线性代数笔记10：实对称矩阵

对于实对称矩阵而言，特征值和特征向量都有特殊的性质。

定理

1. 实对称矩阵的特征值都是实数。

   ∵x¯TAx=λx¯Tx=x¯TA¯Tx=(Ax)¯Tx=λ¯x¯Tx ∵ x ¯ T A x = λ x ¯ T x = x ¯ T A ¯ T x = ( A x ) ¯ T x = λ ¯ x ¯ T x
   ∴(λ−λ¯)x¯Tx=0 ∴ ( λ − λ ¯ ) x ¯ T x = 0

2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

   ∵yTAx=λyTx=yTATx=(Ay)Tx=uyTx ∵ y T A x = λ y T x = y T A T x = ( A y ) T x = u y T x
   ∴(λ−u)yTx=0 ∴ ( λ − u ) y T x = 0

3. 任何实对称矩阵正交相似于对角阵，即存在正交阵 Q Q ，使得 QTAQ Q T A Q 为对角阵。

   因此，我们求一个实对称矩阵的特征值和特征向量，并将同一个特征值的多个特征向量进行正交化，对所有特征向量进行单位化，就得到了正交阵 Q Q 。

4. 谱分解：

   A=QΛQT=(q1,...,qn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟⎛⎝⎜qT1...qTn⎞⎠⎟ A = Q Λ Q T = ( q 1 , . . . , q n ) ( λ 1 . . . λ n ) ( q 1 T . . . q n T )
   ∴A=λ1q1qT1+...+λnqnqTn ∴ A = λ 1 q 1 q 1 T + . . . + λ n q n q n T

   注意： Pj=qjqTj P j = q j q j T 为投影矩阵，因此，任意实对称矩阵可以表示为秩为1 的投影矩阵的和。

5. Schur定理：任意一个复方阵 A A 酉相似与上三角阵，即存在酉矩阵 U(U¯TU=UU¯T=I) U ( U ¯ T U = U U ¯ T = I ) ，使得 U¯TAU=T U ¯ T A U = T 为上三角阵。（酉矩阵类似于实数域中的正交阵）

其他结论

1. 设 A A 是 n n 阶实对称矩阵， λ1,...,λn λ 1 , . . . , λ n 为 A A 的全部特征值，则存在实数 c>0 c > 0 满足对于任意的 x,|xTAx|≤cxTx x , | x T A x | ≤ c x T x 。
2. 设 λmax λ m a x 是实对称矩阵 A A 的最大特征值，则 A A 的对角线元素 aii≤λmax a i i ≤ λ m a x 。
3. 实对称矩阵的正特征值数与主元数相同（也就是说，其特征值符号个数与主元符号个数一致）。