高等数学

 

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高等数学（Ⅲ）

Advanced Mathematics（Ⅲ）

课程代码：L204018

学时数：90 学分数：5

执笔人：丰 雪 讨论参加人：惠淑荣,吴素文,鲁春铭,张 阚,丰 雪等

审核人：惠淑荣

一、教学目的

高等数学（Ⅲ）是农林类专业学生必修的基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理

论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密，逻辑推理更加严格。通过高等数学的学

习培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。最后使

学生具有抽象概括问题和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。

二、教学内容、教学目标及学时分配

第一章 函数、极限（12 学时）

理解函数的概念；掌握函数的单调性、周期性和奇偶性；了解反函数的概念；熟练掌握基本初等函数

的性质和复合函数的概念；能正确应用极限四则运算法则；掌握两个极限存在准则，会用两个重要极限求

极限；了解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较；掌握函数在一点连续与间断的概念；掌握初等函

数的连续性；了解在闭区间上连续函数的性质。

1. 函数

2. 数列的极限

3. 函数的极限

4. 无穷小与无穷大

5. 极限的运算法则

6. 两个重要极限

7. 无穷小的比较

8. 函数的连续与间断

9. 初等函数的连续性

第二章 导数与微分（12 学时）

理解导数和微分的概念；了解函数的可导性与连续性的关系；熟悉导数和微分的运算法则，以及导数

的基本公式；会求隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数。

1. 导数概念

2. 函数的导数法则

3. 复合函数的求导法则

4. 高阶导数 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

5. 函数的微分

第三章 微分中值定理及导数的应用（12 学时）

掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解泰勒公式；熟练掌握罗必塔法则，会用导数求函数的极值；

会判断函数的单调性、凹凸性；会求曲线的渐近线和拐点；会作函数的图形；会解决应用中的简单的最大

值和最小值问题。

1. 微分中值定理

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2. 罗必塔（L'Hospital）法则

3. 泰勒（Taylor）公式

4. 函数单调性的判定

5. 函数的极值及其求法

6. 函数的最大值与最小值及其应用

7. 曲线的凸凹性及拐点

8. 曲线的渐近线及函数作图

第四章 不定积分（10 学时）

理解不定积分的概念；熟悉不定积分的基本公式；熟练掌握不定积分的两类换元法和分部积分法。

1. 不定积分的概念与性质

2. 换元积分法

3. 分部积分法

4. 几种特殊类型函数的积分举例

第五章 定积分及其应用（10 学时）

理解定积分的概念及其几何含义；熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式及定积分的换元公式；掌握变上限函

数及其性质；会应用定积分的元素法将一些几何量和物理量表达成定积分。

1. 定积分的概念

2. 定积分的性质

3. 微积分学基本定理

4. 定积分的计算

6. 广义积分

7. 定积分在几何学及物理学上的应用

第六章 空间解析几何（6 学时）

熟悉空间直角坐标系；掌握向量的线性运算及向量的数量积、向量积运算；了解平面方程、直线方程

和简单的二次曲面方程。

1. 向量及其线性运算

2. 数量积 向量积

3. 平面及其方程

4. 空间直线及其方程

第七章 多元函数的微分法（12 学时）

掌握多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念；熟练掌握复合函数的微分法；会应用偏导数求

函数的极值；了解条件极值及其求法。

1. 二元函数的概念

2. 偏导数及全微分；二元函数的极限与连续

3. 多元复合函数及其微分法

4. 隐函数及其微分法

5. 多元函数的极值

第八章 二重积分（8 学时）

掌握二重积分的概念及性质；熟练二重积分的计算；会用元素法将一些简单的几何量（如面积、体积）

表达成二重积分。

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1. 二重积分的概念与性质

2. 二重积分的计算法

3. 二重积分应用举例

第九章 微分方程（8 学时）

了解微分方程的基本概念；会求可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、三种类型可降阶的微分

方程；知道二阶线性微分方程解的结构；会求二阶常系数齐次或简单的非齐次微分方程的通解。

1. 微分方程的基本概念

2. 一阶微分方程

3. 可降阶的二阶微分方程

4. 二阶常系数线性微分方程

三、课程教学的基本要求

本课程的教学环节主要包括:课堂讲授、习题课及课外作业。重点培养学生的自学能力、分析问题和解

决问题的能力。

（一）课堂讲授

主要教学方法：

采用启发式教学，鼓励和培养学生自学能力，让学生明确高等数学知识在各自专业中的重要作用，可

以举一反三。

原则性建议：在条件允许情况下，介绍 Mathematica 软件的使用。

（二）其它教学环节

1. 习题课：计划每章各有一次,但主要根据学生的掌握情况而定。

2. 作业：主要以计算题和证明题为主。

3. 考试：期末考试采取闭卷考试形式。试题类型为：填空题、选择题、计算题、证明题、应用题等。

试卷成绩占 70%，平时成绩占 30%.

四、参考教材

[1]《高等数学》，惠淑荣、李喜霞主编，中国农业出版社，2006 年 8 月第二版

[2]《高等数学》第四版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2002.7（重印）

[3]《高等数学》第五版，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2002.7

五、本课程的先修课程

先修课程为初等数学，本课程为农林类专业后续课程奠定基础。

六、教学大纲修订说明

本大纲更注重数学知识面的加宽，对类似于极限的定义、广义积分的收敛性、函数的可积性等的较为

抽象的内容降低了要求，使其更具实用性。主要目标是让学生会用数学解决实际问题。

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高等数学公式 高等数学公式导数公式: 导数公式: (tgx )′ = sec 2 x (ctgx )′ = csc 2 x (sec x )′ = sec x tgx (csc x )′ = csc x ctgx ( a x )′ = a x ln a 1 (log a x)′ = x ln a 基本积分表: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 三角函数的有理式积分: (arcsin x )′ = 1 1 x2 1 (arccos x )′ = 1 x2 1 (arctgx )′ = 1+ x2 1 (arcctgx )′ = 1+ x2 ∫ tgxdx = ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x ctgx + C dx 1 x = arctg +C 2 +x a a dx 1 xa ∫ x 2 a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 x 2 = 2a ln a x + C dx x ∫ a 2 x 2 = arcsin a + C ∫ cos dx 2 x dx 2 ∫ sin 2 x = ∫ csc xdx = ctgx + C = ∫ sec 2 xdx = tgx + C ∫a ∫ sec x tgxdx = sec x + C ∫ csc x ctgxdx = csc x + C x ∫ a dx = 2 ax +C ln a ∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫ dx x ±a 2 2 = ln( x + x 2 ± a 2 ) + C π 2 π 2 I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx = 0 0 2 n 1 I n2 n ∫ ∫ ∫ sinx = x a2 2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x a2 x 2 a 2 dx = x 2 a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + arcsin + C 2 2 a 2 2u 1 u 2 x 2du , x = cos , = tg , = u dx 1+ u 2 1+ u 2 2 1+ u 2 1 / 12 高等数学公式 一些初等函数: 一些初等函数: 两个重要极限: 两个重要极限: ex ex 双曲正弦 : shx = 2 x e + e x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x e x 双曲正切 : thx = = chx e x + e x arshx = ln( x + x 2 + 1) archx = ± ln( x + x 2 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1 x 三角函数公式: 三角函数公式: 诱导公式: 诱导公式: 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α 和差角公式: 和差角公式: lim sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα 和差化积公式: 和差化积公式: sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 tgα tgβ ctgα ctgβ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα sin α + sin β = 2 sin α +β 2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2 cos α β 2 / 12 高等数学公式 倍角公式: 倍角公式: sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α = cos 2 α sin 2 α ctg 2α 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 tg 2α 半角公式: 半角公式: sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α 3 cosα tg 3α = 3tgα tg 3α 1 3tg 2α sin tg α 2 =± =± α 1 cosα 1 + cosα cos = ± 2 2 2 α 1 cosα 1 cosα sin α 1 + cosα 1 + cosα sin α ctg = ± = = = = 1 + cosα sin α 1 + cos α 2 1 cosα sin α 1 cosα a b c = = = 2R sin A sin B sin C 余弦定理: c = a + b 2ab cos C 余弦定理: 2 2 2 α 2 正弦定理: 正弦定理: 反三角函数性质: arcsin x = 反三角函数性质: π 2 arccos x arctgx = π 2 arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: ——莱布尼兹 k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( nk ) v ( k ) k =0 n = u ( n ) v + nu ( n1) v′ + n(n 1) ( n2) n(n 1)(n k + 1) ( nk ) ( k ) u v + + uv ( n ) u v′′ + + 2! k! 中值定理与导数应用: 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a) f (b) f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理: = F (b) F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理. 曲率: 曲率: 弧微分公式: ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中 y ′ = tg α K 平均曲率: = α .α : 从 M 点到 M ′点,切线斜率的倾角变 化量; s: MM ′弧长. s y ′′ α dα M 点的曲率: K = lim = = . s → 0 s ds (1 + y ′ 2 ) 3 1 . a 3 / 12 直线: K = 0; 半径为 a的圆: K = 高等数学公式 定积分的近似计算: 定积分的近似计算: 矩形法: f ( x) ≈ ∫ a b ba ( y0 + y1 + + y n1 ) n ba 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + + y n1 ] n 2 ba [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + + y n2 ) + 4( y1 + y3 + + y n1 )] 3n 梯形法: f ( x) ≈ ∫ a b b 抛物线法: f ( x) ≈ ∫ a 定积分应用相关公式: 定积分应用相关公式: 功:W = F s 水压力:F = p A m1m2 , k为引力系数 r2 b 1 函数的平均值: = y f ( x)dx ba ∫ a 引力:F = k 1 2 均方根: ∫ f (t )dt ba a 空间解析几何和向量代数: 空间解析几何和向量代数: b 空间2点的距离:d = M 1 M 2 = ( x2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 向量在轴上的投影: ju AB = AB cos ,是 AB与u轴的夹角. Pr Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 a b = a b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角: θ = cos i c = a × b = ax bx j ay by k a z , c = a b sin θ .例:线速度:v = w × r . bz ax 向量的混合积: b c ] = (a × b ) c = bx [a cx 代表平行六面体的体积. ay by cy az bz = a × b c cos α ,α为锐角时, cz a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz 2 2 2 2 2 2 4 / 12 高等数学公式 平面的方程: 1,点法式:A( x x0 ) + B( y y 0 ) + C ( z z 0 ) = 0,其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2,一般方程:Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3,截距世方程: + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离:d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 空间直线的方程: = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程:y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面: x2 y2 z 2 1,椭球面: 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2,抛物面: + = z(p, q同号) , 2 p 2q 3,双曲面: x2 y2 z2 单叶双曲面: 2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面: 2 2 + 2 =(马鞍面) 1 a b c 多元函数微分法及应用 全微分:dz = z z u u u dx + dy du = dx + dy + dz z x y x y 全微分的近似计算:z ≈ dz = f x ( x, y )x + f y ( x, y )y 多元复合函数的求导法: dz z u z v z = f [u (t ), v(t )] = + dt u t v t z z u z v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = + x u x v x 当u = u ( x, y ),v = v( x, y )时, du = u u v v dx + dy dv = dx + dy x y x y 隐函数的求导公式: F F F dy dy d2y 隐函数F ( x, y ) = 0, = x , 2 = ( x )+ ( x ) x Fy y Fy dx dx Fy dx Fy F z z 隐函数F ( x, y, z ) = 0, = x , = x y Fz Fz 5 / 12 高等数学公式 F F ( x, y , u , v ) = 0 ( F , G ) u 隐函数方程组: J = = G (u , v) G ( x, y, u , v) = 0 u u 1 ( F , G) v 1 ( F , G) = = x J ( x, v ) x J (u , x) u 1 ( F , G) v 1 ( F , G ) = = y J ( y, v) y J (u , y ) 微分法在几何上的应用: 微分法在几何上的应用: F v = Fu G Gu v Fv Gv x = (t ) xx y y0 z z 0 空间曲线 y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程: 0 = = ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) z = ω (t ) 在点M处的法平面方程: ′(t 0 )( x x0 ) + ψ ′(t 0 )( y y0 ) + ω ′(t 0 )( z z 0 ) = 0 Fy F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { 若空间曲线方程为: Gy G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 ),则: Fz Fz , G z Gz Fx Fx , G x Gx Fy Gy } 1,过此点的法向量:n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} 2,过此点的切平面方程:Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) = 0 x x0 y y0 z z0 3,过此点的法线方程: = = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 ) 方向导数与梯度: 方向导数与梯度: f f f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为: = cos + sin l x y 其中为x轴到方向l的转角. 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度:gradf ( x, y ) = f f i+ j x y f 它与方向导数的关系是: = grad f ( x, y ) e ,其中e = cos i + sin j ,为l方向上的 l 单位向量. f ∴ 是gradf ( x, y )在l上的投影. l 多元函数的极值及其求法: 多元函数的极值及其求法: 设 f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0,令: f xx ( x 0 , y 0 ) = A , f xy ( x 0 , y 0 ) = B , f yy ( x 0 , y 0 ) = C A < 0 , ( x 0 , y 0 )为极大值 2 AC B > 0时, A > 0 , ( x 0 , y 0 )为极小值 2 则: AC B < 0时, 无极 值 AC B 2 = 0时 , 不确定 6 / 12 高等数学公式 重积分及其应用: 重积分及其应用: ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ D D′ 曲面z = f ( x, y )的面积A = ∫∫ D z z 1 + + dxdy x y 2 2 M 平面薄片的重心:x = x = M ∫∫ xρ ( x, y)dσ D ∫∫ ρ ( x, y)dσ D 2 D , y = My M = ∫∫ yρ ( x, y)dσ D ∫∫ ρ ( x, y)dσ D D 平面薄片的转动惯量:对于x轴I x = ∫∫ y ρ ( x, y )dσ , 对于y轴I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dσ 平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a ), (a > 0)的引力:F = {Fx , Fy , Fz },其中: Fx = f ∫∫ D ρ ( x, y ) xdσ (x2 + y 2 + a ) 3 2 2 , Fy = f ∫∫ D ρ ( x, y ) ydσ (x2 + y 2 + a ) 3 2 2 , Fz = fa ∫∫ D ρ ( x, y ) xdσ 3 (x2 + y2 + a2 ) 2 柱面坐标和球面坐标: 柱面坐标和球面坐标: x = r cosθ 柱面坐标:y = r sin θ , f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,θ , z )rdrdθdz , ∫∫∫ z=z 其中:F (r ,θ , z ) = f (r cosθ , r sin θ , z ) x = r sin cosθ 球面坐标:y = r sin sin θ , dv = rd r sin dθ dr = r 2 sin drddθ z = r cos 2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r , ,θ )r sin drddθ = ∫ dθ ∫ d 0 0 2π π r ( ,θ ) ∫ F (r , ,θ )r 0 2 sin dr 重心:x = 1 M ∫∫∫ xρdv, y = M ∫∫∫ yρdv, z = M ∫∫∫ zρdv, 其中M = x = ∫∫∫ ρdv 2 2 2 2 2 2 1 1 转动惯量:I x = ∫∫∫ ( y + z ) ρdv, I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρdv, I z = ∫∫∫ ( x + y ) ρdv 曲线积分: 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): x = (t ) 设f ( x, y )在L上连续,L的参数方程为: , ≤ t ≤ β ), 则: (α y = ψ (t ) ∫ f ( x, y )ds = α f [ (t ),ψ (t )] ∫ L β ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt < β ) 特殊情况: (α x=t y = (t ) 7 / 12 高等数学公式第二类曲线积分(对坐 设 L 的参数方程为 标的曲线积分): x = (t ) ,则: y = ψ (t ) ∫ P ( x , y ) dx L + Q ( x , y ) dy = ∫ { P [ ( t ), ψ α L β ( t )] ′ ( t ) + Q [ ( t ), ψ ( t )]ψ ′ ( t )} dt 两类曲线积分之间的关 L 上积分起止点处切向量 格林公式: 系:∫ Pdx + Qdy = 的方向角. P ) dxdy = y ∫ ( P cos L α + Q cos β ) ds ,其中 α 和 β 分别为 Q P ) dxdy = y = 1 2 ∫∫ ( x D Q ∫ Pdx L + Qdy 格林公式: D 的面积: ∫∫ ( x D ∫ Pdx L + Qdy 当 P = y , Q = x ,即: 平面上曲线积分与路径 1, G 是一个单连通区域; Q P = 2 时,得到 y x 无关的条件: A = ∫∫ dxdy D ∫ xdy L ydx 2 , P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 G 内具有一阶连续偏导数 减去对此奇点的积分, 二元函数的全微分求积 注意方向相反! : ,且 Q P = .注意奇点,如 x y ( 0 , 0 ),应 Q P 在 = 时, Pdx + Qdy 才是二元函数 x y (x,y ) u ( x , y )的全微分,其中: x 0 = y 0 = 0. u (x, y) = ∫ P ( x , y ) dx ( x0 , y0 ) + Q ( x , y ) dy ,通常设 曲面积分: 曲面积分: 对面积的曲面积分: ∫∫ f ( x , y , z ) ds = ∑ ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )] D xy 2 2 1 + z x ( x , y ) + z y ( x , y ) dxdy 对坐标的曲面积分: ∫∫ P ( x , y , z ) dydz + Q ( x , y , z ) dzdx + R ( x , y , z ) dxdy,其中: ∑ ∫∫ R ( x , y , z ) dxdy ∑ = ± ∫∫ R[ x , y , z ( x , y )] dxdy,取曲面的上侧时取正 号; D xy ∫∫ P ( x , y , z ) dydz ∑ ∑ = ± ∫∫ P[ x ( y , z ), y , z ]dydz ,取曲面的前侧时取正 号; D yz ∫∫ Q ( x , y , z ) dzdx = ± ∫∫ Q[ x , y ( z , x ), z ]dzdx,取曲面的右侧时取正 D zx 号. 两类曲面积分之间的关 系: Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ∑ ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ∑ 高斯公式: 高斯公式: ∫∫∫ ( x + y P Q + R ) dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds z ∑ ∑ P Q R + + ,即:单位体积内所产生 的流体质量,若 div ν < 0, 则为消失 ... x y z ∑ ∑ 高斯公式的物理意义 — —通量与散度: 散度: div ν = 通量: A n ds = ∫∫ An ds = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds , ∫∫ ∑ 因此,高斯公式又可写 成: div Adv = ∫∫ An ds ∫∫∫ ∑ 8 / 12 高等数学公式 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: ——曲线积分与曲面积分的关系 ∫∫ ( y z ) dydz + ( z x ) dzdx + ( x ∑ R Q P R Q P ) dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz y Γ cos β y Q cos γ z R dydz 上式左端又可写成: ∫∫ x ∑ P dzdx y Q dxdy cos α = ∫∫ z x ∑ R P R Q P R Q P 空间曲线积分与路径无 关的条件: = , = , = y z z x x y i 旋度: rot A = x P j y Q k z R Γ Γ 向量场 A 沿有向闭曲线 Γ 的环流量: Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A t ds ∫ 常数项级数: 常数项级数: 1 qn 1 q ( n + 1) n 等差数列:1 + 2 + 3 + + n = 2 1 1 1 调和级数:1 + + + + 是发散的 2 3 n 等比数列:1 + q + q 2 + + q n 1 = 级数审敛法: 级数审敛法: 1,正项级数的审敛法 设: ρ = lim n — —根植审敛法(柯西判 别法): ρ < 1时,级数收敛 u n ,则 ρ > 1时,级数发散 n→∞ ρ = 1时,不确定 2,比值审敛法: ρ < 1时,级数收敛 U n +1 设: ρ = lim ,则 ρ > 1时,级数发散 n→∞ U n ρ = 1时,不确定 3,定义法: s n = u 1 + u 2 + + u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发 n→ ∞ 散. 交错级数u1 u 2 + u 3 u 4 + (或 u1 +u 2 u 3 + , u n > 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理: u n ≥ u n+1 如果交错级数满足 ,那么级数收敛且其和s ≤ u1 , 其余项rn的绝对值 rn ≤ u n+1. lim u n = 0 n → ∞ 绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛: 9 / 12 高等数学公式 (1)u1 + u 2 + + u n + ,其中 u n 为任意实数; ( 2 ) u1 + u 2 + u 3 + + u n + 如果 ( 2 )收敛,则 (1)肯定收敛,且称为绝对 收敛级数; 如果 ( 2 )发散,而 (1)收敛,则称 (1)为条件收敛级数. 1 ( 1) n 调和级数: ∑ n 发散,而 ∑ n 收敛; 1 级数: ∑ n 2 收敛; p≤1时发散 1 p 级数: ∑ n p p > 1时收敛幂级数: 幂级数: 1 + x + x + x + + x + 2 3 n x < 1时,收敛于 x ≥ 1时,发散 1 1 x 对于级数 (3) a0 + a1 x a2 x 2 + + an x n + ,如果它不是仅在原点 收敛,也不是在全 + x < R 时收敛 数轴上都收敛,则必存 在 R ,使 x > R 时发散 ,其中 R 称为收敛半径. x = R 时不定 ρ ≠ 0时, R = a 求收敛半径的方法:设 lim n +1 = ρ ,其中 a n, an +1是 (3)的系数,则 n→∞ a n 1 ρ ρ = 0时, R = +∞ ρ = +∞ 时, R = 0 函数展开成幂级数: 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数: 余项: R n = f ( x ) = f ( x 0 )( x x 0 ) + f ′′( x 0 ) f (n) ( x0 ) ( x x0 ) 2 + + ( x x0 ) n + 2! n! 充要条件是:lim R n = 0 n→ ∞ f ( n +1) (ξ ) ( x x 0 ) n +1 , f ( x )可以展开成泰勒级数的 ( n + 1)! f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + x 0 = 0时即为麦克劳林公式: f ′′( 0 ) 2 f ( n ) (0) n x + + x + 2! n! 一些函数展开成幂级数: 一些函数展开成幂级数: m ( m 1) 2 m ( m 1) ( m n + 1) n (1 + x ) m = 1 + mx + x + + x + 1 < x < 1) ( 2! n! x3 x5 x 2 n 1 sin x = x + + ( 1) n 1 + ∞ < x < +∞ ) ( 3! 5! ( 2 n 1)! 欧拉公式: 欧拉公式: e ix + e ix cos x = 2 = cos x + i sin x 或 ix ix sin x = e e 2 10 / 12 e ix 三角级数: 三角级数: 高等数学公式 ∞ a0 + ∑ ( a n cos nx + b n sin nx ) 2 n =1 n =1 其中, a 0 = aA 0, a n = A n sin n, b n = A n cos n, ω t = x . f ( t ) = A0 + ∑A ∞ n sin( n ω t + n ) = 正交性:1, sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积 上的积分= 0. 在 [ π , π ] 傅立叶级数: 傅立叶级数: f (x) = a0 + 2 ∑ (a n =1 ∞ n cos nx + b n sin nx ),周期 = 2π 1 an = π 其中 b = 1 n π π π ∫ f ( x ) cos nxdx n = 0 ,1, 2 ) ( f ( x ) sin nxdx n = 1, 2 , 3 ) ( 1+ π π ∫ π2 1 1 1+ 2 + 2 + = 8 3 5 π2 1 1 1 + 2 + 2 + = 2 2 4 6 24 正弦级数: 余弦级数: a n = 0, b n = b n = 0, a n = π2 1 1 1 + 2 + 2 + = (相加) 2 6 2 3 4 π2 1 1 1 1 2 + 2 2 + = (相减) 2 3 4 12 π 2 π 2 ∫ 0 f ( x ) sin n xdx n = 1, 2 , 3 f ( x ) = f ( x ) cos nxdx n = 0 ,1, 2 f ( x ) = ∑b n sin nx 是奇函数 π π ∫ 0 a0 + 2 ∑a n cos nx 是偶函数 的周期函数的傅立叶级数: 周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数: f ( x) = a0 + 2 ∑ (a n =1 ∞ n cos nπx nπx + b n sin ),周期 = 2 l l l l 1 nπx dx n = 0 ,1, 2 ) ( a n = ∫ f ( x ) cos l l l 其中 l b = 1 f ( x ) sin n π x dx n = 1, 2 ,3 ) ( n ∫ l l l 微分方程的相关概念: 微分方程的相关概念: 一阶微分方程: y ′ = f ( x , y ) 或 P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0 可分离变量的微分方程 :一阶微分方程可以化 为 g ( y ) dy = f ( x ) dx 的形式,解法: ∫ g ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx 得: G ( y ) = F ( x ) + C 称为隐式通解. 程可以写成 dy y = f ( x , y ) = ( x , y ),即写成 的函数,解法: dx x y dy du du dx du y 设 u = ,则 =u+x ,u + = ( u ), ∴ = 分离变量,积分后将 代替 u , x dx dx dx x (u ) u x 齐次方程:一阶微分方 即得齐次方程通解. 一阶线性微分方程: 一阶线性微分方程: 1,一阶线性微分方程: dy + P (x) y = Q (x) dx P ( x ) dx y = Ce ∫ 当 Q ( x ) = 0 时 , 为齐次方程, 当 Q ( x ) ≠ 0 时,为非齐次方程, 2,贝努力方程: y = ( ∫ Q ( x )e ∫ P ( x ) dx P ( x ) dx dx + C ) e ∫ dy + P ( x ) y = Q ( x ) y n ,n ≠ 0 ,1 ) ( dx 11 / 12 高等数学公式 全微分方程: 全微分方程: 如果 P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0中左端是某函数的全微 分方程,即: u u du ( x , y ) = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0,其中: = P ( x , y ), = Q ( x , y ) x y ∴ u ( x , y ) = C 应该是该全微分方程的 通解. 二阶微分方程: 二阶微分方程: f ( x) ≡ 0时为齐次 d2y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x), 2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*) y ′′ + p y ′ + qy = 0,其中 p , q 为常数; 求解步骤: 1,写出特征方程: ( ) r 2 + pr + q = 0,其中 r 2, r 的系数及常数项恰好是 2,求出 ( ) 式的两个根 r1 , r2 (*) 式中 y ′′, y ′, y 的系数; 3,根据r1 , r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r1,r2的形式两个不相等实根 ( p 2 4q > 0) 两个相等实根 ( p 2 4q = 0) 一对共轭复根 ( p 2 4q < 0) (*)式的通解 y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) r1 = α + iβ,r2 = α iβ α = ,β = p 2 4q p 2 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′ + py ′ + qy = f ( x),p, q为常数 f ( x) = e λx Pm ( x)型,λ为常数; f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos ωx + Pn ( x) sin ωx]型 12 / 12