冯言冯语说DSP（三）DTFT

冯言冯语说DSP（三）DTFT

最近事情好多，忙着做期末作业去了，好长时间没更新了。之后尽量周更或者一周两篇。

DTFT（离散时间傅里叶变换）——序列的傅里叶变换

这一部分主要讲DTFT，序列的傅里叶变换。先看定义

1、定义

“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写，中文术语是“离散时间傅立叶变换”。传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以现代社会需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是IT领域中对离散时间信号进行频谱分析的数学工具之一。

该式是DTDT的定义式，可以看成X（e^jw）的傅里叶级数展开，其傅里叶系数为x（n）.
离散时间傅里叶反变换：

2、序列傅里叶变换的收敛性——DTFT的存在条件

序列x(n)绝对可和是其傅里叶变换存在的充分条件，在此条件下，满足一致收敛。
序列x(n)能量有限（平方可和）也是其傅里叶变换存在的充分条件，此时满足均方收敛。一致收敛一定满足均方收敛，而均方收敛不一定满足一致收敛。
理想低通滤波器、理想线性滤波器、理想90度移相器三者的单位冲激响应都是和1/n呈比例的，因而都不是绝对可和，而是均方可和的，它们的傅里叶变换也都是在均方误差为零的意义上均方收敛于H（e^jw）.

3、序列傅里叶变换的主要性质

序列的傅里叶变换实际上是序列在单位圆上的z变换（当序列的z变换在单位圆上收敛时）
（1）线性
（2）序列的移位：时域的移位对应于频域有一个相位移
（3）乘以指数序列：时域乘以a^{n，对应于频域用(1/a)e}jw代替e^jw
（4）乘以复指数序列（调制性）：时域的调制对应于频域位移。
（5）时域卷积定理：时域的线性卷积对应于频域的相乘。
（6）频域卷积定理：时域的加窗（即相乘）对应于频域的周期性卷积并除以2π
（7）序列的线性加权：时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j
（8）帕塞瓦定理：时域的总能量等于频域的总能量
（9）序列的翻褶：时域的翻褶对应于频域的翻褶。
（10）序列的共轭：时域取共轭对应于频域的共轭且翻褶

4、序列及其傅里叶变换的一些对称性质

（1）任何一个复序列x(n)可以分解成共轭对称序列和共轭反对称序列之和
（2）序列的离散时间傅里叶变换X（e^jw）可以分解为共轭对称函数与共轭反对称函数之和
（3）序列及其傅里叶变换的共轭对称分量、共轭反对称分量及实部虚部的关系可以归纳为

（4）任何一个序列也可表示成偶序列与奇序列之和

5、周期性序列的傅里叶变换

由于n趋于∞时，周期性序列不趋于零，所以它不是绝对可和的，也不是均方可和的，因而它的傅里叶变换既不是一致收敛的，也不是均方收敛的。然而，当引入冲激函数后，它的傅里叶变换就可以存在。
（1）复指数序列（复正弦型序列）e^jω0n的傅里叶变换，是以ω0为中心，以2π的整数倍为间距的一系列冲激函数，每个冲激函数的积分面积为2π
（2）常数序列的傅里叶变换是以ω=0为中心，以2π的整数倍为间隔的一系列冲激函数，每个冲激函数的积分面积为2π
（3）周期为N的单位抽样序列，其傅里叶变换是频率在2π/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，每个冲激函数的积分面积为2π/N
（4）一般周期性序列的傅里叶变换是频率在2n/N的整数倍上的一系列冲激函数。

6、DTFT的局限性

离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率Ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。

本文的参考书依然是程佩青先生的《数字信号处理教程（第五版）》，这一部分所占的篇幅并不大，但DTFT确实应该单独用一文来总结。DTFT和DFT、FT以及拉氏变换、z变换都有联系和差异，也值得我们去关心，书中的一些总结较为详细且公式较多，故在此不多作总结。