bzoj 3527: [Zjoi2014]力 （FFT）

题目描述

传送门

给出 n 个数 qi ，给出 Fj 的定义如下：
Fj=∑i<jqiqj(i−j)2−∑i>jqiqj(i−j)2
令 Ei=Fi/qi ,求 Ei

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。
n≤100000，0 < qi<1000000000

输出

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

题解

FFT求卷积
Ej=∑i<jqi(i−j)2−∑i>jqi(i−j)2
我们的目标是将上面的式子化成 cj=∑i=0jai∗bj−i 的形式，然后用傅立叶变换来求
∑i<jqi(i−j)2=∑i=0jqi(j−i)2
设 fi=qi,gi=1/i2 其中 g0=0
那么上式就可以化简成 ∑i=0jfi∗gj−i ,虽然要求 i<j ,但是 gj−j=0 所以这一项自动消掉了。
∑i>jqi(i−j)2=∑i=jnqi(i−j)2
=∑i=0n−jqn−i(j−i)2=∑i=0n−jfn−i∗gi−j
然后发现 n−i+i−j 是定值 n−j ,那么这一部分的答案就是FFT后 cn−j 的值，但是注意这里的 f 数组是翻转后的 f 数组。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#define N 300005
#define pi acos(-1)
using namespace std;
struct data{
    double x,y;
    data(double X=0,double Y=0) {
        x=X,y=Y;
    }
}f[N],f1[N],g[N],a[N],b[N];
data operator +(data a,data b){
    return data(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
data operator -(data a,data b){
    return data(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
data operator *(data a,data b){
    return data(a.x*b.x-a.y*b.y,a.y*b.x+a.x*b.y);
}
int n,m;
void fft(data x[N],int n,int opt)
{
    if (n==1) return;
    data l[n>>1],r[n>>1];
    for (int i=0;i2)
     l[i>>1]=x[i],r[i>>1]=x[i+1];
    fft(l,n>>1,opt); fft(r,n>>1,opt);
    data wn=data(cos(2*pi/n),sin(opt*2*pi/n));
    data w=data(1,0),t;
    for (int i=0;i>1;i++,w=w*wn)
     t=r[i]*w,x[i]=l[i]+t,x[i+(n>>1)]=l[i]-t; 
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); n--; m=2*n;
    for (int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&f[i].x),f1[n-i].x=f[i].x;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
     g[i].x=(double)1.0/i/i;
    for (n=1;n<=m;n<<=1);
    fft(f,n,1); fft(f1,n,1); fft(g,n,1);
    for (int i=0;ifor (int i=0;i1); fft(b,n,-1);
    for (int i=0;i<=n;i++) a[i].x=a[i].x/n;
    for (int i=0;i<=n;i++) b[i].x=b[i].x/n;
    for (int i=0;i<=m/2;i++) 
     printf("%.3lf\n",a[i].x-b[m/2-i].x);
}