洛谷P2467 [SDOI2010]地精部落【DP】

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题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入格式：

输入文件goblin.in仅含一行，两个正整数N, P。

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足N≤10；
对于40%的数据，满足N≤18；
对于70%的数据，满足N≤550；
对于100%的数据，满足3≤N≤4200，P≤1e9。

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题目分析

一句话题意：1到n的排列有多少个是波动序列

思路很巧妙的一题，首先波动序列有两个性质
1.在一个波动数列中，若两个数 k 与 k+1 不相邻，那么交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列
2.把波动数列中的每个数字x 变成 (n+1)-x 会得到一个新的波动数列，山峰与山谷情况与原序列相反

设$dp[i][j]$表示1到 i 的排列中，以 j 开头且 j 为山峰的波动序列个数
由性质二可知 j 为山谷时得到的dp[i][j]与上面是一样的
所以答案为$ans=2{\sum }_{i=1}^{n}dp[n][i]$

接下来考虑转移$dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1]$
若 j 与 j-1 不相邻时，由性质一知 j-1 做开头的方案数与 j 作开头的相同，所以dp[i][j]+=dp[i][j-1]
若 j 与 j-1 相邻时，则转化为 i-1个数，j-1作开头，且 j-1 为山谷的方案数
由性质二知 j-1 作山峰和山谷方案数相同，所以转化为 i-j+1 为开头山峰求解

最后滚动数组优化

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef long double dd;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=5010;
lt n,mod;
lt dp[2][maxn];

int main()
{
    n=read();mod=read();
    dp[0][2]=1;//dp[2&1][2]
    for(int i=3;i<=n;++i)
    for(int j=2;j<=i;++j)
    dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][i-j+1])%mod;
    
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    ans=(ans+dp[n&1][i])%mod;
    
    printf("%d",(ans<<1)%mod);
    return 0;
}