决策树和CART算法的精炼详解(尽量写到位,不留"论文债")
1 决策树算法
1.1 决策树简介
1.1.1 什么是决策树
-
决策树主要有二元分支和多元分支.
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决策树是判定树
- 内部结点是决策节点: 对某个属性的一次测试
- 分支: 每条边代表一个测试结果.
- 叶子: 代表某个类或者类的分布
-
使用决策树进行判别:
- 决策条件-决策路径-叶子(结果)代表分类
-
决策树的数学模式解题思路:
- 贪心的算法 greedy solution
- 不是最好的树,全局最优解
- 当前的树里面找最好的树,局部最优解.
1.1.2 决策树的决策依据
- 决策树的目标:
- 最快速完成类别的判定
- 直观思路
- 应该凸显这种路径: 最有利做出判别
- 最大减少在类别判定上的不确定性
- 纯度上升的更快,更快速到达纯度更高的集合
- 怎么选择优先进行决策的判定属性
- 好的特征是什么原理?
- 获得更多信息来减少不确定性
- 知道的信息越多,信息的不确定性越小
1.2 信息熵和条件熵
1.2.1 信息熵
1.2.1.1 不确定性
- 信息量的度量就等于不确定性的多少
- 信息熵高:我们一无所知的事，就需要了解大量的信息
- 信息熵低:我们对某件事已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息
1.2.1.2 信息熵的公式
- 对数的运算法则
l o g a ( m n ) = l o g a m + l o g a n log_a(mn)=log_am+log_an loga(mn)=logam+logan - 概率的公式
p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ) p(x,y)=p(x)p(y) p(x,y)=p(x)p(y) - 两个事件同时发生的信息等于各自信息的和
I ( x , y ) = I ( x ) + I ( y ) I(x,y)=I(x)+I(y) I(x,y)=I(x)+I(y)
随机变量 x 的自信息
I ( x ) = − l o g p ( x ) I(x)=-logp(x) I(x)=−logp(x)
- 负号是用来保证信息量是正数或者零
- 描述的是随机变量的某个事件发生所带来的信息量
信息熵: 传送一个随机变量传输的平均信息量是 I ( x ) = − l o g p ( x ) I(x)=-logp(x) I(x)=−logp(x)的期望
H ( X ) = − ∑ i = 1 n p ( x i ) l o g ( p ( x i ) ) H\left(X\right)= -\sum_{i=1}^{n}p\left(x_{i}\right)log\left(p\left(x_{i}\right)\right) H(X)=−i=1∑np(xi)log(p(xi))
1.2.1.3 信息熵的解读
- 随机变量 x 的熵,它是表示随机变量不确定的度量，是对所有可能发生的事件产生的信息量的期望
- 随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越大，混乱程度就越大
1.2.2 联合熵
H ( X , Y ) = − ∑ x , y p ( x , y ) l o g p ( x , y ) = − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m p ( x i , y i ) l o g p ( x i , y i ) H(X,Y)=-\displaystyle\sum_{x,y}p(x,y)logp(x,y)=-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}p(x_i,y_i)logp(x_i,y_i) H(X,Y)=−x,y∑p(x,y)logp(x,y)=−i=1∑nj=1∑mp(xi,yi)logp(xi,yi)
1.2.3 条件熵
- 条件熵 H(Y|X) 表示在已知随机变量 X 的条件下, 随机变量 Y 的不确定性
- 条件熵 H(Y|X) 定义为 X 给定条件下, Y 的条件概率分布的熵对 X 的数学期望
- 相当在不同X的信息熵,加上X的值的概率的加权
1.2.3.1 条件熵公式
假设X有n个取值
H ( Y ∣ X ) = ∑ i = 1 n p ( x i ) H ( Y ∣ X = x i ) H(Y|X)=\sum_{i=1}^{n} p(x_i)H(Y|X=x_i) H(Y∣X)=i=1∑np(xi)H(Y∣X=xi)
见识Y有m个取值
H ( Y ∣ X = x i ) = − ∑ j = 1 m p ( y j ∣ X = x i ) log p ( y j ∣ X = x i ) H(Y|X=x_i) = - \sum_{j=1}^{m} p(y_j|X=x_i)\log p(y_j|X=x_i) H(Y∣X=xi)=−j=1∑mp(yj∣X=xi)logp(yj∣X=xi)
所以
H ( Y ∣ X ) = ∑ i = 1 n p ( x i ) H ( Y ∣ X = x i ) = ∑ i = 1 n p ( x i ) ( − ∑ j = 1 m p ( y j ∣ X = x i ) log p ( y j ∣ X = x i ) ) = − ∑ i = 1 n p ( x i ) ∑ j = 1 m p ( y j ∣ x i ) log p ( y j ∣ x i ) H(Y|X)=\sum_{i=1}^{n} p(x_i)H(Y|X=x_i) \\ =\sum_{i=1}^{n} p(x_i)\left(- \sum_{j=1}^{m} p(y_j|X=x_i) \log p(y_j|X=x_i)\right)\\ =-\sum_{i=1}^{n}p(x_i) \sum_{j=1}^{m} p(y_j|x_i) \log p(y_j|x_i) H(Y∣X)=i=1∑np(xi)H(Y∣X=xi)=i=1∑np(xi)(−j=1∑mp(yj∣X=xi)logp(yj∣X=xi))=−i=1∑np(xi)j=1∑mp(yj∣xi)logp(yj∣xi)
1.2.3.2 H(Y|X)条件熵的理解
- 在已知一些信息的情况下，因变量 Y 的不纯度，
- 即在X 的划分下，Y 被分割越来越“纯”的程度，
- 即信息的加入可以降低熵
- 条件熵表示在已知随机变量 X 的条件下，Y 的条件概率分布的熵对随机变量 X的数学期望
1.2.4 联合熵和条件熵的关系
H ( Y ∣ X ) = H ( X , Y ) − H ( X ) H\left( {Y\left| X \right.} \right) = H\left( {X,Y} \right) - H\left( X \right) H(Y∣X)=H(X,Y)−H(X)
引用别人的证明公式为:
H ( Y ∣ X ) = H ( X , Y ) − H ( X ) = − ∑ x , y P ( x , y ) log P ( x , y ) + ∑ x P ( x ) log P ( x ) = − ∑ x , y P ( x , y ) log P ( x , y ) + ∑ x ( ∑ y P ( x , y ) ) log P ( x ) = − ∑ x , y P ( x , y ) log P ( x , y ) + ∑ x ∑ y P ( x , y ) log P ( x ) = − ∑ x , y P ( x , y ) log P ( x , y ) P ( x ) = − ∑ x , y P ( x , y ) log P ( y ∣ x ) = − ∑ x ∑ y P ( x ) P ( y ∣ x ) log P ( y ∣ x ) = − ∑ x P ( x ) ∑ y P ( y ∣ x ) log P ( y ∣ x ) = ∑ x P ( x ) ( − ∑ y P ( y ∣ x ) log P ( y ∣ x ) ) = ∑ x P ( x ) H ( Y ∣ X = x ) \begin{array}{l} H\left( {Y\left| X \right.} \right) = H\left( {X,Y} \right) - H\left( X \right)\\ = - \sum\limits_{x,y} {P\left( {x,y} \right)} \log P\left( {x,y} \right) + \sum\limits_x {P\left( x \right)} \log P\left( x \right)\\ = - \sum\limits_{x,y} {P\left( {x,y} \right)} \log P\left( {x,y} \right) + \sum\limits_x {\left( {\sum\limits_y {P\left( {x,y} \right)} } \right)} \log P\left( x \right)\\ = - \sum\limits_{x,y} {P\left( {x,y} \right)} \log P\left( {x,y} \right) + \sum\limits_x {\sum\limits_y {P\left( {x,y} \right)} } \log P\left( x \right)\\ = - \sum\limits_{x,y} {P\left( {x,y} \right)} \log \frac{{P\left( {x,y} \right)}}{{P\left( x \right)}}\\ = - \sum\limits_{x,y} {P\left( {x,y} \right)} \log P\left( {y\left| x \right.} \right)\\ = - \sum\limits_x {\sum\limits_y {P\left( x \right)} } P\left( {y\left| x \right.} \right)\log P\left( {y\left| x \right.} \right)\\ = - \sum\limits_x {P\left( x \right)\sum\limits_y {P\left( {y\left| x \right.} \right)} } \log P\left( {y\left| x \right.} \right)\\ = \sum\limits_x {P\left( x \right)\left( { - \sum\limits_y {P\left( {y\left| x \right.} \right)} \log P\left( {y\left| x \right.} \right)} \right)} \\ = \sum\limits_x {P\left( x \right)H\left( {Y\left| {X = x} \right.} \right)} \end{array} H(Y∣X)=H(X,Y)−H(X)=−x,y∑P(x,y)logP(x,y)+x∑P(x)logP(x)=−x,y∑P(x,y)logP(x,y)+x∑(y∑P(x,y))logP(x)=−x,y∑P(x,y)logP(x,y)+x∑y∑P(x,y)logP(x)=−x,y∑P(x,y)logP(x)P(x,y)=−x,y∑P(x,y)logP(y∣x)=−x∑y∑P(x)P(y∣x)logP(y∣x)=−x∑P(x)y∑P(y∣x)logP(y∣x)=x∑P(x)(−y∑P(y∣x)logP(y∣x))=x∑P(x)H(Y∣X=x)
1.3 ID3算法
1.3.1 信息增益
信息增益表示
- 得知特征X的信息, 使得类Y的信息不确定性(信息熵)减少的程度
- 划分前样本集合D的熵是一定的 ，entroy(前)，
- 使用某个特征A划分数据集D，计算划分后的数据子集的熵 entroy(后)
- 信息增益 = entroy(前) - entroy(后)
信息增益的符合表示
- 特征A对训练数据集D的信息增益 g ( D , A ) g(D,A) g(D,A),定义为集合D的经验熵 H ( D ) H(D) H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵 H ( D ∣ A ) H(D|A) H(D∣A)之差：
g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) g(D,A)=H(D)−H(D|A)g(D,A)=H(D)−H(D|A) g(D,A)=H(D)−H(D∣A)g(D,A)=H(D)−H(D∣A) - 考虑条件熵和联合熵的关系
g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) = H ( D ) − ( H ( D , A ) − H ( A ) ) = H ( D ) + H ( A ) − H ( D , A ) g(D, A) = H(D) - H(D|A) = H(D) - (H(D,A) - H(A)) = H(D) + H(A) - H(D,A) g(D,A)=H(D)−H(D∣A)=H(D)−(H(D,A)−H(A))=H(D)+H(A)−H(D,A) - 这个公式让我们想到集合的交集公式
信息增益的含义
- 最大减少在类别判定上的不确定性,更快的判定类别
- 纯度上升的更快,更快速到达纯度更高的集合
1.3.2 ID3的算法流程
- （1）自上而下贪婪搜索
- （2）遍历所有的属性，按照信息增益最大的属性进行分裂
- （3）根据分裂属性划分样本
- （4）重复上述流程，直至满足条件结束
1.3.3 ID3算法的缺陷
缺陷1
- 缺点：信息增益偏向取值较多的特征
- 原因：当特征的取值较多时，根据此特征划分更容易得到纯度更高的子集，因此划分之后的熵更低，由于划分前的熵是一定的，因此信息增益更大，因此信息增益比较 偏向取值较多的特征
极端情况
- 二维表的主键id
其他缺陷
- 不能处理连续值属性
- 不能处理属性值缺失情况
- 不能进行剪枝
1.4 C4.5算法
1.4.1 信息增益率
- 可以理解为: 信息增益率 = 分裂信息将信息增益的标准化
- 或者理解为: 信息增益率 = 惩罚参数 * 信息增益
分裂信息:
- 之前是把集合类别作为随机变量，现在把某个特征作为随机变量，按照此特征的特征取值对集合D进行划分v类，计算熵 H A ( D ) H_A(D) HA(D)
S p l i t H A ( D ) = − ∑ j = 1 v ∣ D j ∣ D l o g ∣ D j ∣ D SplitH_{A}\left(D\right)= -\sum_{j=1}^{v}\frac{|D_{j}|}{D}log\frac{|D_{j}|}{D} SplitHA(D)=−j=1∑vD∣Dj∣logD∣Dj∣
信息增益率
G a i n R a d i o n ( A ) = g ( A , D ) S p l i t H A ( D ) GainRadion\left(A\right)= \frac{g\left(A,D\right)}{SplitH_{A}\left(D\right)} GainRadion(A)=SplitHA(D)g(A,D)
1.4.2 连续值属性和分裂点
步骤:
- (1)连续值属性从小到大排序,每对相邻点的中点作为分裂点
- (2)数据集D中有N个不同的连续值属性值, 产生N-1个分裂点
- (3)按照每个分裂点,计算每个二分树的信息增益
- (4)取得信息增益最大的分裂点
1.4.3 缺失值处理
1.4.3.1 学习过程中-缺失值处理
信息增益
- 计算信息熵,忽略缺失值
- 计算信息增益, 乘以未缺失实例的比例
分裂信息熵
- 缺失值当做正常值处理
分裂时候
- 缺失值实例分配给所有判断节点下面的分支上
- 但是每个分支的缺失值实例带一个权重: 该分支的概率(频率估算)
- 其他正常实例权重为1
叶节点定义
- (N/E)形式
- N该叶节点的实例数
- E叶节点中属于其他分类的实例数
1.4.3.2 分类过程-缺失值处理
- 缺失值该属性的遍历所有的分支
- 该属性的所有分支的概率: 分支的叶子节点的N必上所有N的比值
- 因为叶节点是NE的形势.
- 正例概率: N/E
- 反例概率: E/N
- 根据分支的概率,叶节点的正例概率反例概率的加权和
1.4.4 剪枝
1.4.4.1 过拟合
训练样本中的噪声导致过拟合
- 错误的属性值和标签值
训练样本中缺乏代表性样本所导致的
- 训练样本过少的时候,模型很容易受到过拟合的影响
1.4.4.2 预剪枝
限定树的的最大生长高度
1.4.4.3 后剪枝
后剪枝的目标
在测试集上定义损失函数,通过剪枝使损失函数在测试集上有所降低
步骤
- (1)自底向上遍历每一个非叶子节点, 将当前的非叶子节点剪枝(从树中减去,其下所有的叶节点合并一个节点,代替被剪枝的节点)
- (2)计算剪枝前后的损失函数
- (3)如果损失函数变小, 则剪枝. 否则则还原.
- (4)重复上述过程,遍历所有的节点
子树的损失函数
J ( τ ) = E ( τ ) + λ ∣ τ ∣ J(\tau) = E(\tau) + \lambda |\tau| J(τ)=E(τ)+λ∣τ∣
- 带惩罚项
后剪枝的损失函数阈值
g ( c ) = E ( c ) − E ( τ c ) ∣ τ c ∣ − 1 λ k = min ( λ , g ( c ) ) g(c) = \frac{E(c) - E(\tau_c)}{|\tau_c| - 1} \lambda_k = \min(\lambda, g(c)) g(c)=∣τc∣−1E(c)−E(τc)λk=min(λ,g(c))
注意
- 子树的损失函数不做过多介绍,
- 感兴趣可以参考博客:CART-分类和回归树
- https://blog.csdn.net/guoziqing506/article/details/81675022
2 CART算法
2.1 基尼不纯度gini impurity
- 或者称为基尼指数gini index
- 区别于基尼系数gini coefficient, 两者概念不同
假设有K个类，样本点属于第k类的概率为 p k p_{k} pk，则概率分布的基尼指数定义为：
G ( p ) = ∑ k = 1 K p k ( 1 − p k ) = 1 − ∑ k = 1 K p k 2 G(p)=\sum_{k=1}^{K}p_k(1-p_k)=1-\sum_{k=1}^Kp_k^2 G(p)=k=1∑Kpk(1−pk)=1−k=1∑Kpk2
满足的条件:
∑ k = 1 K p k = 1 \sum_{k=1}^{K}p_k=1 k=1∑Kpk=1
2.1.1 基尼指数公式的推导
− l o g p ( x ) -logp(x) −logp(x)进行泰勒展开, p ( x ) p(x) p(x)的高阶趋于0,忽略高阶项.就得到基尼指数(不纯度)的公式
- 基尼不纯度的计算可以看出，它的计算更加方便，
- 基尼不纯度是熵的一个近似值
2.1.2 二分类的基尼指数
对于二分类问题，如果样本点属于第一类的概率为p,则概率分布的基尼系数为
G i n i ( p ) = 2 p ( 1 − p ) Gini(p)=2p(1-p) Gini(p)=2p(1−p)
设 C k C_k Ck为D中属于第k类的样本子集，则基尼指数为
G i n i ( D ) = 1 − ∑ k = 1 K ( ∣ C k ∣ ∣ D ∣ ) 2 Gini(D)=1-\sum_{k=1}^K(\frac{|C_k|}{|D|})^2 Gini(D)=1−k=1∑K(∣D∣∣Ck∣)2
设条件A将样本D切分为D1和D2两个数据子集，则在条件A下的样本D的基尼指数为：
G i n i ( D , A ) = ∣ D 1 ∣ D G i n i ( D 1 ) + ∣ D 2 ∣ D G i n i ( D 2 ) Gini(D,A)=\frac{|D_1|}{D}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{D}Gini(D_2) Gini(D,A)=D∣D1∣Gini(D1)+D∣D2∣Gini(D2)
2.2 CART分类树
条件A, 将样本D, 切分为D1和D2两个数据子集的gini增益为
Δ G i n i ( A ) = G i n i ( D ) − G i n i ( D , A ) = ( 1 − ∑ k = 1 K ( ∣ C k ∣ ∣ D ∣ ) 2 ) − ( ∣ D 1 ∣ D G i n i ( D 1 ) + ∣ D 2 ∣ D G i n i ( D 2 ) ) \Delta Gini(A)=Gini(D)-Gini(D,A)=(1-\sum_{k=1}^K(\frac{|C_k|}{|D|})^2)-(\frac{|D_1|}{D}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{D}Gini(D_2)) ΔGini(A)=Gini(D)−Gini(D,A)=(1−k=1∑K(∣D∣∣Ck∣)2)−(D∣D1∣Gini(D1)+D∣D2∣Gini(D2))
2.2.1 算法实现步骤
- 1）计算现有样本D的基尼指数，之后利用样本中每一个特征A，及A的每一个可能取值a，根据A>=a与A
- 2）找出对应基尼指数最小Gini(D,A)的最优切分特征及取值，并判断是否切分停止条件，否，则输出最优切分点
- 3）递归调用1）2）
- 4）生成CART决策树
2.3 CART回归树
2.3.1 CART回归树的概念和公式
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(1)训练集: D = { ( X 1 , y 1 ) , ( X 2 , y 2 ) , … , ( X n , y n ) } D = \{(X_1, y_1), (X_2, y_2), \dots, (X_n, y_n)\} D={(X1,y1),(X2,y2),…,(Xn,yn)}, Y Y Y是连续变量
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(2)输入数据空间 X X X划分为m个区域: { R 1 , R 2 , … , R m } \{R_1, R_2, \dots, R_m\} {R1,R2,…,Rm}
-
(3)然后赋给每个输入空间的区域 R i R_i Ri有一个固定的代表输出值 C i C_i Ci
-
(4)回归树的模型公式:
f ( X ) = ∑ i = 1 m C i I ( X ∈ R i ) f(X) = \sum_{i = 1}^m C_i I(X \in R_i) f(X)=i=1∑mCiI(X∈Ri)- 如果 X ∈ R i X \in R_i X∈Ri,则 I = 1 I=1 I=1,否则 I = 0 I=0 I=0
- **含义:**先判断X属于哪个区域，然后返回这个区域的代表值。
-
(5)计算损失函数:
- R i R_i Ri这个区域中的元组的y值的均值
g i = 1 N i ∑ X j ∈ R i y j g_i = \frac{1}{N_i} \sum_{X_j \in R_i} y_j gi=Ni1Xj∈Ri∑yj - 某个区域 R i R_i Ri回归模型的损失函数
J ( C ) = ∑ X j ∈ R i ( f ( X j ) − g i ) 2 J(C) = \sum_{X_j \in R_i} (f(X_j) - g_i)^2 J(C)=Xj∈Ri∑(f(Xj)−gi)2
- R i R_i Ri这个区域中的元组的y值的均值
2.3.2 最小二乘回归树生成算法
注: 参考李航的<机器学习>编写, 更详细内容,请自行搜索资料查看
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(1)选择最优切分变量 j 与切分点 s，求解
min j , s [ min c 1 ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) ( y i − c 1 ) 2 + min c 2 ∑ x i ∈ R 2 ( j , s ) ( y i − c 2 ) 2 ] \min_{j,s}\left [\min_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1)^2+\min_{c_2}\sum_{x_i \in R_2(j,s)} (y_i-c_2)^2 \right] j,smin⎣⎡c1minxi∈R1(j,s)∑(yi−c1)2+c2minxi∈R2(j,s)∑(yi−c2)2⎦⎤ -
(2)用选定的对 (j,s) 划分区域并决定相应的输出值
R 1 ( j , s ) = { x ∣ x ( j ) ≤ s } , R 2 ( j , s ) = { x ∣ x ( j ) > s } R_1(j,s)=\{x|x^{(j)} \le s\},\quad R_2(j,s)=\{x|x^{(j)}\gt s\} R1(j,s)={x∣x(j)≤s},R2(j,s)={x∣x(j)>s} -
(3)继续对两个子区域调用步骤(1),(2)，直至满足停止条件
-
(4)将输入空间分为 M 个区域 R 1 , R 2 , ⋯ , R M R_1,R_2,\cdots,R_M R1,R2,⋯,RM,生成决策树
f ( x ) = ∑ m = 1 M c ^ m I ( x ∈ R m ) f(x)=\sum_{m=1}^M \hat c_m I(x\in R_m) f(x)=m=1∑Mc^mI(x∈Rm)