【离散数学】1.1集合的初见

什么是集合？

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定义

• A set is a group of objects. (最简单的定义)
• By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct objects m (which
  we called elements of M) of our perception or of our thought. (康托的定义)
• 集合 是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称
  为这个集合的元素。(中文定义)
• 外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 +
  替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC公理化集合论1)

举例

1. 所有英文字母
2. 所有小于100的正奇数
3. 中国所有的残疾人
4. 世界上所有的数学家
5. 某植物园的所有植物
6. 天安门广场所有的路灯和树

集合的符号表示

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集合的数学符号

通常情况下

• 用带或不带下标的大写英文字母表示集合：A, B, C,…, A₁, B₁, C₁,…
• 用带或不带下标的小写英文字母表示元素：a, b, c,…, a₁, b₁, c₁,…

常用集合（我们的老朋友）

• 自然数集合N：0, 1, 2, 3,…
• 整数集合Z：…, -2, -1, 0, 1, 2,…
• 有理数集合Q与实数集合R，等等

属于关系

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定义

• 若a是集合A中的元素，则称a 属于 A，记为 a∈A
• 若a不是集合A中的元素，则称a 不属于 A，记为 a∉A

举例

• 2∈N
• −2∉N
• 23∈Q但π∉Q

枚举法

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列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号（…）表示。

举例

• A={a,b,c,d}
• B={2,4,6,8,10,…}

叙述法

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通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。

P={x|P(x)}

举例

• A={x|x是英文字母中的元音字母}
• B={x|x∈Z,x<10}
• C={x|x=2k,k∈N}

文氏图

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文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

举例

基数

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定义

• 集合A中的元素个数称为集合的基数（base number），记为 |A|
• 若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集（finite set）
• 若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集（infinite set）

举例

• A={a, b, c}, |A|=3
• B={a, {b, c}}, |B|=2

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1. 如果去除选择公理，则称为ZF公理化集合论。 ↩