一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答

原题

已知，如图， AB 是 ⊙O 的直径， CE 、 CF 是 ⊙O 的两条切线， D 是 AE 和 BF 的交点。

求证： AB⊥CD

画出来动态调整图观察，结论没有问题。只是纯几何的证明太难。

证明

解析的方法是现成的，像是中学可以理解的。 只是过程很繁琐，所以，证明一下。

不失一般性（这个说法很酷），假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立平面直角坐标系，让直径 AB 在纵坐标轴上，从而，两个点的坐标： A(0,−1),B(0,1) 。

假设单位圆 ⊙O 上两个切点的坐标 E(cosθ1,sinθ1),F(cosθ2,sinθ2) ， 则容易知道直线：

CE 的斜率 −cotθ1 , CF 的斜率 −cotθ2 。 两直线方程可以由点斜式改写为更一般的形式，联立如下：

{y−sinθ1=−(x−cosθ1)cotθ1y−sinθ2=−(x−cosθ2)cotθ2(1)

联立可以求出 C 的纵坐标：

yC=sin(12(θ1+θ2))sec(12(θ1−θ2))

进一步，通过两点式表示方法并转化，可以得到另外两条直线， AE 和 BF 的方程的一般形式，注意到 A 、 B 的坐标都很简单，方程也不复杂：

{y+1=xsecθ1(sinθ1+1)y−1=xsecθ2(sinθ2−1)(2)

类似解出 D 点纵坐标，发现刚好等于 C 的纵坐标。

所以， CD 跟所建立坐标系中的纵坐标轴垂直， 也就是跟 AB 垂直。解析方法，把几何里面的直线间垂直，转化成两个二元一次线性方程组之间有一个特定解(的解析形式)恒等。

求解和化简繁琐，关键是证明两者相等即可，线性方程组的解因此无须是最简形式。上面只能用于对答案了。

纯几何的证明如果能够利用射影几何的一些定理可行性会大大增加。有些超纲，但是在数学竞赛和自主招生考试中未尝不可。