图像处理（3）频率域滤波

1. Fourier变换
   Fourier变换最开始由傅里叶提出，当时为了解决热力学问题。后来经过发展形成了一套完整的理论，应用在物理学、信号学等很多方面。如果一个函数满足绝对可积条件，即：
   
   因为计算机处理的是离散值，要求对f(x)和F(w)都采样，这时Fourier变换被称为离散Fourier变换（DFT），为：
   
   求出离散Fourier变换需要的计算次数很多，为了降低计算量，可以利用快速Fourier变换方法（FFT），其利用了相位因子对称性和周期性：
   
   将f(n)拆分为两部分，分别计算这两部分DFT，然后每个部分再进行拆分，直到不能再进行拆分为止。
   
   由于A(k)和B(k)是关于N/2周期对称，所以有：
   
   然后一直不断进行分割。这样可以大大降低计算量。
   附上MATLAB代码：

function y=FFT_recur(x)

N=length(x);

x1=zeros(1,N/2);
x2=zeros(1,N/2);

y=zeros(1,N);

%split x into two space: odd and even
for j=1:N
   if mod(j,2)==0
       x1(j/2)=x(j);
   else
       x2((j+1)/2)=x(j);
   end
end


if N==2
    y(1)=x(1)+x(2);
    y(2)=x(1)-x(2);
else
    x_a=FFT_recur(x1);
    x_b=FFT_recur(x2);
    for k=1:N/2
        y(k)=x_a(k)+exp(-i*2*pi*(k-1)/N)*x_b(k);
        y(k+N/2)=x_a(k)-exp(-i*2*pi*(k-1)/N)*x_b(k);
    end
end

1. 二维图像频率滤波
   频率域滤波方法有很多，主要是滤除某种频率成分，从滤除成分来看分为低通滤波、高通滤波、带通滤波等，技术手段上看有理想低通滤波、ButterWorth滤波，高斯滤波等。
   现在分别讨论这三种滤波器。低通滤波器可以表示为在某一个频率范围是1，而之外为0。对于一幅图像，其中心频率位于DFT变换函数的矩形中心，即F(k,l)中心(N/2,M/2)，则理想低通表示为：
   
   对于理想低通滤波器，其Fourier反变换函数为sinc函数，其图形如下
   
   图1 理想低通滤波器
   低通滤波器频率域相乘，在空间域为卷积，上述函数在和DFT变换前函数卷积时，其边瓣会造成振铃。
   为了消除边瓣的波动，产生了ButterWorth和高斯滤波，当然也是因为理想低通滤波无法在物理上实现。而ButterWorth滤波器为
   
   MATLAB实现代码如下：

function ifft_image=filter_frequency(image,mode,mode_parameter)

%fourier transformation
fft_image=fft2(image);
fft_image=fftshift(fft_image);

[row,col]=size(fft_image);
filter_temp=zeros(row,col);

%Low Pass filter
if strcmp(mode,'LowPass')

    for i=1:row
        for j=1:col
            if sqrt((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)<=mode_parameter
                filter_temp(i,j)=1;
            else
                filter_temp(i,j)=0;
            end
        end
    end

%Butter Worth filter with n=2    
elseif strcmp(mode,'ButterWorth')
    for i=1:row
        for j=1:col
            filter_temp(i,j)=1/(1+(sqrt((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)/mode_parameter)^4);
        end
    end

%gaussion filter
elseif strcmp(mode,'Gaussion')
    for i=1:row
        for j=1:col
            filter_temp(i,j)=exp(-((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)/(2*mode_parameter^2));
        end
    end

end

fft_image=fft_image.*filter_temp;

fft_image=ifftshift(fft_image);
ifft_image=ifft2(fft_image);
ifft_image=abs(ifft_image);

1. 结果
   
   图2 （a）原始1024x1024图像 （b）加入了周期噪声
   
   图3 低通滤波 （a）D0=100 （b）D0=300
   
   图4 ButterWorth滤波 （a）D0=100 （b）D0=300
   
   图5 高斯滤波 （a）D0=100 （b）D0=300