数学三次危机（三）“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”

作为古希腊著名的数学家，毕达哥拉斯最重要的数学成果是证明了勾股定理。然而，具有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的这一定理却成了毕达哥拉斯学派教学信仰的“掘墓人”，并在数学界掀起了一场轩然大波。

 

在前面的介绍中，我们已经知道毕达哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。在他们看来，一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比，这就是所谓“数的和谐”，而他们相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。在这种观念下，他们对几何量进行了研究，让我们看看他们是如何比较两条线段长度的。

 

在比较两条线段a与b（设a>b）的长度时，如果出现b恰好是a的正整数倍r，我们可以直接用a作为两者的公共度量单位。更一般情况下a的正整数倍不等于b。这时，可以去找一条小线段d，使a可以分成d的某整数（比如n）倍，同时使b可以分成d的另一整数（比如m）倍，那么毕达哥拉斯学派就把小线段d作为a与b的公共度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的（d就是两者的共同度量单位）。

 

这个过程相当于先用短些的线段当尺子去量长的。如果一次量尽，度量结束；如果一次量不尽，就用余数作为新的尺子去量那个短些的线段，如果量尽，度量结束；如果还量不尽，就再用新的余数作为尺子继续量下去，直到某一次余数等于零，结束度量。这时，结束前一次的余数就是我们要找的共同度量单位（辗转相除法）。

 

对任意长度的两条线段来说，毕达哥拉斯学派成员相信上面的操作过程总会在进行有限步后结束。他们相信：只要把单位线段取得适当的短，总可以把两条线段同时量尽，而发现更小的度量单位只要有耐心就可以了。因此，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。

 

给你一把尺子去量黑板的长和宽。假设结果是，长2米8分米，宽1米6分米8厘米。我们可以这样分析：如果第三条线段用1米作为单位，长宽都不是整数倍；如果第三条线段去1分米，长是它的28倍，但宽是16.8倍，但还不是整数；但如果用1厘米，长是280被，宽是168倍，都是整数倍。你看，答案是肯定的。或许你说，上面用尺子量太不准确了。好，拿出你的新式武器：游标卡尺或螺旋测微器来试试怎样？当你费了九牛二虎之力时，我只需要轻描淡写地说：毫米不行，你可以去微米，这总行了吧。

 

最终，当你玩够了这一把戏时，你会相信：似乎在任何情况下，这样的第三条线段都应该是存在的，只需将第三条线段取得很短很短就行了。毫无疑问，我们总可以使得两条线段是第三条线段的整数倍！这样的结论怎么可能错呢？我们已经通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可以通约的，这一命题显然是对的。无论凭直觉还是通过实验我们都已经证明这是颠扑不灭的真理。于是，我们可以明白，当毕达哥拉斯学派提出：“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人是如何坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。怀疑可作为公共度量的第三条线段的而存在，似乎是十分荒谬的。不是吗？

 

答案就然是：就不是！

 

转折是从毕达哥拉斯提出并证明勾股定理开始的。具有戏剧性与讽刺意味的是，正是他在数学上的这一重要发现，却把他推向了两难的尴尬境地。他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果时，想到这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？既然任意两条线段都是可公度，那么一定可以找到一个度量单位来度量正方形的边和对角线。换句话说，总存在一个长度，使正方形的边和对角线都是这个长度的整数倍。然而，经过认真的思考，希帕索斯意外地发现这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能。一句话，正方形的边和对角线是不可公度的！

 

我们目前所知道的是，无论如何，希帕索斯在当时提出了自己的非凡发现：存在不可公度量！这可是一项杰出的发现！在此之前，作为老师的毕达哥拉斯，在学生做出新的发现时总会很高兴地认可学生的成绩，因为他并非心胸狭窄之人。然而这次他并没有为此欢欣鼓舞，相反陷入极度不安之中。如果不赞同它，理智上无法接受，学生的论断毕竟找不出毛病。如果赞同，感情上太难接受了。因为这一发现对他及其学派来说是致命的，它将完全推翻他自己的数学与哲学信条。于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”。两难处境下，他在学派封锁这一发现，把它作为一个严加防范的秘密，禁止成员向外透露。

 

对这类数量所取的名字是最好的证据，这种不可度量的数被他们叫做“阿洛贡”，这个词有一层意思就是“不可说”。上帝创造的和谐的宇宙竟然出现了无法解释的破绽，此事应绝对保密，以免他因事情暴露而把愤怒发泄到人类身上。不过后来希帕索斯本人还是把发现泄露了出去，并得到了老师的“奖赏”。

 

不管希帕索斯的结局如何，我们所知道的是希帕索斯因为自己的发现得到的结局并不美妙。被后人称为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误，而是想通过暴力压制真理，这一做法令他一生蒙羞，成为他人生中的最大污点。然而真理毕竟是扑不灭的，希帕索斯提出的不可公度问题，逐渐在社会上流传开来。史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”。