{1-W}-{\left(N-1\right)}^2\right]$$$$=\frac{-2N-\left(W-1\right)-\left(N-1\right)\left(1-W\right)}{{\left(1-W\right)}^2}=\frac{N\left(N-1\right)W-N^2}{{\left(1-W\right)}^2}$$

 

※ 第九题

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证明DFT的对称性：

若：$DFT\left\{x\left[n\right]\right\}=X\left[k\right]$

则：$DFT\left\{X\left[n\right]\right\}=N\cdot {\left[\left[-k\right]\right]}_N\cdot R_N\left[n\right]$

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■ 证明：

根据IDFT公式：$$x\left[n\right]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N}X\left[k\right]\cdot e^{\frac{j2\pi kn}{N}}$$
因此：$$N\cdot x\left[n\right]=\sum _{k=0}^{N}X\left[k\right]\cdot e^{\frac{-j2\pi k}{N}\left(-n\right)}$$
所以：$$DFT\left\{X\left[n\right]\right\}=N\cdot x{\left(\left(-k\right)\right)}_N\cdot R\left[n\right]$$