数据结构——优先级队列（主要是堆）

chapter12 优先级队列， priority queue
  在优先级队列中，元素出队列的顺序由元素的优先级决定。
  堆是实现优先级队列效率很高的数据结构——堆，是一棵完全二叉树，用数组表示：1,1左2，1右3,2左4,2右5,3左6,3右7.
12.1 定义和应用
  优先级队列是0个或多个元素的集合，每个元素都有一个优先权或值。top查找，push插入，pop删除。在最小优先级队列（min priority queue）中,查找和删除的元素都是优先级最小的元素;max priority queue中相反。优先级队列的元素可以有相同的优先级，对这样的元素，查找和删除可以按任意数序处理。
12.2 抽象数据类型（Abstract Data Type, ADT）

  template
  class maxPriorityQueue
  {
   public:
    virtual ~maxPriorityQueue(){}
    virtual bool empty() const = 0; //return true, when the queue is empty.
    virtual int size() const = 0;   //return the number of elements in the queue.
    virtual const T& top() = 0;     //return the reference of element with the biggest priority.
    virtual void pop() = 0;         //delete the head element of the queue.
    virtual void push(const T& theElement) = 0;//insert element named theElement.
  }

  C语言的ADT形式：

 struct maxPriorityQueue
  {
   ...
   ...
  };

12.4 堆
12.4.1 定义
  一棵大根树（小跟树）是这样的一棵树，其中每个节点的值都大于（小于）或等于其子节点（如果有子节点的话）的值。不是非得是二叉树。

  当大根树（小根树）以完全二叉树的形式组织起来时就是大根堆（小根堆）。即，一个大根堆（小根堆）既是大根树（小根树）也是完全二叉树。

  堆是完全二叉树，用一位数组可以有效描述。

12.4.2 大根堆的插入

  procedure:将新元素插入新节点（数组最后面，位置为 k），然后沿着新节点到根节点的路径（每次 k/2/2/.../2，向下取整）执行一趟气泡操作，将新元素与其父节点的元素比较交换，直到父节点大于或等于前者为止。

  上述插入策略是从一个叶子到根的一趟气泡过程，每一层的比较操作需要耗时Θ(1), 因此，实现这种插入策略的时间复杂性为O(h) = O(logn)。

12.4.3 大根堆的删除

  在大根堆中删除一个元素，就是删除根节点的元素。

  procedure：删除堆顶元素（数组第一个元素）;

                      将最后一个节点 m 拿到堆顶。

                      每层将m与这个元素左右孩子比较大小看子树是否是大根堆，每层如此，直到把m放进堆里。

  删除策略形成一条从根节点到一个叶节点的路径。每一层操作（比较与替换）需耗时Θ(1),所以删除的时间复杂度为O(logn)。

12.4.5 大根堆的初始化

  1.从0开始构建大根堆：

   要建立n个元素的大根堆，我们需要在空堆中执行n次插入操作，每次插入O(logn),所以n次的总时间是O(nlogn)。我们也可以用不同策略在Θ(n)时间内完成堆的初始化。

  2.将数组存储的二叉树转化构建成大根堆：

   从最后一个有孩子的节点开始倒着确保大根堆，每当以某一个节点为根的子树不是大根堆时，就将调整为大根堆：将这个节点逐层与孩子中的最大值比较，逐层交换，直到形成大根堆。时间复杂度：O(2^h * h^2)???      

12.6 应用

12.6.1 堆排序（heap sort)
  堆可以用来实现n个元素的排序，所需时间为O(nlogn).先用n个待排序的元素来初始化一个大根堆（ initialize O(n) ）,然后从堆中逐个提取（即删除）元素。结果这些元素就是按非递增顺序排列。初始化的时间O(n), 每次删除的时间为O(logn), 因此总时间为O(n+nlogn) = O(nlogn)。

template 

void HeapSort(T a[], int n)

{//Sort a using the heap sort method

 //create a max heap of the elements

 MaxHeap H(1);

 H.Initialize(a,n,n);

 //extract one vy one from the max heap

 T x;

 for(int i = n-1; i >= 1; i--){

  H.DeleteMax(x);

  a[i+1] = x;

 }

 //save array a from heap destructor

 H.Deactivate();

}