经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列

 

一： 作用

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二：概念

     举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有2⁷个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出

子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs和belong的公共子序列吗？

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 

三：解决方案

<1> 枚举法

       这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有2⁷个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2^N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次

需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2^N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

设一个C[i,j]: 保存X_i与Y_j的LCS的长度。

递推方程为：

不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的

公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(X_i,Y_i)的最大子序列长度。

 1 using System;
 2 namespace ConsoleApplication2
 3 {
 4     public class Program
 5     {
 6         static int[,] martix;
 7 
 8         static string str1 = "cnblogs";
 9         static string str2 = "belong";
10 
11         static void Main(string[] args)
12         {
13             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
14 
15             LCS(str1, str2);
16 
17             //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
18             Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);
19 
20             Console.Read();
21         }
22 
23         static void LCS(string str1, string str2)
24         {
25             //初始化边界，过滤掉0的情况
26             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
27                 martix[i, 0] = 0;
28 
29             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
30                 martix[0, j] = 0;
31 
32             //填充矩阵
33             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
34             {
35                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
36                 {
37                     //相等的情况
38                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
39                     {
40                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
41                     }
42                     else
43                     {
44                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
45                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
46                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
47                         else
48                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
49                     }
50                 }
51             }
52         }
53     }
54 }

图大家可以自己画一画，代码完全是根据上面的公式照搬过来的，长度的问题我们已经解决了，这次要解决输出最长子序列的问题，

我们采用一个标记函数Flag[i,j]，当

①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  时 标记Flag[i,j]="left_up";    （左上方箭头）

②：C[i-1,j]>=C[i,j-1]   时 标记Flag[i,j]="left";          （左箭头）

③: C[i-1,j]

 

例如：我输入两个序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。

 1 using System;
 2 
 3 namespace ConsoleApplication2
 4 {
 5     public class Program
 6     {
 7         static int[,] martix;
 8 
 9         static string[,] flag;
10 
11         static string str1 = "acgbfhk";
12 
13         static string str2 = "cegefkh";
14 
15         static void Main(string[] args)
16         {
17             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
18 
19             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
20 
21             LCS(str1, str2);
22 
23             //打印子序列
24             SubSequence(str1.Length, str2.Length);
25 
26             Console.Read();
27         }
28 
29         static void LCS(string str1, string str2)
30         {
31             //初始化边界，过滤掉0的情况
32             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
33                 martix[i, 0] = 0;
34 
35             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
36                 martix[0, j] = 0;
37 
38             //填充矩阵
39             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
40             {
41                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
42                 {
43                     //相等的情况
44                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
45                     {
46                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
47                         flag[i, j] = "left_up";
48                     }
49                     else
50                     {
51                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
52                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
53                         {
54                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];
55                             flag[i, j] = "left";
56                         }
57                         else
58                         {
59                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];
60                             flag[i, j] = "up";
61                         }
62                     }
63                 }
64             }
65         }
66 
67         static void SubSequence(int i, int j)
68         {
69             if (i == 0 || j == 0)
70                 return;
71 
72             if (flag[i, j] == "left_up")
73             {
74                 Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);
75 
76                 //左前方
77                 SubSequence(i - 1, j - 1);
78             }
79             else
80             {
81                 if (flag[i, j] == "up")
82                 {
83                     SubSequence(i, j - 1);
84                 }
85                 else
86                 {
87                     SubSequence(i - 1, j);
88                 }
89             }
90         }
91     }
92 }

由于直接绘图很麻烦，嘿嘿，我就用手机拍了张：

好，我们再输入两个字符串：

1         static string str1 = "abcbdab";
2 
3         static string str2 = "bdcaba";

通过上面的两张图，我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的时间，回溯时我们花费了O（M+N)的时间，两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

空间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。