乘方 [二分答案, 容斥]

$$乘方$$

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$正解部分$

二分出一个 $x$, 检查 小于等于 $x$ 的有多少数字,

可以想到将每个 $S(n_i)$ 中 小于等于 $x$ 的数字个数计算出来, 然后减去 重复 的,

小于等于 $x$ 的数字个数可以通过 二分 计算出来,

对于 重复 的, 对每个 $n_a,n_b$ 减去 $S(Lcm(n_a,n_b))$, 加上 $S(Lcm(n_a,n_b,n_c))$ 再减去 …

于是对于每个 $S(n_i)$, 都对应着一个 容斥系数 $f[n_i]$,

现在去计算 $f[n_i]$ 是多少, 可以使用 dp, 设 $F[i,j]$ 表示前 $i$ 个数组成的集合中 $j$ 的 容斥系数 是多少,

则 $F[i,Lcm(j,A_i)]=F[i-1,Lcm(j,A_i)]-\sum F[i-1,j]$ .

于是就可以 $O(q{\log }^{3}10^{17})$ 计算答案了 .

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$实现部分$

#include
#define reg register
typedef long long ll;

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 205;

int M;
int K;
int A[maxn];

ll F[maxn][70];

int Gcd(int a, int b){ return !b?a:Gcd(b, a%b); }

int Lcm(int a, int b){ return a/Gcd(a, b)*b; }

bool Ksmcompar(ll a, int b, ll x){
        ll s = 1;
        while(b){
                if(b & 1){
                        if(s > x/a) return 0;
                        s *= a;
                }
                b >>= 1;
                if(a > x/a && b) return 0;
                a *= a;
        }
        return 1;
}

ll chk(ll x){
        ll res = 0;
        for(reg int i = 1; i <= 60; i ++){
                if(!F[K][i]) continue ;
                ll l = 0, r = 1e17, s = 0;
                while(l <= r){
                        //printf("%lld %lld %lld\n", x, l, r);
                        ll mid = l+r >> 1ll;
                        if(Ksmcompar(mid, i, x)) l = mid + 1, s = mid;
                        else r = mid - 1;
                }
//                printf("FUck %lld\n", s-1);
                res += 1ll*F[K][i]* (s-1);
        }
        return res+1; // !
}

void Work(){
        M = read(), K = read();
        for(reg int i = 1; i <= K; i ++) A[i] = read();
        memset(F, 0, sizeof F);
        for(reg int i = 1; i <= K; i ++){
                for(reg int j = 1; j <= 60; j ++) F[i][j] = F[i-1][j];
                F[i][A[i]] ++;
                for(reg int j = 1; j <= 60; j ++){
                        int to = Lcm(A[i], j);
                        if(!F[i-1][j] || to > 60) continue ;
                        F[i][to] -= F[i-1][j];
                }
        }
        ll l = 1, r = 1e17, Ans = 1;
        while(l <= r){
                ll mid = l+r >> 1;
                if(chk(mid) >= M) Ans = mid, r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n", Ans);
}

int main(){
        int T = read(); while(T --) Work();
        return 0;
}