概率论与数理统计（第四版） 第二章：随机变量及其分布（第一节和第二节笔记）

1、随机变量

（1）定义

    ①   随机变量是一个实值单值函数，X= X(e)，定义域为样本空间S。

    ②   一个随机变量的值与样本空间的样本点集合（随机试验的不同结果）对应。

    ③   随机变量将随机试验的结果（可能为非实数）与不同的实数对应起来，便于分析和研究。

2、离散型随机变量及其分布律

   （1）什么是离散型随机变量

           离散型随机变量的值是有限多个，或者是可以列出来的无限多个。

   （2）分布律定义

           P{X = } = ，k = 1,2,3.....   ，即随机变量取每个值时对应的概率就叫做随机变量的分布律。它可以通过表格列出来。

   （3）常见分布律

    ①  （0 — 1）分布

            

            理解：随机变量的值只能取0和1两个值，这时随机变量的分布律服从 （0 — 1）分布。

            记忆：两个幂相乘，一个是,一个的底数和指数都是用1减去相对应的数值。

    ②   伯努利试验

             如果一个试验只有两个结果A和，那么这个试验叫做，伯努利试验。

             如果一个伯努利试验重复独立的做n次，那么这个试验叫做n重伯努利试验。

             ”独立“是重要的，代表求积事件的概率时可以用概率的乘积得到。

    ③   二项分布

             ，即

             理解：

                       随机变量代表n重伯努利试验中A发生的次数。

                        随机变量为k，代表A发生k次，总共进行了n次，这样的结果就是次事件的和事件，各事件间互斥，概率等                           于概率之和，每个事件中的发生概率独立，故可用概率的积表示积事件的概率。

                        公式的推导：

                           

                        二项分布的概率随X的增大，先增大后减小。

      ④  泊松分布

                     

                 记忆：常数乘以展开的无穷级数。的无穷级数是的幂函数除以阶乘。（ > 0）

      ⑤   泊松定理                           

                 

                条件： n是比较大的正整数时，np = （ > 0）,  

                应用：二项分布趋近于泊松分布。应用此定理可以求对应二项分布出现k次的概率。