【基础层】##数学##笔记##代数

## 数学知识体系：代数 几何 分析 (时间，空间，变化)

1. 代数：最开始是算术，数数，看太阳什么时候升起落下，看月相阴晴圆缺都是为了算时间用的，核心是研究时间。
2. 几何：是为了算空间、算位置用的，核心是研究空间。
3. 分析：研究的是函数和函数的变化，核心是研究变化。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

下面是代数发展简史

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1、算数

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。

另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。

2、初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

3、高等代数

高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而二次以上方程发展成为多项式理论。

前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较现代的数学理论－代数几何。

线性代数是高等代数的一大分支。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

(考完矩阵论随机过程和凸优化的考试，再写Strang的线性代数和Ross的随机过程)

4、数论

以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。

5、抽象代数

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（modern algebra），它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。