ELI5：导数，偏导数

导数

导数就是描述某个事物的变化速率。
举个最常见的例子，当人从某地移动到另一地点的时候，速度就是这个移动的导数，因为它描述了移动的变化速率；再继续看，加速度就是速度的导数，因为加速度描述了速度的变化速率。当加速度恒定的时候，我们可以想到，速度就是一条斜线，再进一步就能想到移动的距离是一个抛物线。

距离曲线

速度曲线

在数学中，先举一个简单的例子，比如

y=3x+5 y = 3 x + 5

这个函数，它的导数是

y′=3 y ′ = 3

（具体求导的方法不描述了），它描述了当x变化的时候，y的变化是3，可以试验一下，当x=1的时候，y=8，当x=2的时候，y=11，刚好增加了3。
稍微复杂一点的情况比如 y=x2 y = x 2 的导数是 y′=2x y ′ = 2 x ，这个时候导数不再是常数，比之前的情况要稍微复杂一点，需要进行一定的理解：

x	y=x2 y = x 2	y′=2x y ′ = 2 x
1	1	2
2	4	4
3	9	6

可以看到并不是之前那样的直接相关了，这是因为此时的导数应该是个变化过程（也就是 ΔX Δ X ，x=2时导数的值，是指在x=2这个点上的变化速率，不是指变化到2过程中的变化速率），所以当x变化为2时，是x从1到2的过程，导数应该是求值应该是1到2的过程值（因为是这时的函数是线性的，所以粗暴的认为是均值） (2+4)/2=3 ( 2 + 4 ) / 2 = 3 ，所以变化速率是3，同理可知2->3的变化速率是5。

偏导数

既然知道了导数的概念，那么偏导数是用来做什么的呢？
继续最开始跑步的例子，当时我们假设了一个完美的场景，那就是在没有任何其他因素的影响下。但是现实中是不可能出现这样的情况的，你的移动需要根据当时风速，穿的鞋子带来的阻力，你当时的体力等等，也许这是一个类似这样的函数

F=f(x,y,z,u,v)=x2+5y+4z3+2uv F = f ( x , y , z , u , v ) = x 2 + 5 y + 4 z 3 + 2 u v

，但我们仅仅想研究跑步速度带来的影响，所以我们假设其他的变量都是常数，也就是他们是恒定的或者是一些我们已知的数据，此时再来求导时导数就变为了 F′x=2x F x ′ = 2 x ，这就称为 F F 在 (y,z,u,y) ( y , z , u , y ) 处时关于 x x 的偏导数