组合数学之母函数一（卡特兰数）

1. 卡特兰数公式：
   
   2.一个栈（无穷大）的进栈序列为1，2，3，… ，n,有多少个不同出栈序列？
   分析：
   （1）对于每个数来说，必须进栈一次，出栈一次。我们把进栈设为状态“1”，出栈设为状态“0”。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1，…，n的顺序排列，入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a<=b)，因此输出序列的总数目等于由左到右扫描有n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

下面是图解：

不可能存在栈底的元素已经出栈了，但是栈顶的还没出来。所以从左到右扫描1的累计数一定不小于0的累计数。

（2）在2n位二进制数中填入n个1的方案数为C（2n，n），不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（从左到右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是从左到右扫描时，必然在某一个奇数位2m+1位上首先出现m+1个-的累计数和m个1的累计数，此后的2（n-m）-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如若把后面这个2（n-m-1）-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果的1个有n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个有n+1个0和n-1个1组成的排列。

（3）反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多余2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因为不符合要求的2n位数与n+1个0，n-1个1组成的排列一一对应。
显然不符合要求的方案数为C（2n，n+1）。由此得出输出序列的总数目为：
C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)
等量关系证明：

应用题目：
hdu 1023 火车进站问题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1023