面试题:top k算法O(n)时间复杂度

在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为O（N）的快速选择算法。如下述文字：

• 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
  • 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
  • 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
  • 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。

此算法的平均运行时间为O(n)。

示例代码如下：

//QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]  
void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )
{
    int i, j;
    int pivot;

    if( left + cutoff <= right )
    {
        pivot = median3( a, left, right );
        //取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况
        i = left; j = right - 1;
        for( ; ; )
        {
            while( a[ ++i ] < pivot ){ }
            while( a[ --j ] > pivot ){ }
            if( i < j )
                swap( &a[ i ], &a[ j ] );
            else
                break;
        }
        //重置枢纽元
        swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );  

        if( k <= i )
            QuickSelect( a, k, left, i - 1 );
        else if( k > i + 1 )
            QuickSelect( a, k, i + 1, right );
    }
    else  
        InsertSort( a + left, right - left + 1 );
}

这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到O(n)的复杂度。

更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。