众数问题分析
问题描述
•给定一个数组，找出其中出现次数最多的那个元素（即众数）。
核心思想
•普遍的解决思路。
•如果我们将所有元素的出现次数进行统计，并从中找出次数中的最大值，那么，这个最大值对应的元素就是众数。
•从这一思想出发，我总结出以下两种算法：
–算法1：利用排序算法统计
–算法2：利用数组或散列表统计
算法1
•算法思路：首先将数组元素按照大小排序，然后按顺序扫描一遍数组，扫描的同时进行统计。这样，通过一次排序和一遍扫描，我们就能够找到众数。
•关键步骤：排序，扫描统计
算法代价分析
1、时间代价
•由于扫描的时间代价是Θ(n)的，所以算法的总时间代价主要依赖于排序算法的代价。
•如果我们选取Θ(nlgn)的排序算法，最终的时间代价是Θ(nlgn)+Θ(n)= Θ(nlgn)
•Θ(nlgn)是基于比较的排序不可逾越的时间下界，也是该算法能够达到的最低代价。
2、空间代价
•扫描统计时，我们只需要三个辅助变量：一个用于计数，一个用于记录当前出现次数最多的元素的出现次数，一个用于记录当前出现次数最多的元素。
•所以，如果排序算法的辅助空间是O(1)的，那么整个算法的辅助空间代价就是O(1)的。
改进想法
•思想：改进排序算法，使得排序算法在排序的同时就统计出现次数，并记录次数最多的元素，以及删除所有重复的元素。这样，不仅可以减小排序的规模，并且省去了最后扫描的步骤，在一定程度上优化了该算法。
•然而，虽然改进后的算法比原始算法效率高，但是由于其本质仍然是基于比较的排序算法，所以时间代价还是Θ(nlgn)的，并没有在数量级上取得突破。
算法2
•算法思路：直接统计各元素出现的次数，用某一种线性数据结构存储统计结果。
•朴素的实现方法：用一个辅助数组存储统计结果，统计时用数组下标对应相应元素。
算法代价分析
1、时间代价
•用下标对应元素，访问时间O(1)。顺序扫描一遍原数组，就可以得到统计结果。
•总的时间代价Θ(n)。
算法代价分析
2、空间代价
•依赖于原数组中元素的范围。
•假设我们知道元素集中分布在宽度为m的区间内，那么我们就可以开辟大小为m的数组用于统计。这时，最后使用的辅助空间便是O(m)的。
•然而我们一般并不能确切地知道数组中数的范围，或者数组中元素的分布非常稀疏（即数组中有相当比例的空间存储的统计数为0）。这时，下标连续分布的、上下界明确的数组就难以承担其职责了。
•因此，我们必须改进数据结构，以更加广泛地适应算法的需求。
改进想法
•核心思想：采用散列表。
•散列表的优点：存储灵活，检索效率高。
•因此，使用散列表能够有效地替代数组，实现算法的功能。
•散列表的缺点：空间利用率低。
•据实验，当散列表的负载因子小于0.5时，散列表在大部分情况下的检索长度小于2。但是，如果超过0.5，散列表的性能就会急剧下降。
•因此，如果原数组元素分布稠密，使用散列表的空间效率就要低于使用数组。
改进后算法的代价分析
•前提假设：散列表的性能良好（负载因子小于0.5）
1、时间代价
•同样是扫描一遍，然而每一次的平均探查长度大于1。因此，时间效率要比数组低。
•但是，由于散列表性能良好，平均探查长度小于2，所以时间代价依然是O(n)的。
改进后算法的代价分析
2、空间代价
•如果原数组中共有m个不同的元素，那么，由于负载因子小于0.5，因此散列表的大小至少是2m。空间效率低于元素稠密时的数组，但是可能会远高于数据稀疏时的数组。
算法比较
•这份报告中主要介绍了两种算法思想。他们各有利弊，对比如下：
1、基于排序的算法
•时间代价：Θ(nlgn)
•空间代价：O(1)
2、直接统计的算法
•时间代价：Θ(n)
•空间代价：Ω(m)
•从以上对比，我们可以看出：算法2是利用空间换时间，虽然使用了大量的辅助空间，但是时间代价要远低于算法1。
•我们的算法设计，就是一个权衡利弊的过程。很多时候，时间和空间不可兼得，那么，我们就要根据用户的需求选择合适的算法，以实现时间更快或者空间更省。
•而对于算法2，我们同样面临着选择：使用数组还是使用散列表。这一选择基于数组元素的分布：如果数组元素分布稠密，使用数组自然是又快又省；可是，如果分布稀疏或是不确定，散列表的灵活性就派上了用场。
•因此，除了用户需求，我们面对的数据本身也左右着我们的选择。
•在实际应用中，众数问题一般用于对大量数据的统计。
•下面举一些实例，来探讨实际问题中众数问题的解决方案。
实例1
•选票统计
•data*+=,“张三”，“李四”，“李四”，“张三”，“李四”，“李四”，“弃权”，“李四”，“张三”，“李四”，“张三”，“弃权”，“张三”……-
•数据规模大，数据范围有限，显然用数组更为方便。
实例2
•在一些科学实验中，我们要对实验数据进行统计和分析，这时众数只是我们研究的一部分，还有其他方面（例如分布情况）需要研究。这时，我们希望一次运算得到的信息量更多。
•这时我们也需要用数组。
010203040506070809010~2020~3030~4040~50数据：23.1，14.6，39.7，32.0，12.2……
范围
10~20
20~30
30~40
40~50
分布数
20
28
90
21
实例3
•假设1：有海量的数据需要统计，如果要排序只能通过外排序。
•假设2：硬盘空间足够用（操作过程中不必考虑空间开销）
•这时有一个用户需求，要得到这些数据的众数。
•如果用排序，我们必须考虑外排序可怕的时间代价。
•如果用数组或散列表，虽然会占用额外的硬盘存储空间。但是，如果这些数据需要经常增删，并且需要经常调用取众数操作，那么，保存这些统计结果将带来极大的方便。
总结
•解决众数问题主要有两种算法思想，其中算法2可以使用两种不同的辅助数据结构。这三者本身都是解决众数问题的很好的办法，他们之间并无优劣。具体实现时，我们选择哪种方法，要依赖于我们对时空的权衡，以及数据本身的性质。
•众数问题虽然很简单，但是从中折射出的关于时空权衡的考虑，是算法设计时会普遍遇到的问题，值得大家讨论和思考。
//众数问题
/*
问题描述：
给定含有n个元素的多重集合S，每个元素在S中出现的次数成为该元素的重数。多重
集S中重数最大的元素称为众数。
例如， S = {1,2,2,2,3,5}。
多重集s的众数是2，其重数为3。
编程任务：
对于给定的由n个自然数组成的多重集S，编程计算S的众数及其重数。
*/
#include
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