《玩不够的数学：算术与几何的妙趣》：第一章 平面上的几何艺术

第一章　平面上的几何艺术

人们往往从悖论中获得思维的乐趣，而几何学的悖论就是不可能图形。如今我们已创造出数千种这样的二维图像，不断挑战我们的眼睛和思维。三角形、披萨饼、七巧板也蕴藏着无穷的变化和巧妙的发现。

不可能！你确信吗？

人们从透视错觉得来灵感，创造了神秘的“不可能图形”。人类的视觉系统让我们觉得这样的图形很奇怪。然而这些图形确实是可行的，并为我们带来双重乐趣——先是惊奇，然后理解。

　

亚历山大·马赛，1829 年生于法国坎佩尔。他在 1872 年发明了四眼纽扣的系衣服方法。相比其前身两眼纽扣，这个极其简单的物件具备不会因旋转而滑动的优点。四眼纽扣曾让其天才发明者变得富有，如今仍以数千亿的数量出现在一半以上的服装上。你也一定拥有几件配有四眼纽扣的衣服。然而，四眼纽扣也许应当早 1000 年就出现，甚至在古代就该问世。想象一下颇为有趣：伟大的亚里士多德或许忽略了这枚纽扣的存在，而他的生活质量本可以因此改善。

自行车、四色定理、整数和一条直线上的点之间双射的不可能性、康威生命游戏、便利贴、不可能图形，都是近来一些颇为简单的创意。很难解释它们为何这么晚才闪现在人类的脑海中。这些发现让人不禁自问，我们今天是不是也对身旁的一些想法视而不见——而我们的后代也许会对我们的盲目难以理解。

罗特斯维尔德，别无他人！

不可能图形及其无穷的变化带我们从心理学迈入奇幻艺术与数学的世界，最终来到计算机图形学领域。最近的一些研究成果既展示了人们对不可能图形更深入的理解，也暴露出我们思维的欠缺。

仔细找找，我们会在古代绘画和版画中发现不可能物体的蛛丝马迹（参见“不可能图形的先驱”）。然而，我们并不确定作者是否刻意留下这样的踪迹，还是仅仅出于对透视法则的无知、粗心或者错用。在威廉·贺加斯的版画或马塞尔·杜尚的不可能床中，图画是刻意为之，但离纯粹的构思还相去甚远，并且没有一个早期不可能图画脱离了现实世界。画中错乱的现实世界，似乎是制造错觉不可或缺的源泉。

1　不可能图形的先驱。法王亨利二世收藏的一本早于公元 1025 年的《圣经》选读中有一幅圣母像 (a)，画像中装饰柱的位置不合常理。我们可以认为这个错误不是有意而为，而是源于对透视的理解不足。在勃鲁盖尔 1568 年的画作《绞刑架下的舞蹈》(b) 中央有一具几何形状很奇怪的悬架——到底是艺术家有意在作品中安放这个奇怪的物体，还是在悬架透视效果上出了差错呢？威廉·贺加斯于 1754 年创作的版画 (c) 就是存心弄错的透视戏法。点烟斗的人在给他递火人的房子后面很远的山上。同样，羊群里最远的那头却画得最大！树也一样。马塞尔·杜尚在 1917 年根据一幅广告画画了一张不合常理的床 (d)。

瑞典人奥斯卡·罗特斯维尔德（1915—2002）是不可能图形无可争议的发明人。1934 年，年轻的奥斯卡在拉丁文课上百无聊赖。不知不觉间，他开始画出了像图 A 中那样摆放、位置不合常理的 9 个立方体。9 个立方体连起来，就有了图 B 中著名的“不可能三角形”。不可能图形就是这样诞生的。当他意识到自己画了什么后，奥斯卡·罗特斯维尔德将毕生都投入到研究透视悖论的问题中。

20 年之后，数学家罗杰·潘洛斯和他的父亲里昂内·潘洛斯重新发明的不可能三角形出现在《英国心理学期刊》（British Journal of Psychology）上的一篇科学文章中。今天，它被“不公正地”称为潘洛斯三角形，并有数不清的变化形式。

奥斯卡·罗特斯维尔德发明并且画了数百个不可能图形，为此，他的祖国瑞典在 1982 发行了一套印着其数百幅作品的邮票（见上图）以示纪念。莫里茨·科内利斯·埃舍尔用美妙的版画为这些令人困扰的几何物体带来巨大声誉，并首次将其置于复杂的图形创作中，彰显其魔幻般的美。

如今，其他艺术家继续着不可能图形和透视错觉的游戏，创造了引人思考的作品，个中玄妙力量可谓妙趣横生，令人啧啧称奇。其中最巧妙的艺术家包括我们认为堪称第一的桑德罗·德尔普雷特，以及冈萨尔维斯、尤斯·德梅、布拉多、莫莱蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、谢帕德、奥洛斯。

自 1934 年以来，悖论图形爱好者发明了各种令人难以置信的不可能物体，除此以外，数百篇针对不可能物体的文章也探讨了众多问题。这些让人称叹的小小图画引出了数不清的谜题，相关最新研究改变着人类对空间认知的理解，这至今仍是个挑战。

不可能图形的定义

乍一看，一幅不可能图形所展现的好像是人们习以为常的三维物体。但仔细端详，便能看出其中的不可能性：任何对整幅图形的逻辑解释似乎都无法成立。不可能图形为我们的视觉系统设下了陷阱。

陷阱通常是这样的：图形的每一部分立即被我们的大脑理解为一个三维物体，只有从一部分看到另一部分，试图从整体协调不同部分时，图形中自相矛盾的地方才会显现。不同的图形有不同的矛盾之处：

• 两个远近不同的平面，本不该相交却相交了；

• 物体中的某一个平面，从不同角度观察，可以被认为是在上面或者在下面；

• 图画中的某一个区域，结合图画中不同部分，可以看成是空的或者满的；

• 两个平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。

同样令人惊讶的是，一切所谓的“不可能”图形都是可能的。为了证明这一点，我们提出一般性定理（参见“如何让它们变得可能？”），或者做出一些三维物体并对其拍照，以产生想要的图像。“一些不可能图形”中就有一系列例子。观察者认为来自图形本身的矛盾，其实源自思维所做出的简单假设，而这些假设又将思维带进了理解上的死胡同。

2. 如何让它们变得可能？

“可不可以让不合逻辑的图形变得可能？”有一个简单的答案：用铁丝做出结构，每条线段用一根铁丝！也有更好的方法，下面的定理指出对于很多轮廓图画（包括不可能图形），我们可以找出与之对应的多面体来呈现其图像。

定理：对任何由直线段组成并可分割成多边形集合的图形F，存在一系列多面体P1,…, Pn和方向D，使得多面体P1,…, Pn沿平行于D方向在与D垂直的平面上的投影为图形F。

换句话说，从无穷远的地方沿着D方向观察P1,…, Pn，可以看到图形F。该定理对潘洛斯三角形和大部分相关物体都适用。它也可以推广到包含曲线的图，或用来研究其他类型的透视法。

该定理的证明很简单。假设图形 F(a) 可以分解成互不重合（某些线段在分解时可重复出现两次）的多边形 A1,…, An 的拼接(b)。对分解的每一个多边形 Ai 生成一个多面体 Pi (c)，使多面体两个形状为 Ai 的面垂直于 D 方向，并通过每一个顶点将两个面彼此相连（即：Pi 是底面为 Ai 的柱体）。从远处沿着 D 方向看(d)，多面体 Pi 呈现图像 Ai 。对与 Ai 相对应的不同多面体取不同的高度（使其每一条边都不会在多面体合并时消失），就得到了要找的多面体集合(e)。但我们注意到，该定理对不可能图形 3g 和 3j 不适用，因为它们的轮廓图不能被分解成一系列多边形。

　

3. 一些不可能图形

在大多数情况下，这些假设，例如“物体的限定面一定是平的”或“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线”，可以使人快速并正确地理解现实世界的图像。但在观察不可能图形时，这些假设会引起大脑对面积和体积相对布局的想象，反而使图画的各部分之间无法匹配。被蒙蔽的视觉系统难以摆脱自己设下的局部理解，种种疑惑就会令视觉系统得出看似矛盾的结论。于是，思维开始原地打转，徒劳地寻找着对图像的整体理解——合理的阐释虽然存在，却永远找不到。

不可能图形的实物化

长久以来，悖论图形的照片层出不穷。一开始，人们只能做出不可能图形的初级实物化作品，后来才令其愈加复杂。福田繁雄早在 1982 年就做出了埃舍尔版画《观景楼》的木头和塑料版本。

福田繁雄在 1985 还实现了埃舍尔的作品《瀑布》。此作之后又被乐高积木爱好者安德鲁·利普森做成了乐高积木版本（http://www.andrewlipson.com/lego.htm），天才发明家詹姆斯·戴森又设法用真的水实现了一个模拟此作的喷泉，好像水可以不尽流淌（http://news.bbc.co.uk/1/hi/uk/3046791.stm）。

不可能三角形能够阐述明显矛盾的机理，并加以解释，这就需要做出一个实物，使其从合适角度看时呈现不可能图形。让我们来观察不可能三角形的两个角，遮住第三个（如图所示）。

人们一定将该图形理解为三根横截面为正方形的长条 A、B 和 C 两两垂直相交，在空间中构成折线形。当然，如果这样理解，长条 A 和 C 并不相连。于是，当 A 和 C 的连接突然出现在完整的图画上时，视觉系统就判定这是不可能的。似乎三角形的任意两角总是可以相吻合，但三个角却不行。

不过，至少有三种方法可以让我们在空间中构造出一个图中三角形这样的物体。

(a) 第一种方法旨在不遵循我们视觉系统中的潜在假设：物体的限定面一定是平的。葛森·埃尔伯的摄影作品（http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/）实际的几何形体从适当的角度 (A1) 拍摄便可准确地与矛盾的三角形相吻合。当然，我们从另一角度 (B1) 就能看出端倪：真实物体的各个面实际上是复杂表面，而非某一平面的片段。

(b) 第二种方法旨在不遵循潜在的假设：“在图画中看起来是直的，在空间中就一定是一条直线 (A2 , B2)。”

(c) 在让不可能图形变为可能的方法中，最有效的办法就是让实际物体两个不同的线段重合。我们的视觉系统假设看到的每一条线段都代表着三维物体的唯一线段 S，于是，把物体在实际中并不相连的部分看成是相互连接的 (A3 , B3)。

找出视觉系统所做的潜在假设，是实现人工视觉系统的关键。1972 年发明并在 1975 年发表的 Waltz 算法，如今是人工智能技术的必修课。该算法致力于以三维图景展现仅由直线段组成的轮廓图画。

Waltz 算法成立的条件是：图画所表现的物体不超出图画界限；相交于同一个点的线不多于三条；图画所表现的是多面体，是由平面和直棱边构成的。

应用在不可能物体上，会出现两种情况：

• Waltz 算法找不出任何三维的解释，在某种程度上，这意味着它找到了一个不可能图形（在其自己的假设条件下）；

• 或者，该算法也像人类一样被蒙蔽，并给出一种解释，但仔细观察后发现，这种解释从整体上看并不成立。

例如，Waltz 算法可以检测到图中台阶的不可能性，却对不可能三角形无能为力。

自 1972 年以来，人们对该算法不断加以完善；或者说，让它不断复杂化，以提高算法理解轮廓图画的能力，并弱化我们强加给它的视觉假设。然而直到今天，没有任何计算机程序能够得出完全令人满意的结果。三位计算机视觉专家——瓦利、马丁和铃木在一篇对该课题 30 年研究成果的总结性文章中写下如下结论：

“计算机是否能理解轮廓图画？在一定程度上，答案是肯定的，但计算机离拥有与人类思维等同的能力还有很大距离。通过不断改进方法，计算机程序能够恰当地理解越来越多的情况。但是，人类分析轮廓图形的能力因素仍未被集成到程序中，原因很简单，这些因素尚未被理解和发现。”

我们注意到，某些视觉失认症可导致患者无法辨别不可能图形。这些图形对他们来说并无矛盾之处。不是因为患者能找到复杂的理解方法，而是他们的视觉系统失去了察觉各部分之间不一致性的能力。可以说，我们的计算机已达到了这些视觉失认者的程度，但尚未达到健全人的水平。

一些数学方法试图描述这些矛盾图形的特征：罗杰·潘洛斯提出应用“上同调”的概念，而柯琳·瑟夫则提出用“辫子理论”的概念。这些方法似乎都不如 Waltz 算法及其变体强大。Waltz 算法及其变体是基于对一幅图画中 2 个或 3 个线段及其延伸线之间各种可能的连接类型的枚举。

设计三维陷阱

我们在试图实现等同于人类三维分析能力的算法过程中，遇到了不少困难，这源于大脑一项微妙的技巧：善于采用假设（因为这些假设通常带来正确结果），并在必要时禁用。面对所谓的不可能图形——正如我们刚说过，从来没有完全不可能的情况，计算机正是因为不具备这样的假设技巧（尚未被发现）而遇到了困难！一幅简单的图像也能难住计算机，因为可能存在好几种正确的理解。像我们视觉系统那样仅仅采取最有可能的一种理解，恰恰是一件极其难处理的任务。

4　“你所看到的一切并非一定是现实。”版画作者桑德罗·德尔普雷特说。两列火车穿过扭曲的图画，却又是图的一部分，它们会相撞吗？

如果设计一个三维物体，使其从特定角度看呈二维图像，并且该物体有可能属于不可能图形。这里，拥有严苛逻辑的计算机能派上大用场。

吉列尔莫·萨夫朗斯基、丹·迪莫尔曼和克雷格·葛慈曼在 1999 年提出了一般理论，用以设计表面看来是不可能图形的三维物体。在计算机程序的辅助下，该理论已被系统地应用在一系列著名不可能图形的创作上，并复制出莫里茨·埃舍尔、桑德罗·德尔普雷特、奥洛斯和尤斯·德梅等人复杂作品的三维模型。

5　桑德罗·德尔普雷特的象棋版画（上图）是“方向既朝上又朝下”棋盘的不可能图形。葛森·埃尔伯却通过拍照证明了它的可能性（左图）。

所有物体都有一个特点：只有从唯一一个特殊角度，并用一只眼睛观看时，它们才会造成自相矛盾的效果。于是，就产生两个问题：是否可以设计对双目视觉有效的视觉陷阱，即通过一对立体图像能否让矛盾物体产生立体感（例如不可能三角形）？是否可以设计能够旋转，并继续产生矛盾图像的视觉陷阱？这两个问题的答案都是肯定的。

一方面，唐纳德·希玛尼可早在 1998 年就成功制出对应不可能三角形的不同立体视觉图像。人们观察这幅图像时，会感觉看到了具有立体感的不可能图像。另一方面，契·柯和彼得·克韦希也成功针对一些具有对称中心的矛盾物体创作了图形动画。物体自身可以旋转（假设物体是多面体，且每一刻都保持其矛盾性）。但是，物体只能被连续形变。我们可以在http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/Impossible/impossible.html 欣赏这样的动画。

矛盾，是刺激数学逻辑推理的动力。同样，图形矛盾除了周身萦绕的神秘色彩及其带给人们的视觉乐趣之外，对于只能用双眼视觉系统看到两幅二维图像，并希望以此来探求和认知三维世界的人来说，在很长的时间内，这一矛盾都会不断地焕发思考与研究的热情。

无穷与不可能

在一幅图画中展现无穷的不可能图形，看起来可能有些无聊。然而，这却能产生令人困惑的图像，让眼睛面临艰巨的考验。

　

如果物质世界里不存在无穷，既没有无穷大也没有无穷小，那么任何的无穷图形都将不存在。两条铁轨在地平线相交的景象，“科赫雪花”在任意尺度截取的轮廓，只会是近似描绘现实世界中缺失的数学无穷结构——对无穷的任何图形描述都会是幻想。

然而，物理学与宇宙学都没能确定地回答无穷是否实际存在。这个问题或许压根就不属于科学领域。若我们假设无穷在物理上是存在的，比如，因为空间本身并不是有界的或者封闭的（与球体表面相反），那么两条平行铁轨在无穷远相交便是可能发生的情景。

目前，我们仍然对最终的物质现实和物理上的无穷一无所知，因此，数学无穷结构的表现形式算不上荒谬。于是，我们可以放手设计一些抽象物体，它们除了具有无穷的属性，还因自身结构而成为不可能。

看到这儿，无穷似乎是一个无缘无故的数学游戏。然而近来，若干研究贡献使无穷不可能这门艺术变得更加有趣。这才是本章的主题。

最初，创造无穷不可能图形需要从有限不可能图形开始，例如潘洛斯三角形（不在同一平面的三条边看起来相连，构成一个不可能三角形），将其各部分相连，并规律地填满纸面上的空间，赋予图画表面上的一致性。

不可能图形的无限重复

根据特定的不可能三角形图形，我们可以演化出多种无穷不可能的排列方式。工程师兼艺术家乔斯·莱思就创作了众多精美的版本（参见图 1）。

1　乔斯·莱思的无穷不可能图形。由重复的不可能图案沿两个方向铺满平面而得到，这些无穷不可能图形造成没有深度的奇特三维空间感。

每一幅图像都让人困扰，惊人程度远远超过了基础结构中的不可能图形。请看“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图 b，我们的第一印象是，这是一张无限的三维网络，好似空心立方体堆砌而成，图形填满了三维空间。然而，我们很快发现图像整体存在严重的违和感，这下有些令人不舒服。在图像试图展示的假想空间中，每一个角落都充斥着不一致。随着对图画的观察，我们意识到，图画到处是谬误和无穷的自相矛盾。

乔斯·莱思将矛盾阶梯图样在单一的方向上平移，得到另一幅无穷不可能图形，这幅画略简单一些。阶梯设计将两个样本头对头放置，完美相接后，最终得到一个无穷阶梯。人们沿着阶梯下降的方向却总是越走越高（参见“要上去，只需向下走”）！我们在乔斯·莱思的网站上可以找到他创作的此类图像：http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232。

长期以来，我们注意到只有在一定条件下，潘洛斯三角形或疯狂阶梯才是不可能的，即人眼将可见的直线理解为实际的直线，并且用最简单的方式理解组成部分之间的相对位置。

众多互联网网站都提供了奇妙的视觉骗局装置，试图实现几何上的不可能图形。有时，图形构造方式需要通过计算机模型加以描述和表达（参见《不可能！你确信吗？》）。

Escher 方式的永恒运动

人们甚至还录制了一些相关短片，其中最特别的就是荷兰艺术家莫里茨·埃舍尔著名版画《瀑布》的实物展示影片，如同永恒运动的运转方式，不禁让人信以为真（参见https://www.youtube.com/watch?v=0v2xnl6LwJE）。

两位艺术家曾将这些荒谬的几何游戏应用在大型雕塑上——他们竟然能卖得出去，还成功地安放在公共场所。其中，离荷兰马斯特里赫特不远处的比利时村庄奥否汶矗立着一座比利时艺术家马修·哈梅克斯的雕塑作品，就采用了扭转的方法：潘洛斯三角形的三边不再是直的，但透视法造成了幻觉，使人眼看到恰恰相反的景象。

另一个三角形大型创作位于澳大利亚珀斯市，是布莱恩·麦克凯和阿马德·阿巴斯在 1999 年创作的作品。该作品采用断裂的方法：在特定角度，人眼将实际不相连的部分视为相连，认定看到了不可能雕塑。

“无穷不可能”是否可能？

我们可能会问：乔斯·莱思提出的无穷图样到底是怎么回事儿。能不能设计一些“真正”会占据整个空间的三维物体，当从特定视角观察时，会产生无穷不可能图形？

我虽然不知道针对每一种三维物体的答案，但是，将某些物体转化成自相矛盾的无穷几何图形，还是很容易的。

以“乔斯·莱思的无穷不可能图形”图 c 为例，它是由一组 7 个立方体（即 6 个立方体围着一个中心立方体）在无穷次重复后组合而成的。单看这 7 个立方体并没有什么矛盾，多个 7 个立方体组的相对摆放位置才使图形在表面上产生了不合逻辑之处。为了形成这样的排列，只需让每一组东南方向和西南方向的两个立方体在实际上呈 L 形，即将立方体分解成“无穷不可能图形变成可能”右图中的样子。

另一个将无穷不可能图形变成现实的例子：请看一条由方形环按直线排列而成的无限链条（参见“无穷不可能图形变成可能”右图）。为了在空间内展示这条无穷的矛盾链条，可在每一枚方形环的适当位置截去一段，就会产生方形环后方的边穿过环到达前面的错觉。

里尔大学的弗朗塞斯科 · 德柯米特将这个想法变成了动画（这次采用圆锥透视法，而非散点透视法），可以在网页上看到：http://www.flickr.com/photos/fdecomite/sets/72157626054113902/。

2　不合常理的图画变成现实。站在马斯特里赫特附近的奥否汶村广场上，只要角度适当，就可以看到潘洛斯三角形（左图）。走动一下改变视角，就可以理解错觉的原因：我们发现不可能三角形的边其实是弯曲的（中图）。澳大利亚艺术家也在珀斯竖起另一座吊诡雕塑。

不可能的分形图

一个图形若能变为无穷，可能是因为它（有潜力）凭借自身的重复性结构而无限延伸，说得专业一点，因其在一个或两个方向上具有平移不变性。两千多年里，几何学已使我们习惯了这种无穷大。但除此之外，另一种几何无穷也已显现，那就是无穷分形图。

伯努瓦·曼德勃罗（1924—2010）在 1974 年创造的这个概念泛指任何可被无穷切割或分裂的图形或物体。这些结构通常具有内部的对称性——我们可以在其自身内部找到它们的整体形状，只不过更小一些，就像俄罗斯套娃。说得专业一点，它们具有位似不变性。

其实，分形最早出现在一个多世纪以前，数学家们试图阐明连续统（即几何直线）的精细结构。康托尔在 1870 年左右发现了今天所称的“康托尔三分点集”或“康托尔尘”：取一条线段，去掉中间三分之一，剩下两条线段，再去掉它们各自中间三分之一，剩下四条线段，以此类推。

人们曾认为拓扑异常是不可能实现的，但皮亚诺曲线（1890）及科赫雪花（1905）却将拓扑异常可视化，如：遍历实心正方形上每一个点的曲线、没有切线的曲线、能够限定一个有界面的无穷长度曲线，等等。

3　无穷不可能图形变成可能。

对“爱思考的眼睛”来说，无穷不可能图形 c（参见“乔斯·莱恩的无穷不可能图形”）变得可能。如图所示，将一组 7 个立方体中的两个立方体切割，所得到的结构就可以在实际中排列成多个无限长的柱子，这些无限长的柱子又可以并排放置。这样就正好得到了乔斯·莱思图像的“墙纸”。此外，相互嵌套的环状无穷不可能图形也可以通过经典的切割技术变成现实（右图）。

在经典几何学里，我们把物理空间看作实数对的集合（对于平面）或实数三元组的集合（对于空间）。这种构想不但实用，而且能帮助我们理解连续、速度、加速度、连通性等概念。

然而，量子物理学，以及在实践中无法深入探究无穷小的问题，使人们对基于实数建立的空间模型的有效性产生了怀疑——分形几何中无限分割的物体有着无限的精细度，因此，它们或许只是理论上的错觉。我们暂不考虑这个异议，仅承认经典空间模型与实际物理世界的模型相符，而且，分形在物理上也是可能的。

那么，难道就不存在有界尺寸的无穷不可能物体吗？无穷不可能结构将不再像乔斯·莱思的图像那样源自无限延伸的特性（纸张只能勉强呈现部分图像），而是源自其矛盾结构的无限精细度。

伦敦帝国学院的卡梅隆·布朗借助计算机程序得到的若干图像，为这一问题找到了肯定的答案。在这些生成图像中，他将分形及位似不变性物体的无穷分割与潘洛斯三角形一类图形的不可能性结合了起来。

以下展示了科赫雪花的构造过程，一个内部完全是空的，另一个具有内部支撑杆。布朗在每一步构造中所用的图样都是一幅不可能图形。此系列中的有限图形就是不可能图像一步步积累而成的分形图。

3　不可能图形的极限。将不可能图形的图示和科赫雪花的构造算法相结合，计算机图形学专家卡梅隆·布朗获得（至少乍一看）收敛至科赫雪花的无穷序列 (A)。然而在数学家的欧几里得空间里，无需任何技巧即可实现雪花图形。另一个可能存在极限的不可能图形序列则以正方形为基础 (B)。

有趣的是，图画的极限不是别的，就是雪花本身（或具有内部轮廓的变体）。一系列不可能图像由此诞生，而且可能拥有极限。随着无穷不可能的不断积累，荒诞之处也消失不见，如同在接近极限的过程中被吞噬。

两头或三头叉子，以及“恶魔音叉”都是不可能图形的代表图案。卡梅隆·布朗借此采用“康托尔尘”设计了多个无穷版本（参见“卡梅隆·布朗”中的图 a）。

康托尔的不可能叉子

这一次，极限图形每一步构造中的不可能性并没有被画出来，但我们却不难想象。其实，随着我们远离实心部分（上面），物体的截面变得越来越镂空：去掉中间的三分之一，再分别去掉剩下两部分中间的三分之一，如此重复。然而，物体最下端（下面）却又被填满了。由此，我们知道在接近极限的过程中，分形图可以保持不可能性。

“卡梅隆·布朗”中图 b 的图形源于皮亚诺曲线。布朗将创作不可能图形的经典过程用于构想皮亚诺曲线，又一次绘制出可能存在极限的不可能图形。

5　要上去，只需向下走。乔斯·莱思的无穷不可能图形是由埃舍尔的矛盾阶梯不断重复拼接而成。这样得到的图形虽是规律排列的上升阶梯，其真实方向却反而下降。其实，路易十四的宠臣富凯的纹章最适合采用无穷阶梯图案：“上升止于何处？”（Quo non ascendet?）富凯自以为皇恩日盛，实则走了下坡路。

6　卡梅隆·布朗将康托尔三分集（a 图右上）和恶魔音叉（a 图左上）相结合，又运用皮亚诺曲线 (b) 构建不可能图像 (c)。c 图的两个图形在任何尺度都是不可能图形。

但图 c 中的极限图形依然存在不可能性。这两个图形都是真正的分形图：它们具有非整数的维度。正如布朗所说，这些图画在任何尺度都是不可能图形。潘洛斯三角形的每个部分皆可能实现（无需任何技巧）。相反，图 c 中的图形即便在十分接近顶部时依然保持着几何不可能性，即在任何放大级别都保留着不可能性。

对经典不可能图形的分析指出：如果将图形分割为有限数量区域的集合，我们得到的每一个区域都呈现为一个可能实现的物体。针对乔斯·莱思提出的不可能图形，若找不到如“无穷不可能图形变成可能”所示的方法，则需要分割出无穷个区域。每个区域的面积则要大于一个对整幅图画都适用的常数。对布朗的最后两幅图画，这种“可能区域”分割方法需要无穷个区域来实现。而且，当接近最大边界时，无穷区域的直径趋于 0，而最大边界的分形维度大于 1。这一精彩的设想会引出一个新问题：能否设计一些更疯狂的图像，让不可能性在平面上的一个二维区域内累加？

希望读者为我们提供其他无穷不可能的构图。我有一个建议：结合门格海绵与不可能立方体，肯定会缔造一个相当别致的矛盾结构。

三角形几何学远未消亡！

点在图形内部的最优分布是一个基础几何学问题，却引出了不少有趣的研究。

　

在 21 世纪初的今天，一本三角形几何学著作的问世引来各大数学杂志关注，纷纷为此撰文。这难道不让人感到惊讶吗？三角形几何学的复苏不仅展现了数学独特的革新能力，而且预示着，仍有可能找出与几何学最简单结构相关的未知问题，没准还会相当复杂。

几部专著重拾三角形几何学经典主题，希望进行一番回顾总结，其中包括：法国 Hermann 出版社 1997 年出版的伊温妮·索泰和勒内·索泰共同撰写的《三角形几何学》（La géométrie du triangle）；2005 年，Pole 出版社的数学趣味杂志《切线丛书》（Bibliothèque Tangente）中登载一篇题为“三角形：就这三个点”（Le triangle：trois points c'est tout）的文章；以及美国科罗拉多大学亚历山大·索佛的新作《如何分割三角形？》（How Does One Cut a Triangle），这本书完全致力于讨论三角形的分割问题。

《如何分割三角形？》一书详细描述了该课题的最新发现，呈现无比简单的问题如何找到令人叫绝的解答，挥洒非凡的数学智慧。该书 1990 年第一版未能解答的一些问题已在 2009 年新版中一一作答，其他问题则仍然悬而未决。

然而，我们也会看到，数学家们能够取得一些相对轻松的进展，是因为他们借助了计算机科学……这一章将讲解亚历山大·索佛书中的一个问题。如今，这还是一个范围很小却十分活跃的研究领域，尚未经过全面的探索。

点的分布难题

请先看第一个断言 A：

在单位面积三角形内任意画出 9 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

构成面积小于或等于 1/4 的三角形的 3 个点必然相互靠近。这里确定了一种具有明显“定性规则”的特殊形式：在图形内放置很多点，其中一些必然相互靠近。这里，“很多”就是 9 个，“相互靠近”即意味着“其构成的三角形的面积小于或等于 1/4”。

该结果的证明过程展现了一种推理方法——鸽笼原理，有时也叫作“狄利克雷抽屉原理”。如果在黑暗中从放着红色和黑色袜子的抽屉里找出一双相同颜色的袜子，取出三只袜子就足够了，其中两只一定拥有相同颜色。

该原理的一般表述如下：将 nm ＋ 1 只鸽子放进 m 个笼子里，至少有一个笼子里有 n ＋ 1 或以上只鸽子。将 9 只鸽子放进 4 个笼子里，不可避免有一个笼子里有 3 只或 3 只以上的鸽子。

证明十分简单。设 nm ＋ 1 只鸽子放在 m 个笼子里，若 m 个笼子 中的每一个均包含 n 只或 n 只以下鸽子，则总共包含 nm 只或 nm 只以下的鸽子，这与假设不符。因此，必有一个笼子里包含 n＋ 1 只或 n ＋ 1 只以上的鸽子。当 n 等于 1，若将 m ＋ 1 只袜子放进 m 个抽屉里，其中一个抽屉必定会包含两只或更多的袜子。

现在来证明断言 A。

将三角形各边中点两两相连，三角形被分割成 4 个相等的三角形，且面积均为 1/4（参见“三角形的 S(T) 常数”）。若将 9 个点放在单位面积的大三角形里，四个面积为 1/4 的三角形的其中一个就包含至少 3 个点（若每一个小三角形最多只包含 2 个点，则总共只有 8 个点）。于是，这 3 个点限定了一个三角形，其面积小于其所在面积为 1/4 的三角形。

9 个点太多了。我们拿 8 个，甚至 7 个点，能得到一样的结论吗？答案是肯定的：7 个点（8 个点也可以）能足够保证面积小于或等于 1/4 的三角形的存在。这就是断言 B：

在单位面积三角形内任意画出 7 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

1. 鸽笼原理

若将 k 个物体放在 m 个抽屉中，且 k > nm，那么至少有一个抽屉包含多于 n 个物体。当n＝1时，我们得出结论：若将n＋1 个或者更多物体放在 n 个抽屉里，其中一个抽屉必然包含最少两个物体，如同图中格子里的鸽子。这个原理虽然简单，却常常很有用。

• 若13人相遇，最少两个人是同一个月份出生；若25人相遇，最少三个人是同一个月份出生。

• 若取1到100之间十个不同的整数 n1,n2…,n9,n10，则存在10个数字的两个子集，其中数字之和相等（例如 n1 + n2 + n7 = n3 + n4 + n9）。为了进一步说明，我们注意到10个数字有210＝1024种方法取其子集。每个子集的和都小于1000（因为求和的数字小于10个，每个数字又小于或等于100）。根据抽屉原理，就有两个子集得出同样的求和结果。

证明参见图 2。我们注意到，断言 A 和断言 B，甚至所有将要考虑的断言都和三角形的形状无关。等边三角形、直角三角形、等腰三角形……只要是单位面积三角形即可。

回到断言 B。它固然优于断言 A，但我们还能进一步优化吗？就像从 9 到 7，还能到 6、5，甚至到 4 吗？到了 4 就行不通了，因为 4 个点中前 3 个放在三角形的 3 个顶点上，第四个放在三角形的重心（中线的交点），得到的三角形面积都不会小于 1/4，而是等于 1/3 或 1。

最终的答案是 5。亚历山大·索佛是这条定理的发现者，他将其命名为“五点定理”，即断言 C：

在单位面积三角形内任意画出 5 个点，即可找到其中 3 个点，使其构成的三角形的面积小于或等于 1/4。

我们在此不给出该结果的证明过程了，因为三页纸也写不完。五点定理最著名的三种证明来自亚力山大·索佛（五页）、罗伊斯·彭（三页）和塞西尔·卢梭（三页）。这条定理美丽又非同寻常，而探索并非到此为止。我们将要详述其中两个部分，通过实例展示一个问题如何带来另一个问题，数学家们如何不停地发掘新难题，直至抵达逻辑推理的尽头。

2. 三角形的S(T)常数

单位面积三角形的S(T)常数是所需点数量的最小值，使得任意S(T)个点满足存在以其中3个点为顶点构成的三角形的面积小于或等于1/4。

该常数小于9，如果有9个点，则必有3个点在面积为1/4的三角形内(a)。

S(T)常数大于4，因为可以像图(b)那样放置4个点。

我们来证明“若单位面积三角形内有7个点，存在其中3个点构成的三角形的面积小于或等于1/4”。

首先需要证明“面积为1/2的平行四边形内的3个点A、B、C可限定一个面积小于或等于1/4的三角形”。图c可以解释这个性质。

再来看将单位面积三角形分割成四个面积为1/4的小三角形(d)。中间的小三角形分别和其他三个相连，都构成一个面积为1/2的平行四边形。设想三角形中有7个点，若其中3个在同一个小三角形中，它们就构成了一个面积小于或等于1/4的三角形。证明完毕。

假设换一种情况。至少有一个点在中间的小三角形里。如果有2个点，那么把中间的小三角形和另一个包含一个点的小三角形相连（这样的小三角形必然存在），我们就有一个包含3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。

如果中间的小三角形里只有一个点，那么就是其他的小三角形每个包含2个点（我们已经假设没有一个小三角形包含超过2个点，且除了中间小三角形里的点之外还有6个点）。无论选这3个小三角形中的哪一个和中间的小三角形相连，我们都会得到一个包含（开始给出的点中）3个点且面积为1/2的平行四边形，即有一个面积小于或等于1/4的三角形。

实际上，亚历山大·索佛证明了S(T)等于5。

要知道，索佛不仅因解答了众多数学难题而闻名于世，更是自创难题的高手。他曾和保罗·埃尔德什、约翰·康维等颇具名望的数学家一起发表过文章（因此，索佛的“埃尔德什数”就是 11）。他主张：“我们总有自由向自己提出自创的数学问题，并尽力深入研究。”索佛更愿意把数学看作一门艺术，而非一门应用科学。他参与奥林匹克数学竞赛组织，炮制拥有精妙解法的新谜题。他酷爱那些看似平凡，却会在非凡创意下绽放光彩的谜题。对索佛来说，一位优秀的数学家并不需要具备很多的数学知识，而仅需在面对像我们今天提出的这种小问题时，能设想出进攻得胜的策略。这些策略的优美程度与破题效果同等重要，一波三折最终意外取胜，反而更加有意思。

1“埃尔德什数”是匈牙利数学家保罗·埃尔德什发明的一个参数，用来衡量埃尔德什本人与另一位作者在合著数学论文时的“合作距离”。——译者注

首先，我们会很自然地想到将这一原理推广至三角形之外的其他图形。例如取单位面积正方形或五边形，思考需要放多少个点才能确保其中 3 个点能限定一个面积小于或等于 1/4 的三角形。

索佛提出引入记号 S(F) 来表示对于几何形状 F 的最小整数 m，以此保证在给定单位面积的图形 F 内放置的 m 个点，其中有 3 个点组成一个面积小于或等于 1/4 的三角形。

对于三角形 T，我们知道 S(T) = 5（4 个点不能保证面积小于等于 1/4 的三角形存在，而 5 个点可以）。对于正方形 C，S(C) = 5（试着证明一下该结果）。对于五边形 P，S(P) = 6（参见“多边形的索佛函数”）。

从形状 F 经过仿射变换（例如变换 f (x, y ) = (ax + by + c, a'x + b'y + c' )）得到另一个形状 F'，S(F) 的值不变，因为此类变换保持面积的比例关系。

在 S 函数的相关证明中，有以下两个结果。

• 对任意整数 m，有形状 F 使 S(F) > m（参见“无量大数”）。

• 若 F 是凸图形 C（即只要该形状包含点 A 和点 B，则一定包含整条线段 AB），则 S(C) = 5 或S(C) = 6。证明这条特性尤其困难，恐怕要占用十来页才能说清。索佛悬赏 100 美元，看谁能分别针对 S(C) = 5 的凸图形或 S(C) = 6 的凸图形，提出有意义的特征描述。

3. 多边形的索佛函数

单位面积图形F的索佛常数 S(F)是最小的整数 m，满足只要图形F内有 m 个点，其中一定有3个点组成一个面积小于或等于1/4的三角形。

对于三角形，m 等于5：如果给定单位面积的三角形中有5个点，其中有3个点可以确定一个面积小于或等于1/4的三角形。这个五点定理目前还没有已知的简单证明(a)。

对于正方形，m 还是等于5并且很容易根据图2的结果证明：“面积为1/2的平行四边形内的三角形面积必然小于或等于1/4”(b)。

对于正五边形(c)，m等于6。只要将5个点放在单位面积正五边形的顶点，我们发现所有能找到的三角形面积都大于（因为这是图中所画三角形的面积）。这意味着，5个点还不足以保证面积小于或等于1/4的三角形的存在，即S(五边形)大于5。

对于平面上的凸图形F，S(F)常数等于5或6；但我们还不能用有意义的方法归纳出哪些凸图形的常数为5，哪些为6。有人能解开这个谜题吗？

　

4. 无量大数

从图中可以看出平面几何图形的索佛常数S(F)可以要多大有多大。

实际上，设想图 A 中有 m 个辐条的“太阳”。v1, v2,…, vm 这 m 个点中的3个点可能组成的最小面积三角形是3个连续的点（例如 v1, v2 和 v3）组成的三角形。

我们可以在保持总面积为单位面积的同时，任意拉长辐条的长度。选择足够细长的辐条，三角形 v1，v2 和 v3 的面积就会超过1/4。这就证明，对某些“太阳”形状 F，m 个点无法保证在任意 m 边形中存在面积小于或等于1/4的三角形，换句话说，S(F) 大于 m。同样的推理对图B也适用。

对 1/4 的改进

然而，任何知道五点定理的人都会想到一个比索佛的假设更简单的问题。既然单位面积三角形内的 5 个点可以保证存在一个从 5 个点得出的面积小于或等于 1/4 的三角形，也许 5 个点能保证存在一个面积小于或等于 1/5 的三角形，甚至一个面积小于或等于 1/6 的三角形，或者其他什么三角形？

三角形中的 5 个点能保证存在一个从 5 点得出的面积小于或等于 α 的三角形，那么 α 的最小值是什么？五点定理为我们保证 α ≤ 1/4。α 的确定值是多少且相应的五边形（我们称为“最优五边形”）是什么？

显然，“最优五边形”的问题还可以推广为：

• “最优六边形”是什么？相应的 α 是什么？

• “最优七边形”是什么？相应的 α 是什么？

• “最优 n 边形”是什么？相应的 α 是什么？我们将 m 边形的 α 记作 αm。

到目前为止，计算给出两类结果：一个猜想和已证明的上限。

猜想：

上限：

猜想：

上限：

猜想：

上限：

对 m = 6 和 m = 7 猜想的最优 m 边形画在图 5 中。超过 7，目前还没有准确且简单的猜想结果。

工作还在艰难地继续。为了找出最优 n 边形，并证明出能够证实猜想的上限，需要进行越来越大量的运算。另外，对猜想的最终证明需要新办法，但目前尚无人知晓。

人类的逻辑推理和决策，对于解决几何学最简单的问题，甚至设计自动推理方法（实际上从来都算不上完全自动）似乎都是不可或缺的。计算机作为数学家的助手，无疑会在数学研究中扮演越来越核心的角色。

将来，很难想象一个数学家若没有这个技术助手会怎样工作。计算机服务于主人的愿望，对证明的不同组合部分加以运算和组织，这样才能让主人游览根本无法独自探索的数学处女地。

5. 最优 m 边形

按照定义，单位面积三角形PQR内的最优 m 边形是 m 个满足下述条件的点的分布：从 m 个点中取3个点组成的三角形中，最小三角形的面积应尽可能大。可以理解为：要求 m 个点最大程度展开。

最优 m 边形的最小三角形面积记作 αm 。α3=1，α4=1/3 这两个结果很容易理解。当 m 大于等于5时，很难确定 αm 。迄今只有几个已知的值，且还没有得到最终证明。

• 当 m=5 时，我们猜想 。最优五边形（图A）由德柯米特计算得出：法国里尔基础计算机科学实验室通过自动证明方法证实了α5≤121/625=0.1936。并且，若我们承认最优五边形的所有点都在三角形 PQR 的边上，则有 α5≤0.175。

• 当 m=6 时，我们猜想 α6=1/8=0.125。奇怪的是，最优六边形为具有两种不同形状的德柯米特六边形（图B、图C）。自动证明方法证明了 α6<2/15=0.13333…。

• 当m=7时，我们猜想α7=7/72=0.0972222…且最优七边形（图D）是德柯米特七边形。自动证明方法给出α7≤0.115。

这些结果包含好些尚未破解的奇怪内容。首先，计算得到的分布无法预测：我们每次猜测计算结果时都猜不对。其次，所得分布比预期更加不对称。例如 m=7 时，理应在高度上形成对称分布，然而计算结果却不是这样。

　

6. 5个点得出的三角形最大面积

三角形中的5个点保证存在一个（从这5个点得出的）面积小于或等于 α 的三角形，这样的 α 最小值是多少？

我们先规定一些术语。五边形ABCDE的“小三角形”指的是十个由顶点组成的三角形 ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE 中面积最小的那一个（如果若干三角形有相同最小面积，任选其中一个）。此外，给定一个单位面积三角形 PQR，我们关注的是三角形 PQR 内部的五边形，更具体地说是“小三角形”面积尽可能最大的那个五边形（即，使 ABCDE最大程度展开的那个小三角形）。

如果 ABCDE 的“ 小三角形”比 A′B′C′D′E′ 的“小三角形”大，那么就说，五边形 ABCDE 比另一个五边形 A′B′C′D′E′“更优”。有了这些规定术语，最优 α 的问题就等价于单位面积三角形 PQR 内的最优五边形问题。问题也就变成：单位面积三角形 PQR 中“最优五边形”ABCDE 的“小三角形”面积 α 是多大？

经典“密集性”研究显示存在最优五边形，于是存在最优常数 α。我们无法无限改进 α：常数α 存在，最优五边形同样存在，这是肯定的，但还有待找寻！

2008年，亚历山大·索佛的学生马修·卡勒提出了一个5个点的分布方式（我们称其为“卡勒五边形”），其“小三角形”面积为1/6。

这个分布方式（图A）指出，我们要找的 α 大于1/6：这很有意义，由此得到双重不等式1/6≤α≤1/4。若 α 的最终结果是1/6，卡勒五边形就是最优五边形。但真的是这样吗？

卡勒表示肯定。索佛也在书中摘录了这一论述，并且提出 α=1/6的猜想。另外，卡勒在其文章中证明了另一个结果：α≤6/25=0.24。

这个结果的证明要占满整整十页纸，难度虽大，却是一个进步，因为它比五点定理提出的α≤1/4=0.25更胜一筹。

在1/6=0.16666…和0.24之间，这一区间带来了改进的希望，但也能从中看出证明“卡勒猜想”存在的潜在难度：得到如此平庸的区间已经需要很精细的工作，想得出并证明 α 的准确值恐怕更难。

弗朗塞斯科·德柯米特和我曾着手借助法国里尔基础计算机科学实验室的计算机研究最优 α 和最优五边形。我们花了几周时间得出了比亚历山大·索佛和马修·卡勒相对有所改善的三个结果：

• 一个比卡勒五边形更优的五边形（图B）指出；

• 一个计算机自动证明指出 α≤121/625=0.1936；

• 另一个计算机自动证明指出，假设最优五边形的顶点在三角形周长上，那么α≤0.175。

这就让我们得出两个新的猜想：(a)和(b)最优五边形是德柯米特五边形。

我们发现了一个比卡勒五边形更优，且我们认定是最优的五边形，这经过了三个步骤。首先，我们不设定任何特殊性质，尝试了数十亿个五边形，随机寻找最优者。然后，根据最先得到的结果，我们相信最优五边形的所有顶点都应该在三角形的边上，因此，只考虑顶点都在三角形边上的五边形。最后，我们找到的 α 大概数值又经过了西蒙·普劳夫反算法的验证。当我们给这个计算机系统（http://pi.lacim.uqam.ca/）一个实数的几位小数时，它就能给出这个数的计算公式。这就得出了公式，继而让德柯米特找到图 B 中十分独特的五边形，现在看来很可能就是最优五边形。

接着，我们用计算机自动证明了毫无疑点或近似的 α 区间。我们得出了更大的数值，越来越接近。这符合我们之前的猜想。

这种计算方法给出了确定的区间，却永远无法证明最终等式。或许，需要采用其他方法。

披萨数学家

朋友之间最平常的聚会上也有数学问题产生。我们在披萨店见，练一练怎么均等地切披萨。

　

一个崭新的数学科目诞生了——切披萨。这门科学看似简单却引出了视觉原理，而且，必须设计复杂算法才能完成严密的推理。一系列结果才刚刚被证明出来，其中不乏多年未解的猜想。这些成果让该研究领域变得更加充实。披萨本是一道那不勒斯的传统美食。数学家们看着从果木火炉里烤出的摊满番茄的面饼，谈笑间思索着一个个光怪陆离的趣题。

直线切割

朱莉和雅克订了一个披萨，二人想要平分。他们打算用下面的办法：经过同一个点直着切 N 刀并且每一刀之间的夹角相等（角度为 π/N），他们轮流分配切得 2N 块披萨。这里，假设他们可以轻易用完美的直线和相等的角度来分割。

我们还假设披萨是完美的圆形，披萨上面的配料也呈均匀分布。那么，一开始对朱莉和雅克来说，重要的只是均分披萨的面积。当 N 等于 6 时，我们得到一幅图，其中蓝色部分属于朱莉，红色部分属于雅克（参见“均等分割”图 A）。

1　希拉曼·佛格森的雕塑，展示了通过几何方法，用四条线将一个花岗岩圆盘均等分割。

若 N 刀都经过披萨的中心，就能实现公平分配，因为切得的每一块都是等大的。若其中一刀经过披萨中心，凭借对称性还是可以公平分配：对分给朱莉的每一块披萨，都有形状一样的另一块给雅克（参见“均等分割”图 A）。

现在，问题变得明确，却也不再那么简单：这种切法是否公平？如果不公平，怎么知道谁占了便宜？若一位客人分得的披萨面积比较大，这块披萨的边缘长度也比较长吗？还有，披萨上的配料呢？假设披萨厚度不均匀，又会怎么样？

2. 均等分割

被切割线分成角度相等的披萨块，交替分给朱莉和雅克两人。我们分配披萨块时，总是沿着相同的方向转：例如图 A 中，朱莉得到蓝色披萨块 1 、 3 、 5 、 7 、 9 、 11 ，雅克得到红色披萨块 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 12。

如果1条切割线经过圆形披萨的中心，便构成了图形的1个对称轴。于是，披萨被公平分配，朱莉和雅克得到的披萨一样多。对于1条切割线的情况，只有切割线经过中心分配才能公平。对于2条切割线的情况，只有当其中1条切割线经过披萨中心时，朱莉和雅克才能得到一样多的披萨，否则没有分得包含中心那一块的人就会因少了红色面积4倍那么大的披萨而吃亏。对于3条切割线的情况，我们假设切割交叉点靠近边缘的极端情况，证明出拿到披萨中心那一块的人分得更多。最后，如果三个人分的话，6条切割线的分配方法可以给出奶酪、火腿、边缘和番茄都相等的披萨块。

当 N 等于 1 时，答案很明显（图 B）。若切割线不经过中心，包含中心的那一块面积将大于披萨总面积的一半，那么分到这块的客人就占了便宜。其实他占了两个便宜：分得的披萨不仅面积最大，而且边缘也最长。

当 N 等于 2 时，问题会变得更有趣（图 C）。答案是：分到包含中心那块的客人又一次占了便宜。我们可以准确地证实，他得到的额外面积等于一个长方形面积的四倍。该长方形的对角线为披萨中心点到切割交叉点的线段，且四条边平行于切割线。

这一次，披萨边缘的分配很完美：哪怕将切割交叉点放得离披萨中心很远，两位客人还能分到等长的披萨边。根据切割线相对于中心的对称性并结合所有切成的面积，这两条结论很容易证明。

当 N 等于 3 时，结果仍然是分得中心的客人吃到更大面积的披萨（图 D）。完整的证明不简单，但当切割中心点靠近边缘时，很容易看出结论的正确性（图 E）。

其实，通过简单的三角函数计算可以证明，对半径为 1 的披萨，如果切割点在边缘上，分得中心的客人得到的面积是 ，即披萨总面积的 60.9%。将切割交叉点略微移开边缘，根据连续性，结论依然成立。当切割交叉点远离边缘时，分得中心的人依然保持优势，但是需要另作推理。

此刻，如果你更感兴趣的是如何获得更多的披萨边缘，情况则是相反的：分得中心的人将获得较少的边缘。像之前一样，当切割交叉点足够靠近边缘时我们可以轻易证明结论（图 D）；也像之前一样，无论切割交叉点在哪里，该特性均成立。若一位客人喜欢更多的面积，而另一位喜欢更多的边缘，大家就很容易达成一致。

当 N 等于 4 时，拉里·卡特和斯坦·瓦根在 1994 年给出了十分优美的纯图形解法。此前，该问题曾由美国明尼苏达州圣托马斯大学的乔·康霍伊泽（1924—1992）提出并解答。本章第一页呈现的是雕塑家希拉曼·佛格森为纪念该问题而创作的花岗岩雕塑。证明方法在图 3 中详细再现。证明指出，无论切割交叉点放在哪里，两位客人都能得到面积完全一样的披萨，这够惊人吧。通过将面积相减（参见“披萨的边缘”），能推导出当 N 等于 4 时，即便假设边缘有一定的宽度（即呈环状），两位客人也将获得同样多的边缘。

如果切 4 刀，我们永远都能在面积和边缘长度两方面公平地分配披萨，朱莉和雅克知道该怎么做。

如果 N 超过 4，问题就变得更加复杂。当 N 为偶数，我们能通过几步积分运算证明两位客人分得的部分相等，算是对卡特和瓦根通过几何方法获得的结果加以推广。

3. N=4的情况

N 等于 4 的情况更加有趣，通过一种巧妙的分割方法可以证明，朱莉的蓝色部分和雅克的红色部分面积相同，或者用图中的标记方式，a、b、c、d、e、f、g、h 的面积之和与 A、B、C、D、E、F、G、H 的面积之和相等。

推理过程如下：从8块的切割方法开始，我们画出 e 和 D（分别与 E 和 d 对称），并根据 a 和 F 对称地画出 A 和 f。然后，将h旋转90度得到 H，由 H 得到 G，继而引出 g、c 和 C。唯一要证明的一点是 B 和 b 面积相等，而找出相同长度的线段并已知所有角度都是45度的倍数，这就很简单。

　

4. 披萨定理

我们画出 N 条共点交叉且两两之间夹角相等的直线（切割线）来切披萨。然后将 2N 块披萨交替分配给朱莉和雅克两人。朱莉得到蓝色披萨块，雅克得到红色披萨块。

A．若其中1条切割线经过披萨的中心点，无论朱莉一开始如何选择，分配给朱莉和雅克的披萨面积相等。

B．对于4条切割线（以及大于4的偶数条切割线），两人分得面积相等。

C．对于3条切割线，朱莉若首先挑选包含中心的披萨块，便会得到更多的披萨。该结论对任何形式为 4k-1 的数字 N（3, 7, 11, 15, 19, 23, …）都成立。

D．对于5条切割线，朱莉若首先挑选不包含中心的披萨块，便会得到更多的披萨。该结论对任何形式为 4k+1 的数字 N（5, 9, 13, 17, 21, 25, …）都成立。

当你请了 M 位客人时

1999 年，杰瑞米·赫赛豪恩和四位家庭成员一起建立了更加一般化的理论：若记 N ＝ 2M，只要我们按顺序轮番分给每位客人 4 块披萨， 那么披萨（切成 4M 块）将可以在 M 位客人间公平分配。

例如当 N ＝ 6 时，分配顺序应为：a-b-c-a-b-c-a-b-c-a-b-c。

“披萨的边缘”的推理显示，即使假设边缘有一定宽度，披萨边缘也能在 M 位（或两位）客人间公平分配。

更有意思的是，赫赛豪恩的结论还引出一个推断：若番茄（“均等分割”图 F 中橙色）、奶酪（红色）和火腿（黄色）都呈圆形摆放（圆形中心可以与披萨中心和切割中心点不同），只要切割交叉点在每一种配料圆形的内部，番茄、奶酪和火腿也能在 M 位客人间公平分配。相应的推理方法很简单，只需要应用前面的结论，依次将每一种配料的圆形看成一整个披萨。

也看配料的分配

来看一个绝对值得思考的情况：让我们切一个披萨，披萨上盖着呈圆形铺展的番茄、奶酪和一片圆形火腿。沿直线切 6 刀，每刀相差 30 度，而且经过在三种配料内部的同一个切割交叉点。由此分得的 12 块披萨按照 a-b-c-a-b-c-a-b-c-a-b-c 的顺序分给三位客人，他们会得到完全等量的面饼、披萨边缘、番茄、奶酪和火腿。

对 N 为奇数的切法，两位客人的一般性结论长久以来都停留在猜想阶段。直到 2009 年，瑞克·马布瑞和保罗·戴尔曼经历多年徒劳无功的努力，尝试各种计算机计算之后，终于为下面的美妙结论找到了证明方法。

5. 披萨的边缘

如果朱莉和雅克分得的披萨面积相等（对应的 N 值为大于等于4的偶数），披萨的边缘也是公平分配。

先从整个披萨看，参与者分到了相等的面积。再看除去边缘的中心部分，同样，他们平均分割了这个面积变小的披萨。

通过减法，我们可以推导出披萨的环形边缘也在参与者之间公平分配。

在不公平分配的情况下，该推理不再有效（不等关系之间不能随意做减法）。而且，我们还得出，对于两位客人且 N 取值为大于等于3的奇数的情况，分得披萨面积最少的客人总是拥有最长的边缘长度。如果恰好一位客人偏爱内部，而另一位喜欢边缘美味的巧克力糖衣，这或许就能体现出圆形糕饼的好处吧。

• 若其中一条切割线经过中心，两位客人得到相同的披萨面积和边缘长度（我们已在“均等分割”图 A 中见过，根据对称性，这部分结论显而易见）。否则：

• 当 N ＝ 3, 7, 11, 15, 19, 23, …（所有 4k-1 形式的整数）时，分得中心的客人能获得最大的披萨面积，却得到较少的边缘。

• 当 N ＝ 5, 9, 13, 17, 21, 25, …（所有 4k+1 形式的整数）时，分得中心的客人获得最小的披萨面积和最多的边缘。

若 N 为奇数，任意数量客人的问题尚未解决。这又是一个棘手的几何难题，恐怕要等到 21 世纪才能破解……甚至更远的未来。

那披萨的厚度呢？

披萨并不是无限薄的！如果我们考虑披萨的厚度或者形状更加多变的其他美食，又会发生什么？当然，我们刚刚针对披萨所讲的结论，对各式馅饼及其他完美的圆柱形食物依然有效。

若有可能，将立体图形切成无限小的圆形薄片，问题就转变成如何针对大量有趣形状提出披萨定理的一般性结论（N 是偶数或者是奇数）。这样一来，就可以推想至倾斜圆锥体（只要顶点在底面之上且切割中轴线经过顶点）、“布丁”（截断的圆锥体）、“瑞布罗申干酪”（截断的凹面圆锥体）、水平截断球冠的半球体、扭绞的柱体或锥体，等等（参见“三维情况的分配”）。

请看更精确的表述：当 N 为偶数或奇数时，图 4 中定理的推广对于用 N 个垂直切割平面切成的任何立体图形 V 都成立，只要：

• V 的表面积在下方由圆形水平底面 B 限定，在上方由圆形水平顶面 S 限定（圆形 B 和 S 可以退化为一个点）；

• 若将立体图形切割成 2N 块时，N 个切割平面经过同一条直线 A（切割中轴线），且两两构成相等的夹角；

• 对 V 的每一次水平切割都会产生一个包含轴线 A 上一个点的圆形 D。

这些适用于体积的定理不能与著名的“火腿三明治定理”混淆。我们回顾一下后者在三维空间中的奇特表述：

给定三个具有体积的物体（例如由面包、黄油和火腿组成的三明治），存在一个切割平面可将每个组成部分准确地分割成体积相等的两部分（面包被分成相等的两块，黄油和火腿也一样）。

1942 年，亚瑟·斯通和约翰·塔基对该定理提出了在任意 n 维空 间中的证明，证实存在一个超平面，可平均分割具有超体积的 n 个物体。然而，他们并没有说明如何找到分割方法，答案还远在天边。但是，利用披萨定理确实可以找到公平切割的多种方法（例如切 4 刀），这就实用多了。

6. 三维情况的分配

披萨分配定理（参见“均等分割”）可以借助几个保证条件推广至一些立体图形。推广的关键是将立体图形视为一层层无限薄圆片的堆叠，每一片都按照披萨定理的要求依切割线摆放：切割线的夹角都相等，且都要经过圆盘内部的分割交叉点。

　

7. 画出相等的弧线

若我们知道如何画出经过同一点且夹角相等的直线时，披萨定理（参见“N = 4n 情况”）才会有意义。一个类似假设引出第二个鲜为人知的披萨定理。这一次，假设可以将披萨的边缘分成 2N 条相等的弧线段。如前，我们在披萨上任意放置一个分割交叉点，就此确定 2N 块披萨，交替分给朱莉和雅克。

同样，如穆雷·克拉姆金证明的那样，无论 N 是奇数还是偶数，分配方法都是公平的，两位客人能确定得到相等的披萨面积及相等的边缘长度（这里，边缘要被看作没有宽度的圆周）。

1996年，美国数学协会出版的丛书《道尔齐亚妮数学博览》（Dolciani Mathematical Expositions）第18卷中登载的乔·康霍伊泽、魏乐曼和斯坦·瓦根的著作“自行车朝哪里走？及其他迷人的数学奥秘”（Which way did the bicycle go? And other intriguing mathematical mysteries）一文中，可以找到相关证明。

披萨游戏

火腿三明治定理的二维版本对披萨爱好者来说依然颇有益处。实际上，假设有一块不那么圆的披萨，面饼上按照复杂形状随意覆盖着一种配料（例如番茄酱）。火腿三明治定理的二维版本指出，存在一种可能性，使得沿直线一刀将披萨切成两块，朱莉和雅克能得到相同面积的面饼和相同面积的番茄。

可惜的是，办法倒是有，就是很难实现。同时，确定恰当的切法也非易事，除非运气极好，否则一刀下去恐怕难以公平地分割面饼、番茄和奶酪。

分披萨问题是一个趣味游戏，它也引出了一系列难易不一的谜题，有些困扰多年的难题才刚刚得到解答。我们来看看这个游戏：

• 这次，假设用经过中心（以切割线为半径）且夹角分别为 α1, α2,…, αN 的 N 刀将披萨切成 N块；

• 玩家 A 选择一块；

• 然后，玩家 A 和 B 每人轮流选择一块，要求该块披萨只有一个相邻披萨块，随即产生唯一的一片不断变大的空白区域。

当然，游戏旨在尽可能拿到最大量的披萨，问题在于怎么找到最好的办法。

若 N 为偶数，存在一个确保第一位玩家至少获得一半披萨的策略。这很容易发现。

若 N 为奇数，存在一个确保第一位玩家至少获得三分之一披萨的策略。

第二个结论并不是 N 为奇数时最好的结果。人们猜想 1/3 兴许可以被改善到 4/9。彼得·温克勒提出的这一猜想已同时被两组研究者证明（参见参考文献及其在线 PDF 文件）。实际上，确保能拿到 4/9 的策略很复杂，但目前为止，我们确信在一般情况下结果不可能比 4/9 还好：将披萨分成奇数块时，某些切法可以让第二位玩家最少获得 5/9 的披萨。只要找到诀窍。

七巧板

这是最著名的拼图游戏，启发了无数崭新的游戏变种，以及往往只有计算机才有耐心去迎战的趣味几何题。

　

七巧板大概是最流行的几何游戏了。人人都知道七巧板，也至少玩过一次。著名数学游戏爱好者和发明家森姆·莱特在 1903 年创作的《老唐的第八本书》（The Eighth Book of Tan）一书中对七巧板进行了详细阐述。书中提出了数百种用七巧板来摆出的图形，其中一些根本不可能摆出。莱特自称对此很有了解，也详细讲述了七巧板游戏的历史：

“根据我手中查林诺教授遗留下来的手稿，中国有七部七巧板的著作，每部都收录了上千种图形。这些图形的起源可追溯到大约四千年前。这几部书十分罕见。查林诺教授在中国居住的四十年间，仅完整见过第一部和第七部，以及第二部的个别篇章。一位英国士兵在北京找到了印在金箔上的该著作片段，并花三百英镑从古董收藏家手里买下。我曾有幸获准复制其中的一些图案。”

这段历史轶闻被不断转述，直到 1974 年，马丁·加德纳仔细做了更正，并解释这不过是莱特开的玩笑，纯属虚构。有关七巧板的最早书面记载出现在一本 1803 年出版的书里。的确，这是一本中国书，名为《七巧图合壁》2。

2另一说，本书于 1813 年出版。——译者注

游戏并不那么古老

七巧板的英文名字是 Tangram3，直到 1848 年才出现在托马斯·希尔的著作《青年几何谜题》（Geometrical Puzzle for the Youth）中。作家刘易斯·卡洛尔和爱伦坡都很喜欢这个游戏，据说拿破仑在圣赫勒拿流放时也曾藏有一副七巧板。这个游戏属于全世界，人们用它来教学和消遣。数十家生产商用木材或者塑料打造出各类产品。很可能，你家里就有一副七巧板。

3七巧板又称“唐图”。——译者注

Tangram 可能是从单词 Tan 发展而来。据称，Tan 一词源于英文单词 Trangram。单词原有两个字母 r，意思是“复杂的玩具”，这里可能被歪曲借用了。在 1913 年出版的《韦氏词典》中，我们找到了这样的释义：“Trangram：设计复杂的东西。”

1. 七巧板的世界

七巧板(a)由七块板组成，包括小等腰直角三角形t、正方形c、平行四边形p、等腰直角三角形t'、等腰直角三角形t''。所有拼板都可以由最小的那块（共有两块）边长为1和 2 的等腰直角三角形t得来(b)。森姆·莱特臆造了一位姓唐的中国人为七巧板的发明者，创作了《老唐的第八本书》(c)。图d中是一本19世纪中国几何学家撰写的七巧板趣味书。图e是七巧板爱好者提出的成千上万个图案中的若干例子。

游戏有助于让低龄儿童熟悉基本的几何形状。但是，如果游戏的目的仅限于重新摆出盒中附带的小册子上印着的轮廓图，这就和数学没多大关系了。事实上，七巧板也引出了众多真正的数学问题，其中一些还颇具难度，甚至无解。

我们先从最简单的开始，只考虑经典七巧板游戏的七个固定的形状：两个小等腰直角三角形 t，一个正方形 c，一个平行四边形 p，另一个等腰直角三角形 t'；c、p 和 t' 都能通过两个 t 组合得到；最后，两个大等腰直角三角形 t''，每个都可以由四个 t 得到。一共 7 块拼板。

设 t 的短边为单位长度，它斜边的长度就是  。正方形 c 的边长为 1；平行四边形 p 的两边长分别是 1 和  ；三角形 t' 的两边长分别是  和 2； 三角形 t'' 的两边长分别是 2 和  。

我们还应把玩家们需摆出的图案分成三类。

“一般图案”：一个整体，每块板仅限使用一次，当然也不能有重叠。图 1e 里的图案中，除了图案 11 有一块和其他部分分离，其余的都是一般图案。

“紧凑图案”：要求其周长在拓扑上等价于圆的一般图案。其实，这是要求图案是一个整体并且中间不能有空洞。图案 1、2、33、35、36 就是紧凑图案（参见下面图释）。图案 10 不是紧凑图案，因为中间有空洞；同样，图案 40 也有两个空洞。图案 6、7、8 也不是紧凑图案，因为有两部分仅由一个点而不是一条线段相连。

第三类图案属于“整齐图案”（snug-motifs，英文 snug 意为小而整齐）。整齐图案的限制更多，思路是每一块板都是取同一个小等腰直角三角形 t 一次、两次或四次得到。根据罗纳德·里德给出的定义，整齐图案也是一种紧凑图案：将每块板分解成两个等腰直角三角形 t，若两块板共用一条线段，则它们的两个基本三角形 t 一定至少共用一条边（这条共用边可以是基本直角三角形的短边或斜边）。我们注意到，上述规则对每一块板进行了严格的方向限制：如果正方形水平放置，则所有长度为 1 或 2 的边都必须沿水平或垂直放置，其他边（长度为  或  ）都要放置在对角线方向的直线上（呈 45 度或 135 度）。图案 1、2、5 是整齐图案。相对地，图案 35 和 36 就不是整齐图案。

“七巧板之谜”展示并解决了一些关于这些形状的数学问题。

在针对七巧板的专著中，马丁·加德纳提出了五边形紧凑图案的数量问题，并给出了答案和推理方法来验证。遗憾的是，他的推理中存在一个小错误，招致大批读者来信投诉。加德纳对这些愤怒的来信加以分析和整理，历经艰难最终得出了正确答案，并将其发表。你也可以试着找找答案，或者，为此编个程序吧（参见“马丁 · 加德纳的五边形图案”的解法）。

漏掉的计数

七巧板三种图案的计数问题，可以很容易，也可以很复杂。一般图案和紧凑图案显然多到无穷。一些图形组可以旋转或者连续平移，令无穷多的图案难以计数（就像实数而非整数一样无穷多）。而整齐图案的数量则是有限的：在图案构造中每增加一块板，拼板只能摆放在有限数量的位置上。

这样逐步建立的方法让我们能够找到整齐图案数量的最大值（上限），步骤如下。

• 构造图案的每一步中，将七巧板 30 条边中的 2 条（或更多）拼接在一起。这里的“边”指的是组成七块板的基本三角形 t 的边，七块板总共有 30 条这样的边。我们给每条边编上 1 到 30 的号码。

• 构造一个图案需要 6 步，因为放了第一块板以后，我们用 6 步来拼接剩下的板。

• 在 1 到 30 之间，最多用 12 个数字就可以确定一种可能的摆法：最初两个数字表示第一次拼接的两条边，接下来的两个数字表示第二次拼接的两条边，依此类推。

• 结论：最多有 3012 = 5.3×1017 个整齐图案。

2. 七巧板之谜

A．一个一般图案最大的边数是多少？

一切都取决于我们把什么算作图案的边。

如果把一块板的顶点放在另一块的边上，托着第一块板顶点的边仍视为一条边，答案就是23。如图案1所示，一个女人向前伸出双臂，七块板的23条边都保留了下来。

或者，将托着第一块板顶点的边算成两条边，因为沿着图案的边界走，我们会先经过这条被切断的边的一部分，而后再经过另一部分。这样答案就是29（23+6），因为我们会连着6次增加一条边。

B．一个紧凑图案最大的边数是多少？

答案是23。

我们设法连续6次把一块板放在一条更长的边上，并让长边在前和后各留出一截。每次虽然少了一条边（被放置板块的一条边消失了），却因那条长边前后新生两条边而又增加一条边。

我们可以看出（图案2），这样的操作可以连续进行6次，并且七块板的最初边数23在拼得的图形中没有改变。

C．一个整齐图案最大的边数是多少？

答案是18。下面是罗纳德·里德提出的巧妙证明。

七巧板的七块板总共有30条“边”，而这里“边”指的是小等腰直角三角形t的边。比如，按照这种特殊定义，每个大直角三角形t''的周长由6条“边”组成。当我们构造一个整齐图案时，每增加一块板，必定至少将30条“边”中的两条拼接在一起，而这两条将不再是最终图案的“边”。在构造图案的过程中，消失的“边”数不可能少于12（连续6次，每次消失2条）。我们能得到的最好结果就是18条“边”的图案。

图案3中的小狗就是证明。该图案中18条特殊意义的“边”又恰巧是小狗图案通常意义上的边。于是，通常意义上有可能留有18条边，我们无法再改善。

当然，若干不同的 12 个数字组成的序列可能得到同一个图案，有些序列可能因为重叠或在选择 12 个数字时选到不可用的边而无法得到真实的图案。我们刚刚算出的数字其实是一个很宽泛的上限。

整齐图案的准确计数问题实在是太难了，直到 2004 年才有解。罗纳德·里德借助计算机程序得出总共有 4 842 205 个图案。这一计数结果并未广为流传。无论是法文还是英文版的维基百科都没有提到它。而且，据我所知，没有任何网站和书籍提及该结果，就连我自己也不觉得它已经过论证。

最后一个困难的计数问题值得仔细研究。为了避免滑动，我们假设紧凑图案具有下面的属性：若板的两个边共用一条线段，则必共用一个端点。

这些“对齐图案”（英文称作 fully matched）的数量比整齐图案还多。显然，任何整齐图案都是对齐图案，反之却不然。例如，图案 31（参见“七巧板的世界”图 e）不是整齐图案（虽然某些板共用一条线段，基础三角形 t 的边却没有对应好），但按照上述意思却是一个对齐图案。

很容易看出，只要对齐图案的一块板放好了，其他板的顶点便只能占据平面上有限数量的点。因此，对齐图案的数量也是有限的。维基百科指出应该有 613 万个对齐图案。这个数字与罗纳德·里德算出的整齐图案数量差太多，根本不匹配，但再没有比这更精确的数字出现。我无法查明这一结果是近似估计值，还是没有完整重现的精确计算成果。

若允许图案里有空洞，便可拼出更多有趣的图样，或者干脆不用完所有的拼板，甚至允许拼板之间存在重叠等等。这个举世闻名的游戏似乎有一系列计数问题至今尚未探讨。

3. 马丁·加德纳的五边形图案

用七巧板摆出的 53 个五边形之中，只有 22 个是整齐图案（绿色）。近来，菲利普·穆同开发了一个计算机程序，证明七巧板的确能生成 22 个五边形整齐图案。另外，他还成功得出以下结论：有200个六边形整齐图案、1245 个七边形整齐图案、6392个八边形整齐图案和27133个九边形整齐图案。

菲利普·穆同在近期的研究中思考了是否存在与七巧板类似，却在严格意义上更完美的拼板游戏。

王福春在 1942 年发表了一篇文章，证明在七巧板构成的所有图案中，有 13 个凸图形摆法。凸图形的定义为：在图形中任取两点 A 和 B， 线段 AB 完全包含在图形中，则该图形即为凸图形。因此，圆盘是凸图形，而十字不是。

凸图形

凸图形最难透过轮廓来摆放，因为它们的轮廓仅透露出极少的七巧板位置信息。用少许几块板就能摆出多种不同的凸图形，这是七巧板游戏的优美之处，也确保了我们能够摆出多种有趣而困难的图形。让我们用这第一条质量标准来衡量类似七巧板的拼图游戏，看看它们可以拼出多少凸图形。

我们拿来和七巧板比较的拼图游戏将采用这样的拼板：每一块拼板皆由若干等腰直角三角形 t 通过边拼接起来（这些图形往往被称为 polyabolos），总共包含 16 个 t （如同七巧板的七块拼板共由 16 个三角形 t 组成）。其实，我们也希望使用的拼板能组成一个正方形，这样就可以像七巧板一样，很容易地把玩具收到一个方盒子里。

早在 1942 年，王福春就指出用 16 个等腰直角三角形能构造出 20 种凸图形，而非仅仅 13 种。七巧板就少了 7 个。缺少的 7 种图案很容易找到：它们都很长，七巧板两个大等腰直角三角形 t'' 超出了其宽度（参见“凸图形”）。

众多发明家和玩具厂商都拿出了堪与七巧板竞争的游戏，包括 Regulus（5 块，参见上方图 a）、Pythagoras（7 块，图 b）、Revathi（7 块，图 c）、Chie-no-ita（7 块，图 d）、Cocogram（6 块，图 e）以及 Heptex（7 块，图 f）。

每一个游戏都能用 16 个等腰直角三角形摆出 20 个凸图形中的某几个。可以摆出的凸图形数量的计算结果按大小排序如下：Regulus 是 7 个、Pythagoras 是 12 个、七巧板是 13 个、Revathi 是 15 个、Chie-no-ita 是 16 个、Cocogram 是 16 个、Heptex 是 19 个。

七巧板排名居中，远非冠军。Heptex 也由七块组成，却能完成 19 个凸图形，几乎达到了 20 个图形的最大值，将七巧板远远甩在后面。

七巧板包含两个重复形状的板，我们说有两个重复板。如果一块拼板在游戏里反复出现了 3 次，我们也说有两个重复板。按照这样的说法，一个游戏的总板数就是不同形状的板的数量，再加上重复板的数量。

菲利普·穆同研究了这个参数，想查清存在大量重复板到底好不好。拿共由 16 个等腰直角三角形组成的七块板来说，重复板的数量从 0 到 5 不等（因为如果有 6 个重复板，就是说有一块被用了 7 次，而 16 不能被 7 整除，所以假设不成立）。

来看看结果：没有重复板时，最多能得出 15 个凸图形（Revathi 的情况）；有 1 个重复板时，最多能得出 16 个凸图形；有 2 个重复板时，最多能得出 19 个凸图形（Heptex 的情况）；有 3 个重复板时，最多能得出 19 个凸图形；有 4 个重复板时，最多能得出 18 个凸图形；有 5 个重复板时，最多能得出 15 个凸图形。

4. 凸图形

用七巧板可以摆出13个凸图形，用16个等腰直角三角形可以构成额外的7个凸图形。

我们得出结论：对于七块板的游戏，为了能生成众多凸图形，有太多或者太少的重复板都不行。

评比的多重条件

仅仅把能组成的凸图形数量当作评判拼图游戏优劣的条件，确实太简单、粗略了。

于是，菲利普·穆同精心选取了更复杂，却更精细的指标 Z ＝ L ＋ A － P － D ＋ F ＋ C，并称之为 Z 得分。其中，L 代表游戏里拼板不同长 度的边的数目（L 越大，游戏越多变、越好玩）；A 代表游戏里拼板不同角度的数目（和 L 一样，A 越大越好）；P 代表游戏里拼图板本身的数目（为了使游戏精致而有趣，P 不能太大，所以 P 前面是减号）；D 代表重复板的数目（最好能避免，所以D 前面是减号）；F 代表该游戏可以组成凸图形的数目（如上，我们希望 F 越大越好）；C 代表是否能拼出一个正方形：如果可以，C 等于 1，否则 C 等于 0。

当然，分值系数的设计也可以有所不同，比如给某一项加上更多权 重，比如将 Z 的公式定义中的F 换成 2F：Z' ＝ L ＋ A － P － D ＋ 2F ＋ C。

尽管菲利普·穆同的 Z 系数并不完美且有待商议，但仍是评判游戏趣味性，或者开发新游戏的好办法。对由 16 个等腰直角三角形组成的游戏，菲利普·穆同计算了它们的 Z 得分。之前提到的各种经典拼图游戏在结果中表现突出，排名都不错。七巧板的 Z 得分是 12，Pythagoras 是 10，Chie-no-ita 是 16，Heptex 和 Revathi 都是 17。更有意思的是， 在 Z 得分的评估结果中，有 8 个游戏以 19 分胜出，但到目前为止，我们还没有发现相关拼图游戏浮出水面。菲利普·穆同决定把这几个拼图游戏叫作 TAO，意为“计算机辅助七巧板”（Tangram Assisté par Ordinteur，参见“菲利普·穆同的 8 个 TAO 图形”）。

进一步思考

假设不断加大基础三角形的总数量，所得的 Z 值就会越来越大。Z 似乎可以无穷增大，这便是菲利普·穆同提出的猜想。比七巧板更为复杂的趣味游戏也应运而生，请大家到他的网站上去看一看。

Z 值还在被不断完善，人们在继续探讨拼图游戏在生成对称图形或是其他方面的能力。

上述研究在计算游戏生成整齐图案或对齐图案的数量时遇到了瓶颈。而这些难以计算的数字对评估游戏的趣味性有着至关重要的意义。以此为基础对各类拼图游戏进行比较，也许会与通过凸图形获得的评比结果不谋而合。或者，我们还会发现能再次令小学生和几何游戏爱好者们沉迷两千年之久的“终极七巧板”。

5. 菲利普·穆同的8个 TAO 图形

采用比可行凸图形数量更加准确的指标 Z（参见正文），菲利普·穆同找到了8个类似七巧板的拼图游戏，比目前为止发明的任何游戏更优越。穆同把它们称作 TAO（计算机辅助七巧板）。它们的 Z 值等于19。穆同采用的指标考虑了拼板的个数（不应太多）、拼板形状的多样性（越多越好），以及能够生成的凸图形数量。

from: http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/7681